专题01直线的方程(斜率范围过定点面积总和问题等)八大题型总结讲义高考数学二轮专题复习（全国适用）

专题01直线的方程(斜率范围、过定点、面积总和问题等)八大题型总结TOC\o"13"\h\z\u题型一直线的倾斜角与斜率 2题型二直线与线段的相交关系求斜率范围 2题型三直线的点斜式、斜截式方程 3题型四直线的两点式、截距式方程 3题型五直线的一般式方程 4题型六直线过定点问题 4题型七三线能围成三角形的问题 5题型八直线方程的综合应用 5思维导图思维导图知识点一：直线的倾斜角和斜率1、直线的倾斜角（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为2、直线的斜率（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）越大，直线越陡峭（5）倾斜角与斜率的关系3、过两点的直线斜率公式（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．4、三点共线．知识点二：直线的方程1、直线的截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线2、直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于轴的直线斜截式不含垂直于轴的直线两点式截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用3.1．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．2．两直线的夹角公式若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的夹角为α，则tanα＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k2－k1,1＋k1k2))). 题型一直线的倾斜角与斜率▶▷重点题型专练◁◀1．牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1,k).4．涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．一、单选题【答案】C【分析】由斜率和倾斜角的关系即可求解.【详解】设直线倾斜角为，故选：CA． B．或3 C． D．3【答案】B【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可.【详解】因为两直线平行，所以：故选：B【答案】D【分析】先根据两条直线垂直得出斜率，再应用点斜式求解直线即可.【详解】由题意可知，直线与垂直，直线的斜率为，所以的斜率为5，故选：D.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.故选：C【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围.如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于，由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，【答案】【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可.故答案为：.【答案】故答案为：.【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围.【详解】如图所示： 题型二直线与线段的相交关系求斜率范围▶▷重点题型专练◁◀【答案】A故选：A.【答案】B【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案.【详解】由题意作图如下：设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，故选：B.【答案】A故选：A.【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围.【分析】数形结合，观察倾斜角的变化情况确定斜率的变化情况.【详解】如图直线与线段相交，【分析】解法1：数形结合，根据直线的倾斜角与斜率的变化关系求斜率的取值范围.解法2：先求直线与线段有公共点时斜率的取值范围，再求其补集即可.解法3：根据，在直线的两侧，列不等式求解.(1)求直线、、的斜率和倾斜角；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角；（2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围.所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.（2）如图，当直线绕点由逆时针转到时，直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 题型三直线的点斜式、斜截式方程▶▷重点题型专练◁◀(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，注意讨论B是否为0.A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解.所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限．故选：B.【答案】D【分析】由直线倾斜角计算直线的斜率，点斜式求直线方程.故选：D.【答案】A【分析】求出已知直线的斜率，再结合平行关系及直线的点斜式方程求解即得.故选：A.二、多选题【答案】ACD故D正确；故选：ACD.【答案】BCD所以直线过第二三四象限，故D正确.故选：BCD.三、填空题【分析】设出中点弦的端点，的坐标，代入椭圆方程，再利用中点的坐标即可求出直线的斜率，从而得解.设直线的斜率为， 题型四直线的两点式、截距式方程▶▷重点题型专练◁◀【答案】A故选：AA．2条 B．3条 C．4条 D．6条【答案】B【详解】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以综上，共有3条直线符合题目要求.故选：B.A．12 B．14 C．16 D．20【答案】D故选：D【答案】A故选：A．【答案】B【分析】先求得中点的坐标，然后根据两点式求得边上的中线所在直线的方程.故选：B二、多选题6．（2425高三上·浙江杭州·期末）下列说法正确的有（

）A．直线倾斜角越大，斜率越大C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条【答案】CD【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C正确；根据截距的概念可得选项D正确.综上得，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确.故选：CD.三、解答题 题型五直线的一般式方程▶▷重点题型专练◁◀【答案】B【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论.所以直线的斜率为负值，纵截距为正值.故选：B.【答案】B【分析】两直线平行，斜率相等，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可以设为Ax＋By＋＝0，代入经过的点，即可求出﹒故选：B【答案】C故选：CA．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定【答案】C故选:C.二、多选题A． B． C． D．【答案】BCD故a的值为，，.故选：BCDC．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为【答案】BCD对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心，圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且故选：BCD.三、解答题(1)求恒过的定点的坐标；【分析】（1）整理直线方程，得到关于实数的方程组，求解方程组即可；（2）根据直线过点，将点代入直线方程，求出，得到直线方程..(1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程；【分析】（1）先求的中点坐标，再由与垂直，则可得垂直平分线的一般方程，再转化为截距式即可； 题型六直线过定点问题▶▷重点题型专练◁◀【答案】B故选：B【答案】B故选：B.A． B． C． D．【答案】D点在以线段为直径的圆上（不含、两点），故选：D【答案】B【分析】利用过两直线的交点直线系方程求得定点坐标判断A；根据两直线垂直与平行的条件计算可判断BC；根据两平行直线间的距离公式计算可判断D.故选：B.二、填空题【分析】变形得到方程组，求出定点坐标.【答案】【分析】根据题意，由直线过定点可得点的坐标，从而可得点的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果.即圆的半径为.故答案为：.三、解答题【答案】证明见解析【分析】将原方程变形成直线的点斜式方程得解；或将方程整理出过两直线交点的直线系方程求解. 题型七三线能围成三角形的问题▶▷重点题型专练◁◀A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D所以直线共有4条．故选：D．【答案】A由题意可得三角形NMB的面积等于，故选：A．二、多选题A． B． C． D．【答案】BCD故a的值为，，.故选：BCD【答案】ABC【分析】点到直线的距离公式判断A；几何法勾股定理判断B；根据二倍角余弦公式计算判断C；三角形面积公式计算判断D；【详解】故选：ABC．三、填空题【分析】根据正弦定理表示出，再结合三角恒等变换及辅助角公式即可求解.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理及三角恒等变换表示出.【答案】【详解】故答案为：12.四、解答题【详解】(1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程；①当直线与平行， 题型八直线方程的综合应用▶▷重点题型专练◁◀【答案】C故选：C.A．4 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.故选：B.【答案】A故选：A.二、多选题4．（2324高三上·河北保定·阶段练习）下列说法正确的是（

）D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个