一定是直角三角形吗学案讲义北师大版(2024)八年级数学上册

1．点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．2．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°.（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°.（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．3．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有及．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．5．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．6．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．一．选择题（共5小题）1在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是()Aa+babc2C．a：b：c＝1：2：3D．6∠A＝2∠B＝3∠C2如图，△ABC中，AB＝1，BC＝2，AD是BC边上的中线，则AD的3我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为()A．65平方里B．60平方里C．325平方里D．30平方里4在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的A．如果a2＝b2c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形D．如果∠A∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形5古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是()A．直角三角形两个锐角互余B．三角形内角和等于180°C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形二．填空题（共5小题）6如图，AB⊥l1，CB⊥l2，且AB＝12，AC＝5，BC＝13，则点C到直线AB的距离是．7一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为．8如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°,若PA＝4，PC＝3，AC＝5，则点A到直线PC的距离是．9已知图是4×5的方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，已知格点线段AB．请写出使得△ABC为直角三角形的格点C有个．10如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=.三．解答题（共5小题）11如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求四边形的面积与周长；（2）试判断△BCD的形状．12如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°.（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．13如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°;（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为．14如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、（1）求证：∠C＝90°;（2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长．15如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝3，（1）求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积．一．选择题（共5小题）题号12345答案CDDAD一．选择题（共5小题）1在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是()Aa+babc2C．a：b：c＝1：2：3D．6∠A＝2∠B＝3∠C【答案】C【分析】根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可．【解答】解：分析各选项如下：选项A、∵（a+babc2，展开得a2b2＝c2，即a2＝b2+c2，符合勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形；又∵三角形内角和为180°,）＝选项C、设a＝k，b＝2k，c＝3k（k＞0则a+b＝c，不能构成三角形，故该选项符合题意，选项D：D、设6∠A＝2∠B＝3∠C＝6k，则∠A＝k，∠B＝3k，∠C＝2k，∵∠A+∠B+∠C＝180°,故选：C．2如图，△ABC中，AB＝1，BC＝2，AD是BC边上的中线，则AD的【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵△ABC中，AB＝1，BC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°,∵AD是BC边上的中线，由勾股定理得，故选：D．3我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为()A．65平方里B．60平方里C．325平方里D．30平方里【答案】D【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵52+122＝169，132＝169，∴根据勾股定理，52+122＝132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为平方里综上所述，只有选项D正确，符合题意，故选：D．4在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的A．如果a2＝b2c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形D．如果∠A∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形【答案】A【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【解答】解：A、如果a2＝b2c2，即b2＝a2+c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°,选项错误，符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°,可得∠A＝90°,那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；C、如果a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；D、如果∠A∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°,可得∠A＝90°,那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；故选：A．5古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是()A．直角三角形两个锐角互余B．三角形内角和等于180°C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理解题即可．【解答】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）25m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形故选：D．二．填空题（共5小题）6如图，AB⊥l1，CB⊥l2，且AB＝12，AC＝5，BC＝13，则点C到直线AB的距离是5．【答案】见试题解答内容【分析】根据点C到直线AB的距离即为AC的长求解即可．【解答】解：∵AB⊥l1，∴点C到直线AB的距离是5，故答案为：5．7一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为5．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据已知先判定其形状，再根据三角形的面积公式求得其高．【解答】解：∵三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理62+82＝102，∴此三角形为直角三角形，则10为直角三角形的斜边，∵三角形斜边上的中线是斜边的一半，∴三角形最长边上的中线为5．故答案为：5．8如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°,若PA＝4，PC＝3，AC＝5，则点A到直线PC的距离是4．【答案】4．【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△APC为直角三角形，得AP⊥PC，然后再根据点到直线距离的定义可得出答案．∴△APC为直角三角形，即∠APC＝90°,∴AP⊥PC，∴点A到直线PC的距离是是线段AP的长，即点A到直线PC的距离是是4．故答案为：4．9已知图是4×5的方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，已知格点线段AB．请写出使得△ABC为直角三角形的格点C有6个．【答案】6．【分析】根据直角三角形的定义画出图形即可．【解答】解：如图：满足条件的格点C有6个，故答案为：6．10如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则∠1+∠2＝45°.【答案】45°.【分析】如图，由AP∥BQ，CM∥AN知∠1=∠BAP，∠2=∠CAN，再利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，得∠BAC＝45°,据此可得∠BAP+∠CAN＝45°,继而得出答案．【解答】解：如图，∵AP∥BQ，CM∥AN，设每个小正方形的边长为a，∴AB2+BC2＝5a2+5a2＝10a2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAP+∠CAN＝45°,故答案为：45°.三．解答题（共5小题）11如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求四边形的面积与周长；（2）试判断△BCD的形状．解：（1）周长面积14.5；（2）△BCD是直角三角形．【分析】（1）利用勾股定理求出AB、BC、CD和DA的长，即可求出四边形ABCD的周长；利用分割法即可求出四边形的面积；（2）连接BD，求出BD的长，利用勾股定理的逆定理即可证明出结论．【解答】解1）根据勾股定理得面积为（2）连接BD，∴BC2+CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形．12如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°.（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）∠D是直角．理由见解析；（2）234．【分析】（1）连接AC，根据勾股定理可知AC2＝BA2+BC2，再根据AC2＝DA2+DC2即可得出结论；（2）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．理由：连接AC，∵DA2+CD2＝242+72＝625，∴AC2＝DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；（2）解：∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，=234．13如图，在4×4的正方形