函数（教学课件） 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

4.1

函数变量间的关系生活中存在着许许多多变化的量，如水龙头滴水量与滴水时间，弹簧的长度与所挂物体的质量，行走的路程和所用的时间，你了解这些变量之间的关系吗?如何从数学的角度来刻画这些变化并寻找规律呢?函数是刻画变量之间关系的常用模型典例分析

课堂小结

作业布置新课引入新知探索思考：1、在这个问题里有几个变量?时间和离开地面的高度2、谁是自变量，谁是因变量?时间是自变量，离开地面的高度是因变量3、我们学过哪些表示变量间关系的方法?图象法、表格法、关系式法函

数你坐过摩天轮吗?想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的?典例分析

课堂小结

作业布置新课引入新知探索函

数下图就反映了摩天轮上一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的关系40250020151050234

5

67

串9101112

t/mint/min012345·.

·h/m31436473614·.

·对于每一个自变量都有唯

一的因变量h和它对应.(2)对于给定的时间t,

相应的高度h确定吗?对于给定的时间t,

相应的高度h随之确定。典例分析

课堂小结

作业布置新课引入(1)根据图4

-

1填表：新知探索图4-1新课引入

新知探索

典例分析

课堂小结

作业布置

函

数1.圆柱形物体常常像图4-2那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是

如何变化的?层数n12345…物体总数y1361015…对于每一个自变量n都有唯

一

_的因变量y和它对应.追问：对于给定的层数n,

相应的物体总数y确定吗?函

数2.一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到一273.15℃,则气体的压强为零。因此，物理学中把一273.15℃作为热力学温度的零度。热力学温度T

(单位：K)

与摄氏温度t(单位：℃)之间有如下数量关系：T=t+

273.15,T≥0。(

1

)

当t分别为一43℃,一27℃,0℃,18℃时，相应的热力学温度T是多少?解：

(1)

t=-43时，T=-43+273.15=230.15Kt=0时

，T=0+273.15=273.15Kt=-27时，T=-27+273.15=246.15Kt=18时

，T=18+273.15=291.15K新课引入

新知探索

典例分析

课堂小结

作业布置函

数2.一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到一273.15℃,

则气体的压强为零。因此，物理学中把一273.15℃作为热力学温度的零度。热力学温度T

(单位：

K)

与摄氏温度t(单位：℃)之间有如下数量关系：T=t+273.15,T≥0。(2)给定一个大于一273.15℃的t值，你都能求出相应的T值吗?(2)给定一个大于-273.15℃的t值，可以求出相应的T值。追问：为什么规定t大于-273.15℃?给定一个t值后，对应求出的T

值有几个?对于每一个自变量都有唯

一的因变量T和它对应.典例分析

课堂小结

作业布置新课引入新知探索函数概念两

个

变

量

x

和

y对于变量x的每一个值，变量y

都有唯一的值与它对应表示方法自变量能

取哪些值符合实际情况摩天轮问题时间t和摩天轮

上一点的高度hm图象法t≥0圆柱形物体问题层数n和物体

总数y表格法n取正整数符合题目要求层数n12345……物体总数y……温度问题摄氏温度t和热

力学温度TT=t+273.15,T≥0关系式法t≥-273.15℃新课引入

新知探索

典例分析

课堂小结

作业布置函数的概念及表示方法相同点不同点都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值变量之间关系的表示方法

不同函

数思考·

交流上面三个问题都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点?与同伴交流。新课引入

新知探索

典例分析

课堂小结

作业布置●函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y,

对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量。概念理解：①两个变量(自变量和因变量)②每

一

个x的值都有唯

一

确定的

y的值与之对应函数

(function)新知探索课堂小结

作业布置新课引入典例分析●1、图

象

法：用图象来表示函数关系；●2、表

格

法：把自变量x的一

系列值和函数y的对应值列成一个表；●3、关系式法

(解析式):用

一

个含自变量x的代数式来表示因变量y。从上述几个例题中可以看出，表述一个运动过程可采用很多种数学语言。函数的表示方法新知探索课堂小结

作业布置新课引入典例分析新课引入

新知探索

典例分析

课堂小结

作业布置自变量和函数值●函数自变量取值范围：使函数有意义的所有自变量取值。●对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的

对应值f(a),这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.引例(北师大P77)

随堂：下列各题中分别有几个变量?其中某个变量能看成另一个变量的函数

吗?若能，请写出自变量的取值范围。图象法判断函数

：一个自变量只能对应一个因变量，

作平行于y轴的铅垂线与图象最多只有一个交点气温7℃(1)北京市某天气温的变化情况如图所示

；6:00

12:0018:00

24:00[第1(1)题]函数的定义及表示方法两个变量：时间与气温；可将气温看作是时间的函数，其中自变量：O≤t≤24复习回顾

新知探索

典例分析

课堂小结

作业布置1512963-0-3

k

-6时间函数的定义及表示方法例1(北师大P77)

随堂：(2)在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行sm,一般地有经验公式

9

其中v表示刹车前汽车的速度(

单

位

：km/h).关系式法判断函数：一个自变量x只能算出一个因变量y两个变量：v与s;

可将s看作是v的函数，其中自变量v>0典例分析汽车速度v滑行距离s作业布置新知探索复习回顾课堂小结函数的定义及表示方法例1(北师大P77)

随堂：(3)在国内，将质量在100g以内的普通信函投寄到外埠，应付邮资见下表：复习回顾

新知探索

典例分析

课堂小结

作业布置信件质量m/g0<m≤2020<m≤4040<m≤6060<m≤8080<m≤100邮资y/元1.202.403.604.806.00表格法判断函数：一

个自变量只能算出

一

个因变量两个变量：m与y;

可将y看作是m的函数，其中自变量0<m≤100函数的定义例

1(1)下列图象中，不能表示y

是x的函数的是ABC()D典例分析新知探索课堂小结作业布置复习回顾函数的定义变式训练1.下列各图中，图象表示是函数的是()DABC典例分析新知探索作业布置课堂小结复习回顾函数的定义变式：下列等式中，y是x的函数的有

(1)3x-2y=0;(2)x²-y²=1;(3)y=√x;y=|x|;(4)x=lyl关系式法判断函数：y

不能带平方，绝对值典例分析新知探索作业布置课堂小结复习回顾

复习回顾

新知探索

典例分析

课堂小结自变量的取值范围例2

变

式

训

练(2)求下列函数中自变量的取值范围：(1)y=2x-1;(2)9

(3)y=√x-3;小结(1)整式中，自变量取一切实数(2)分式中，分母不为0(3)零指数、负指数中，底数不为0(4

)偶次方根中，被开方数非负(5)实际问题中，确保每个量都有意义4

作业布置自变量的取值范围变式1:求下列函数中自变量x的取值范围：

复习回顾

新知探索

典例分析

课堂小结

作业布置复习回顾

新知探索

典例分析

课堂小结

作业布置自变量的取值范围变式2:判断下列函数是否与

y=x是同一函数，为什么?(1)y=|x

(2)

(4)函数关系式、自变量的范围均一致

复习回顾

新知探索

典例分析

课堂小结

作业布置

求函数关系式及函数值例3

已知某品牌玉米种子的价格为5元/kg。

如果一次购买2kg以上的玉

米种子，超过2kg的部分的种子的价格打八折。(1)根据题意，填写下表：(2)设购买种子的质量为

x(kg),付款金额为y(元),求y与

x之间的关系式；解：(2)当O≤x≤2时

，y=5x;当x>2

时

，y=5×2+(x—2)×5×0.8=4x+2。购买种子的质量/kg1.523.54…付款金额/元7.516…复习回顾

新知探索

典例分析

课堂小结

作业布置

求函数关系式及函数值例3

已知某品牌玉米种子的价格为5元/kg。

如果一次购买2kg以上的玉

米种子，超过2kg的部分的种子的价格打八折。(3)若小周一次购买该种子花费了34元，求他购买种子的质量。解：(3)∵34>2×5,∴x>2∴4x+2=34。解得x=8。答：他购买种子的质量为8kg。(1)求该市每吨水的基本价和市场价；(2)设每月用水量为n(t),应缴水费为m

(元),请写出m与n之间的关系式；(3)若小兰家6月份的水费为165元，则她家6月份用水多少吨?解：(1)由题意，得该市每吨水的市场价为(51-45)÷(22-20)=3(元/t)。设该市每吨水的基本价为为x

元/t。由题意，得15x+(22-15)×3=51,

解得x=2。故该市每吨水的基本价和市场价分别为2元/t,3元/t。复习回顾

新知探索

典例分析

课堂小结

作业布置求函数关系式及函数值为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水实行“阶梯性”收费，即当每月用水

量不超过15t时，采用基本价收费；当每月用水量超过15t时，超过部分每吨采用市场价

收费。小兰家4,5月份的用水量及收费情况如下表：月份用水量/t水费/元4225152045变式训练(1)求该市每吨水的基本价和市场价；(2)设每月用水量为n(t),应缴水费为m

(

元

)

,

请

写

出m与n之间的关系式；(3)若小兰家6月份的水费为165元，则她家6月份用水多少吨?解：(2)当n≤15时

，m=2n;当n>15

时，m=15×2+(n-15)×3=3n-15。所以

复习回顾

新知探索

典例分析

课堂小结

作业布置求函数关系式及函数值变式训练为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水实行“阶梯性”收费，即当每月用水

量不超过15t时，采用基本价收费；当每月用水量超过15t时，超过部分每吨采用市场价

收费。小兰家4,5月份的用水量及收费情况如下表：月份用水量/t水费/元4225152045(1)求该市每吨水的基本价和市场价；(

2)设每月用水量为n(t),

应缴水费为m

(元),请写出m与n之间的关系式；(3)若小兰家6月份的水费为165元，则她家6月份用水多少吨?解：

(3)因为165>15×2=30,所以6月份用水量超过了15t