不等式专题课件

不等式专题

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）号的定义：a-b>0a>b;a-b=0<=>ci=b,a-b<0a<b.

（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.

（3）同向不等式与异向不等式.

（4）同解不等式与不笔式的同解变形.

2.不等式的基本性质

（】）a>b<^>b<a（对称"生）

（2）=1传递性）

（3）a>h=>a+c>h+c（加法单调性）

（4）a>b,c>d=>a+c>b+d（同向不等式相加）

（5）a>h,c<d=>a-c>b-cl（异向不等式相减）

（6）a.>h,c>0=>ac>bc

（7）a>b,cac<be（乘法单调性）

（8）a>b>O,c>d>0=>ac>bd（同向不等式相乘）

（9）a>b>QtO<c<d=>->-（异向不等式相除）

cd

（10）a>b,ab>0=>—<—（倒数关系）

ab

（11）a>b>0=>a">b^（neZ,^.n>1）（平方法则）

（12）〃>方>0=底>皈〃wZ.且〃>1）（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）若则lalNOZzo

（2）若公〃wK+,则<?+，之2"（或M+〃2之2|必修2"）（当仅当a=b时取等号）

（3）如果国。都是正数，那么S（当仅当a4时取等号）

2

极值定理：若x,y&R\x+y=S,xy=P,则：

①如果P是定值，那么当时，S的值最小；

②如果S是定值，那么当年y时，P的值最大.

利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.

（4）若以氏小*,则竺如之质（当仅当a=b=cHkj取等号）

3

⑸若帅>0,则（当仅当a=b时取等号）

ab

;2222

（6）«>0lif,|A|>«ox>a或x>“；|,v|<A<=>x<a<^>-a<x<a

（7）若a、beR,则||归a土b国+

4.不等式的解法

（1）整式不等式的解法〔根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例①一元一次不等式ax乂解的讨论；

②一元二次不等式4。十“”0（己去0）解的讨论.

(2)分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

孤〉。。/⑸皿”省“。｛；案产

(3)无理不等式：转化为有理不等式求解

①师>同。卜小。尸定乂域

____f(x)之o(-----f/(x)-0

②77^>g(x)=")之0或案:③775<g(x)o以外之。

丘⑶>［心)产⑻)［fM<IsM］2

(4).指数不等式：转化为代数不等式

a"X)>>1)of(x)>g(x);a"x>>a?,u(0<a<1)of(x)<g(x)

a"">b[a>0,力>0)of(x)-Ig«>\gb

(5)对数不等式：转化为代数不等式

7a)>0[/a)>o

log“/(x)>log,,g(x)(a>1)Og(x)>°；>og/(-*)>log。8(x)(0<«<!)<=>g(x)>0

/(.*)>g(x)al/(A-)<gU)

(6)含绝对值不等式

①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；

③应用化归思想等价转化

1f(x)Kg(”)0{-(g(-v)<fW<g(X)

"⑶|>g(x)og(x)<0(/(。g(x)不同时为0)或{阳><，即X)>g(x)

典型例题分析

例一1、关于X的不等式a<-b>Q的解集是(1,+8),则关于X的不等式丝3>0的解集是()

x—2

A.(-8,-1)U(2,+8)B.(-1,2)C.(1,2)D.(-«>,1)U(2,+«>)

2、解关于X的不等式：心T)>1

x—2.

例二1、不等式J1-/<工+。在［t,1］上恒成立，则。的取值范围是

2、若不等式J7二I〈百ar的解集为［1,2］,则实数〃的取值集合是

例三1.不等式log.(l-3>l，当Q>1时，其解为

x

A){x\—<x<0}8){x|l<x<—!—}C){x|—<x<l}D){x|0<x<—}

\-a\-a\-a\-a

2+log।x

2.不等式X3>8的解集为

(A)(0,+8)(B)R(C)(0,8)(D)0

3.不等式210gx25—3log2sX<l的解集为

4)(上,1)B)(5⑹+8)C)(5V5/+OO)U(±Z1)D)(5狗,+8)u(工,1)

252525

4.当。>0且。旦1时,解关于x的不等式：1+log1(4-log,(ar-1).

24

ADD

14、当0<a<l时，{x[k>g“4vx41ogq2};当。>1时,{x|logw2^x<log24}.

1_x2

例四1、设p：x2—x—20>0,Q：I—；<0,则p是q的()

kl-2

(A)充分不必耍条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

hIxI(r<0)

例五1、设函数/(X)=；；(>0)，若/'(%)>0则X。取值范围是)

A.(-8,-1)U(1,+8)B.(-8,-1)U(0,+8)

C.(-1,0)U(0,1)D.(-1,0)U(0,+00)

a-x,x<0,f(Y)

2、已知：困数“幻=<(6/>0).解不等式：包又<1.

a,x>0x-2

例六1、已知奇函数f(x)在(-8,0)为减函数，*2)=0则不等式(x-l)f(x-l)<0的解集

为：。

2、已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当

x>0时，f(x)>2,f(3)=5,求不等式f(a?-2a-2)。的解.

例七1、定义在R上的函数f/x)为奇函数，且在［0,+8)为增函数，对任意®£R,不等式

f(cos2^-3)+f(2m-sin<9)>0恒成立，则实数m的取值范围是

2、设奇函数/(幻在［T,1］上是增函数，且=若函数/(外工产―2小+1

对所有的xG［-1,1］及所有的aG［-1,1］都成立，则/的取值范围是:

课堂巩固

1、若不等式，一色+_1沈+1<0的解为则。的取值范围是

aa

x

2、解关于X的不等式：-—<1-6/

A-1

3、已知。〃=(〃+1)(《)”(”END,则数列{aj最大项为第一项。

4、不等式而二7<2x+a(a>0)的解集是()

A(xjo<X<4}B{A］0<X<C'XX><——a'D0

-5)

5、关于X的不等式/<bg〃(x+l)在(0,1)上恒成立，则a的取值范围是。

2rI

6、不等式士->」一的解集是

x-iUI

7、己知函数》=/1)在(-8,+00)上是增函数，A。-2),B(4,2)是其图象上的两个点，那

么不等式I/(x+2)|<2的解集是

8、已知y=/(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数，它们的定义域

均为［-小封，且它们在不万］上的图象如图所示，则不等式

四<瞰解集是

gW

9、已知定义在正实数集上的函数/(式)满足①若X>1,则/(X)<0；②/(g)=1;③对定义

域内的任意实数x,)，，都有：f(xy^)=f(x)+f(y)f则不等式/。)+/(5-幻2-2的

解集为o

*+1)2X<\

10、设函数/(、)=12—，则使/(%)之1。则X。的取值范围是()

4-Vx-1x>1

A(-oo-2]u[0,10]B(-00-2]U[0,1]C(-00-2]u[1,10]D[-2,0]u[1,10]

11、已知=则不等式x+(x+2)-/(x+2)W5的解集是__________・

一1,型u,

12、f(x)是偶函数，且f(x)在［0,+8)上是增函数，如果f(ax+l)Wf(x-2)在［；,1］上恒成

立，则实数a的取值范围是。

13、对满足0WPW4的实数P,做/+&>4x+P—3恒成立的x的取值范围是:A.

[—1,3]B.(3,4-00)C.(—oo,—l)IJ(3,4-OO)0.(—oo,-l)

14、已知函数/(幻=3d一/一3工+\,直线/：9x+2y+c=0,若当工£[-2,2]时,

函数y=f(x)的图象恒在直线/的下方，则C的取值范围是

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(x+l)2(x<-l)

1.设函数yu)=,2x+2(-l<x<l),已知火〃)>1,则4的取值范围是()

A.(-8,-2)u(-；,+8)B.(一g)

C.(—oo,—2)U(——,1)D.(—2,——)U(1,-Foo)

2

2.已知Ar)、g(x)都是奇函数，/(x)>0的解集是(苏，份，g(x)>0的解集是(竺，-),

2

则凡。g(x)>0的解集是.

3.已知关于x的方程sin2A+2cosA-i-6z=0有解，则4的取值范围是.

4.已知适合不等一式Lt2—4x+p|+|x—3|W5的x的最大值为3.

⑴求〃的值；

(2)若凡r尸与二，解关于x的不等式/一小)>1。％,宁伏£R+)

px+1k

7_1

5.设./U)=ad+Zu+c,若川)=5,问是否存在a、〃、c£R,使得不等式：/+不<f(x)<2.r+2x+

三3对一切实数x都成立，证明你的结论.

2

6.已知函数启)=/+阴+夕，对于任意0£R,有人sin彷()，且人sin火2)”

(I)求p、q之间的关系式；

(2)求〃的取值范围；

(3)如果;(sinO+2)的最大值是14,求〃的值.并求此时/(sin。)的最小值.

7.解不等式1。&(1一l)>1

x

8.设函数府)="满足条件：当x£(—8,0)时，儿r)>l；当x£((),1]时，不等式式3/址

—1)>川+〃认一/)》,/(〃?+2)恒成立，求实数m的取值范围.

不等式的解法练习2参考答案

一、1.解析：由於)及/(4)>1可得:

-1<a<1

①或

2a+2>\

解①得aV—2,解②得一一VaVl,解③得

2

•♦.a的取值范围是(一力,—2)U(——,I)

2

答案：C

2.解析：由己知匕>〃:/U),g(x)均为奇函数，的解集是(一4一屋)，g(x)V0

.2

的解集是(一*%).由於)g(x)>0可得：

依)>。口山⑴<。叩卜：<皿

g(x)>0,|g(x)<0'、|--<x<-—

2222

Axe(«2,1)U(--|,-a2)

答案：(〃2,1)U(-^,-«2)

3.解析：原方程可化为cos*—2cosx—a—1=0,令Z=COSJG得尸一2/—a—1=0,原问题转

化为方程Z2—2f—a—1:0在[―1,1]上至少有一个实根.令人/尸产一2l—a—1,对称轴f=l,

画图象分析可得解得[-2,2].

1/(1)<0

答案:[-2,2]

三、

4.解：(1)・・•适合不等式斤一4户〃|+卜一3区5的x的最大值为3,

/.X-3<0>/.|x—3|=3—%.

若*-4X+〃|=-『+4LP，则原不等式为F-3x+p+2K),其解集不可能为国启3｝的子集，

/.|.\2-4x+p|=/—4x+p.

，原不等式为x2—4x+p+3一后0,BPX2—5A+p—2<0,令A2—5x+p—2=(x—3)(x—〃"，可

得〃?=2,p=8.

(2)/(.r)=-^^—!-，，/i(x)=log81^(—l<x<l),

8V+1IT

Wlogs>log8»...logKl-X)Vlog8匕•，»\~x<k,.*.x>1—k.

1-.Vk

V-1<x<1,2£R+,・,•当0VAV2时，原不等式解集为｛x|l-&VxVl｝；当Q2时，

原不等式的解集为3—1<x<\].

771a3

5.解：由<1)=3得a+Z?+c=3,令『+3=2x2+Zr+；x=>下-1,由yU£2『+2x+j推得

3

«T冷.

由/U)》2+：推得7(-1巨3，・\/(—1)=3，.二。一万-c=3，故

2(a+c)=5,a+c=且8=1,；・yU)=av2+x+(—a).

依题意：ar+x+(--a)>^+,对一切x£R成立，

22

・•・〃,1且/二1一4(〃一1)(2一。左0,得(2。-3)24),

3

•,-J(x)=-x1+x+\

33

易验证：-f+户1<2X2+2X+—对x£R都成立.

22

3I3

・,・存在实数a=—,b=\,c=l,使得不等式：f+—矶目戈昌⑵叶―对一切x£R都成立.

222

6.解：(l)V-l<sin<9<l,l<sin<9+2<3,即当[-1,I]时，小乃0,当[1,3]

时，./(A)>0,:.当x=1时fix)=0./.\+p+q=0,q=—(\+p)

(2)*x)=f+p.L(l+p),

当sin〃=—1时八一1)二0,/.1~p—1一匹0,p>0

(3)注意到外)在[1,3]上递增，・・・x=3时段)有最大值.即9+3p+q=14,9+3〃-1一〃二14,

.*.p=3.

49S

此时，人丫）=e+3］—4,即求［—1,1］时贝x）的最小值.又yu）=（x+5）2—丁，显然

24

此函数在［-I,1］上递增.

:.当x=-1时7U）有最小值<-1）=1-3—4二-6.

1-->0

7.解：（I）当。>1时，原不等式等价于不等式组x

1-->6/

X

由此得1一。>'.因为1一。<0,所以XV0,・•・——<x<0.

x1—a

①

②

(2)当OVaVl时，原不等式等价于不等式组：”

1--<«

x

由①得x>l或xVO，由②得OVxV」一,A1<x<—.

1-ci\-a

综上，当。>1时，不等式的解集是闺一!一VxVO；,当OVaVl时，不等式的解集为

1-67

｛x|i<x<_L|.

\-a

8.解：由已知得OVaVl,由13心一1)刁(1+〃〃一/)>人机+2),x£(0,I］恒成立.

3mx-\<\+nix-x一注一

<=>在x£(0,1］恒成立.

1+nvc-X~<777+2

2x<1-x-_„.

整理，当xW(O,1)时,恒成立,

m(x-\)<x+1

1-x2

m<-----2

2x2.71A<1-X

即当x£(0,1］时，恒成立，且x=l时,恒成立,

<.2,Irn(x-1)<.r2+I

.・.?=出在心1］上为增函数，・・・匕£>0,