第25章随机事件的概率（知识清单）（答案版）数学华东师大2025九年级上册

第25章随机事件的概率知识点一确定事件与不确定事件◎确定事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件.◎不确定事件也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件.☆要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.知识点二事件发生的可能性的大小◎随机事件发生的可能性是有大小的；◎不同的随机事件发生的可能性的大小有可能相同.◎要比较随机事件的可能性大小，可以按如下步骤进行：☆确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”；☆计算：计算每一个要素的数量；☆结论：比较数量的多少，判断可能性的大小.知识点三事件的概率的定义与计算方法◎概率的定义一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．◎概率的计算一般地，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件A包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件A发生的概率可利用下面的公式计算：☆随机事件A的概率P（A）＝◎概率的范围☆当事件A是必然事件时，P(A)=1；☆当事件A是不可能事件时，P(A)=0；☆当事件A随机事件时，0＜P(A)＜1（1）任何事件A发生的概率P(A)都是0和1之间(包括0和1)的数，即0≤P(A)≤1（2）事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0.◎概率的意义☆一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．◎几何概率☆所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即P＝g的测度G的测度。简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．知识点四频率与概率◎频率的定义☆在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率.无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.◎频率与概率的关系☆事件当涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目比较少时，就可以直接列举出所有可能的结果，再利用概率公式求事件发生的概率.大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.知识点五列举所有机会均等的结果◎用列举法求事件的概率当涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目比较少时，就可以直接列举出所有可能的结果，再利用概率公式求事件发生的概率.◎用列表法求事件的概率当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.☆用列表法求概率的基本步骤：☆选择其中一次操作或一个因素作为横行，另一个操作或另一个因素作为竖行，列出表格.☆确定所有等可能的结果数n和事件A包含的结果数m，运用公式P(A)=mn（m≤n◎用画树状图求事件的概率☆当一次试验要涉及两个或更多的因素(如从3个口袋中取球)时，为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法.☆画树状图求概率的基本步骤：①明确一次试验有几个步骤和顺序；②把每一步骤的结果列为一层，画树状图；③沿着“树杈”列出所有可能的结果，算出n的值；④找出符合条件的结果个数m；⑤求概率mn当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．易错点一：混淆"可能"、"很可能"、"必然"与"不可能"事件学生在判断事件的可能性时，容易混淆这些概念，特别是将"可能"与"很可能"混为一谈，或者未能准确理解概率为0和1的极端情况。例题、判断下列事件的类型（必然事件、不可能事件、随机事件）：(1)抛掷一枚骰子，出现7点；(2)明天的太阳从东方升起；(3)打开电视，正在播放新闻；(4)从一个只装有红球的袋中摸出白球。常见错误：将(3)判断为不可能事件，认为"打开电视不一定播放新闻"是不可能的；或将(1)判断为随机事件，认为"骰子可能出现7点"。正确解法：(1)骰子只有16点，出现7点是不可能事件；(2)太阳从东方升起是自然规律，是必然事件；(3)打开电视可能播放新闻，也可能播放其他节目，是随机事件；(4)只装有红球的袋中不可能摸出白球，是不可能事件。易错点二：错误计算简单事件的概率学生在计算简单随机事件的概率时，容易忽略"等可能性"这一前提条件，或者未能准确确定所有可能的结果数和事件发生的结果数。例题、抛掷两枚均匀的硬币，求两枚硬币都是正面向上的概率。易错点三：混淆"有放回"与"无放回"的概率计算在涉及多个对象依次抽取的问题中，学生容易忽略抽取方式（有放回或无放回）对后续事件概率的影响。例题、一个袋子中有3个红球和2个白球，从中依次摸出两个球，求两个球都是红球的概率。正确解法：题目未说明摸球方式，应分两种情况讨论：易错点四：错误理解概率的意义学生容易将概率理解为确定性的预测，或者对"小概率事件"和"大概率事件"的理解存在偏差。易错点五：混淆"或"与"且"事件的概率计算学生在计算复合事件的概率时，容易混淆"或"事件与"且"事件，特别是在事件不互斥的情况下，错误使用概率的加法公式。例题、从一副扑克牌（去掉大小王，共52张）中随机抽取一张牌，求抽到红心或K的概率。正确解法：事件"抽到红心"与"抽到K"不是互斥事件（因为有红心K），因此需要使用加法公式：P(红心或K)=P(红心)+P(K)P(红心且K)易错点六：忽略几何概率中的等可能性前提在计算几何概率时，学生容易忽略等可能性的前提条件，错误地使用长度比、面积比或体积比来计算概率。例题、在长度为1的线段AB上随机取一点C，求点C到线段中点O的距离小于的概率。总结反思通过对以上易错点的分析，可以看出随机事件的概率常见错误主要集中在概念理解和实际应用上。为避免这些错误：(1)准确理解必然事件、不可能事件和随机事件的概念；(2)计算概率时确保所有可能结果具有等可能性；(3)注意区分有放回和无放回抽取对概率的影响；(4)正确理解概率的统计意义，避免确定性思维；(5)区分"或"事件与"且"事件，正确使用概率公式；(6)计算几何概率时注意等可能性条件的满足。重难点1：随机事件与概率的基本概念涉及知识点：◎随机事件、必然事件、不可能事件的定义◎概率的定义：P(A)=m➗n(m为事件A发生的可能结果数，n为所有可能结果数)◎概率的取值范围：0≤P(A)≤1解题技巧：◎先准确判断事件的类型（随机、必然、不可能）◎理解概率的三种解释及其适用场景◎掌握概率的基本性质◎注意区分频率与概率的概念例题精选例题1：从自然数1，2，3，4，6，7，8，9中任选一个数，下列事件是必然事件的是（

）A．这个数能被5整除 B．这个数既能被2整除，也能被3整除C．这个数能被3整除 D．这个数的2倍是偶数【答案】D【分析】本题主要考查了事件的分类，掌握随机事件、必然事件、不可能事件成为解题的关键．根据必然事件的定义逐项判断即可．【详解】解：A．这个数能被5整除是不可能事件，不符合题意；B．这个数既能被2整除，也能被3整除是随机事件，不符合题意；C．这个数能被3整除是随机事件，不符合题意；D．这个数的2倍是偶数是必然事件，符合题意．故选D．例题2：随机事件的概率是（

）A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1【答案】C【分析】本题主要考查了事件的可能性，随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故随机事件的概率是大于0且小于1．【详解】解：随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故随机事件的概率是大于0且小于1，故选：C．例题3：下列说法错误的是（

）A．20张票中有1张奖票，20人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大C．小明一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为12，连续抛此硬币2次不一定有1【答案】A【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可．【详解】解：A.20张票中有1张奖票，20人去摸，每个人摸到奖票的概率一样，故该选项不正确，符合题意；B.从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大，故该选项正确，不符合题意；C.小明一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件，故该选项正确，不符合题意；D.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为12，连续抛此硬币2次不一定有1故选：A．重难点2：概率的计算涉及知识点：◎古典概型的定义：有限个等可能结果◎概率计算公式：P(A)=事件A包含的基本事件数➗基本事件总数◎等可能性假设的判断解题技巧：◎准确计算基本事件总数和事件A包含的基本事件数◎注意等可能性条件的验证例题精选例题1：在一个袋子里，装有50个红色、黄色、绿色三种颜色形状、大小、质地完全相同球，经过充分搅拌后，通过足够多次的随机抽取实验，得到“任取一球是红球”的概率为30%，已知黄球比绿球多5个，则这个袋子中绿球有【答案】15【分析】本题主要考查了概率的应用以及一元一次方程的求解，熟练掌握概率公式和一元一次方程的解法是解题的关键．先根据概率求出红球个数，再设绿球个数为未知数，结合黄球与绿球数量关系以及球的总数列方程求解．【详解】解：红球个数：50×30%设绿球有x个，则黄球有(x+5)个．15+x+(x+5)=50，15+x+x+5=50，2x+20=50，2x=50−20，2x=30，x=15，故答案为：15．例题2：某校为弘扬法治精神，营造校园良好尊法学法守法环境，该校学生会宣传部决定从《民法典》、《未成年人保护法》、《刑法》、《义务教育法》（依次用字母A，B，C，D表示）中随机抽取两本法律并选取部分内容作为学校法治宣传栏内容．(1)抽取《义务教育法》作为宣传栏内容的概率为；(2)请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两本法律中有《民法典》的概率．【答案】(1)1(2)1【分析】本题主要考查概率问题，列表法或树状图方法是解题的关键．（1）由题可直接得到概率；（2）根据题意列出树状图，再计算概率即可．【详解】（1）总共4本法律，所以抽取《义务教育法》作为宣传栏内容的概率为14故答案为：14（2）根据题意树状图如下：抽取两本法律共有12种，其中有《民法典》的共有6种，所以抽取的两本法律中有《民法典》的概率为612例题3：在一个不透明的小布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标x,y(1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标．(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足xy【答案】(1)1,2，1,3，1,4，2,1，2,3，2,4，3,1，3,2，3,4，4,1，4,2，4,3(2)不公平，理由见解析【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．（1）根据题意画出树状图即可；（2）根据树状图分别求出小明胜的概率=34，小红胜的概率【详解】（1）解：画树状图为：共12种等可能的结果，点M可能的坐标为：1,2，1,3，1,4，2,1，2,3，2,4，3,1，3,2，3,4，4,1，4,2，4,3．（2）解：点M的坐标为1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,2，3,4，4,3时，x、y若满足xy∴小明胜的概率812=2∴这个游戏不公平．重难点3：几何概型涉及知识点：◎几何概型的定义：无限个等可能结果◎几何概型概率计算公式：P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)➗试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积)◎几何概型的常见类型：长度型、面积型、体积型解题技巧：◎准确确定试验的全部结果构成的区域◎准确确定事件A构成的区域◎合理选择长度、面积或体积作为度量◎注意边界条件的处理例题精选例题1：如图，某奶茶店铺前地面上有以点O为圆心的两个同心圆投影图案，大圆的半径为R，小圆的半径为r，R:r=5:1【答案】4【分析】本题考查了几何概率，分别求出大圆面积和小圆面积，再相减得出圆环面积，运用圆环面积除以大圆面积，即可得出咖啡豆落在阴影部分的概率．【详解】解：依题意，大圆面积=πR2，小圆面积则圆环面积=πR∵R:r=5∴R=5∴大圆面积=π×5r2∴咖啡豆落在阴影部分的概率是4r故答案为：45例题2：如图1，在面积为64cm2的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为【答案】22.4【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积．【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率．设不规则图案的面积为xcm2，则有解得：x=22.4，即不规则图案的面积为22.4cm故答案为：22.4．例题3：如图，点D、E分别位于△ABC边BC、AB上，AD与CE交于点F．已知AF:FD=1:1，EF:FC=3:10，现随机向△ABC内投掷一枚小针，则针尖落在△CDF内的概率为【答案】7【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点D作DH∥EF，交AB于点H，利用相似三角形的判定与性质得AFAD=EFDH=12【详解】解：如图，过点D作DH∥EF，交AB于点∵AF:FD=1:1，AD=AF+FD，∴AF:AD=1:2，∵DH∥∴△AEF∼△AHD，∴AFAD设EF=a，则DH=2a,∵EF:FC=3:10，∴FC=10∴EC=EF+FC=13∵DH∥∴△BDH∼△BCE，∴BDBC∴CDBC∴S△ACD∵AF:AD=1:2，∴S△CDF∴S△CDF∴随机向△ABC内投掷一枚小针，则针尖落在△CDF内的概率=S故答案为：726重难点4：概率与统计的综合应用涉及知识点：◎频率与概率的关系◎用频率估计概率◎概率在统计中的应用◎样本与总体的关系解题技巧：◎理解频率与概率的区别与联系◎掌握用频率估计概率的方法◎利用概率解释统计现象◎注意样本的代表性例题精选例题1：盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据．摸球次数出现红球的频数出现红球的频率摸球次数出现红球的频数出现红球的频率1003232400130a2006231500150b300903060018330.5(1)请将表中数据补充完整，a=______；b=______；(2)画出“出现红球”的频率折线统计图；(3)估计摸到红球的概率为______（精确到0.1）．(4)估计盒子里有红球______个和白球______个．【答案】(1)32.5%；(2)见解析(3)0.3(4)6；14【分析】本题考查了频数与频率、折线统计图及用频率估计概率，（1）利用频率=频数÷摸球次数计算数据即可；（2）根据表格提供的数据作出折线统计图即可；（3）通过观察统计图找到其频率逐渐稳定到哪个常数附近即可；（4）根据摸到红球的概率，估计红球的个数，再求出白球的个数即可．【详解】（1）解：a=130b=150（2）解：频率折线统计图，如图所示：（3）解：观察折线统计图可以发现：随着摸球次数的增多，出现红球的频率在30%上下浮动，因此摸到红球的概率为0.3（4）解：估计盒子里有红球20×0.3=6（个），白球有：20−6=14（个）．例题2：某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图中的信息解答以下问题：(1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整；(2)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人；(3)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．【答案】(1)40，36°，图见解析(2)280(3)1【分析】（1）由C等级人数除以其人数占比即可得出本次抽取的学生总人数，用360°乘以A等级人数占比即可得出扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数，用本次抽取的学生总人数减去其他各等级人数即可得出B等级人数，然后补全条形统计图即可；（2）利用样本估计总体即可；（3）先画出树状图，展示从这4人中随机抽取2人所有等可能的结果，再找出被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的结果数，然后根据概率公式计算概率即可．【详解】（1）解：本次抽取的学生人数共有：16÷40%扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是：360°×4B等级人数为：40−4+16+14故答案为：40，36°，补全条形统计图如下：（2）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有：2800×4故答案为：280；（3）解：根据题意画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的结果有6种，∴被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率=6【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，由扇形统计图求总量，求扇形统计图的圆心角，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联及列表法或树状图法求概率是解题的关键．例题3：随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：配送速度和服务质量得分统计表项目统计量快递公司配送速度得分服务质量得分平均数中位数平均数方差甲7.8m7s乙887s(1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是；(2)表格中的m＝；s甲2s乙2（填“(3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率．【答案】(1)72°，见解析(2)7.5，<(3)1【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，计算甲快递公司在配送速度为9的人数可补全频数直方图，利用圆心角计算公式计算即可．（2）根据中位数与方差的定义即可求解；（3）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法，方差、中位数，直方图．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析和求概率．【详解】（1）解：根据频数之和等于样本容量，得甲快递公司在配送速度为9的人数为：10−3−1−1−2=3（人）补全频数直方图如下：根据题意，得α=360°×1−20（2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，故中位数m=7+8故答案为：7.5．根据题意，得s=1．得s=4.2．s甲故答案为：<．（3）解：画树状图如下：由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果，∴三家种植户选择同一快递公司的概率为28重难点5：概率的实际应用涉及知识点：◎概率在决策中的应用◎概率在游戏中的应用◎概率在风险评估中的应用◎概率在日常生活中的应用解题技巧：◎将实际问题转化为概率问题◎建立合适的概率模型◎利用概率进行决策分析◎注意实际问题的约束条件例题精选例题1：某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？【答案】9【分析】此题考查概率的计算公式，先确定情况数及总结果数，根据概率公式计算即可【详解】解：甲顾客购物120元，他有转转盘的机会，整个圆周被分成了20份，共有20种等可能结果，红色、黄色或绿色区域的份数之和为9份，所以获得购物券的概率为：920例题2：甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？【答案】(1)1(2)甲【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率；（2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论．【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：

共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种，所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为14（2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：

共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种，根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人．【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．例题3：在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的6000名用户（男性4000人，女性2000人），从中随机抽取了60名（女性20人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”．手机支付非手机支付合计男ab女cd合计60(1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中b=30，c=8）；②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，求这1位女性用户是“手机支付族”的概率．(2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元：方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），若摸到1个红球则打9折，若摸到2个红球则打8.5折，若未摸到红球按原价付款．如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算．【答案】(1)2(2)选择方案二更划算【分析】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、平均数、概率公式，解决本题的关键是掌握树状图法求概率．（1）①因为随机抽取了60名（女性20人），所以男性40人，进而可以补充表格数据；②用手机支付的女性人数除以调查的女性总人数即可；（2）若选方案一：则需付款：1200−100=1100元；若选方案二：设实际付款x元，则x取值为：1200元，1080元，1020元，根据从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为A、B，白球为C、D，画出树状图分别求出摸到1个红球，摸到2个红球，未摸到红球的概率，求出实际付款的平均金额，进行比较即可．【详解】（1）解：①因为随机抽取了60名（女性20人），所以男性40人，∵b=30，c=8，∴a=10，d=12，补充表格如下：手机支付非手机支付合计男ab40女cd20合计184260②由①可得，女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是820（2）解：若选方案一：则需付款：1200−100=1100元；若选方案二：设实际付款x元，则x取值为：1200元，1080元，1020元，根据从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为A、B，白球为C、D，画出树状图为：根据树状图可知：所有可能的结果共16种，摸到1个红球的有8种，摸到2个红球的有4种，未摸到红球的有4种，所以摸到1个红球的概率为：816=1摸到2个红球的概率为：416=1未摸到红球的概率为：14所以实际付款的平均金额为：1080×1因为1100元>1095元，所以选择方案二更划算．重难点6：概率与方程、不等式的综合涉及知识点：◎概率与方程的结合◎概率与不等式的结合◎含参数的的概率问题◎概率的取值范围问题解题技巧：◎利用概率建立方程或不等式◎求解含参数的概率问题◎分析概率的取值范围◎注意概率的约束条件例题精选例题1：将一枚质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则关于x，y的方程组ax+by=3x+2y=2只有正数解的概率是（

A．112 B．518 C．1336【答案】C【分析】此题主要考查了列表法求概率，以及二元一次方程的解法．首先分两种情况：①当2a