高考总复习-随机变量及其分布

复习：随机变量及其分布

知识网络X)X2•••Xi•••

目标认知

考试大纲要

求.

1.理解取

有限个值的离

散型随机变量

及其分布列的

概念，了解分

布列对于刻画

随机现象的重

要性.

2.理解取

有限个值的离

散型随机变量

均值、方差的

概念，能计算

简单离散型随

机变量的均

值、方差，

.并能解

决一些实际问

题.

3.理解n

次独立重复试

验的模型及二

明分布，并能

解决一些简单

的实际问题.

4.理解超

几何分布及其

导出过程，并

能进行简单的

应用.

重点.

离散型随

机变■及其分

布列的概念，

离散型随机变

量均值、方差

的概念，能计

算简单离散型

随机变量的均

值、方差，并

能解决一些实

际问题.

难点.

正确写出

离散型随机变

量的分布列，

求出均值与方

差。

知识要点梳理

知识点一：离

散型随机变量

及其分布列

1.离散型

随机变量：

如果随机

试驹的结果可

以用一个变量

来表示，那么

这样的变量叫

做随机变量，

随机变量常用

希腊字母等

表不。

2.圈散型

随机变量

对于随机

变量可能取的

值，可以按一

定次序一一列

出，这样的随

机变量叫做离

散型随机变

量；

若是随

机变量，其

中a,b是常数，

则也是随机

变量，并且不

改变其腐性

(离散型、连

续型)O

3.离散性

随机变量的分

布列：

设离散型

随机变量可

能取得值为

xl,x2,**«,x3,*-

，若取每一个

值xi(i=l,2,—)

的概率为，

则称表

4

pPiP2•••Pi•••

为随机变量的概率分10

布，简称的分布列.

4.离散型随机变量的

分布列都具有下面两个性

质：

(1)pi>0,i=l,2-;

(2)P1+P2+-=1

知识点二：离散型随机变量

的二点分布

如果随机变量X的分

布列为

X

pP1-P

称01•••KN

离散型

随机变

量服

从参数

为的

两点分

布。

知识点

=：离

散型随

机变量

的二项

分布

在

一次随

机试验

中，某

事件可

能发生

也可能

不发生,

在n次

独立重

复试脸

中这个

事件发

生的次

数是

一个随

机变量,

如果在

一次试

验中某

事件发

生的概

率是P,

那么在

n次独

立重复

试验中

这个事

件恰好

发生k

次的概

率是，

于

是得至1」

随机变

量的

概率分

布如下:

••••••

pc：涡zC：p?

由于123•••k•••

恰好是二

助展开式

中的各项

的值，所以

称这样的

随机变量

服从二项

分布，记作

一，其

中n,p为参

数，并记

若一

，则，。

知识点四：

离散型随

机变量的

几何分布

独立

重复试验

中，某个事

件第一次

发生时所

作试验的

次数也是

一个正整

数的离散

型随机变

量。

表示

在第k次独

立重复试

验时该事

件第一次

发生，

如果

把第k次重

复试验时

事件A发生

记作Ak,

事件A不发

生记作目

那么

离散型随

机变量C

的概率分

布是：

PP(l-P)P(1-P)2P•••(1-P)k,p•••

称这样01•••m

的随机变量

服从几何

分布，记作

其中

若随机

变量服从

几何分布，

则，

知识点五：

超几何分布

在含M

件次品的N

件产品中，

任取n件，

其中恰有X

件次品数，

则事件发

生的概率

为：

,其

中，

称分布

列

X

Pz>»-0•••ZYJWZV>-W

*C%

••••••

为超X1X2Xn

几何分布

列。离散

型随机变

量X服从

超几何分

布。

若随

机变量X

服从超几

何分布，

则，。

知识点六:

离散型随

机变量的

期望与方

差

1.离散型

随机变量

的期望：

一般

地，若离

散型随机

变量的

概率分布

为

g

♦•••••

PplP2Pn

则称的数学期望，筒称期望，又称为平均数、均值。

数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

或集中位置，

若（a.b是常数）.c

二项分布的期望：

若离散型随机变量4报从二项分布，即

几何分布的期望：

若离散型随机变量C报从几何分布，且

2.离散型随机变量的方差.

对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是xl,x2,…xn,…，且取这些值的概率分

别是pl,p2,…,pn,…，那么，称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量

4的期望。

D4的算术平方根叫做随机变量<的标准差，记作。

随机变量的方差与标；隹差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方

差越大数据波动越大。

若（a,b是常数），?是随机变量，则D（aC+b）=a2D《。

二项分布的方差：

若离散型随机变量4报从二项分布，即

几何分布的方差：

若离散型随机变量C报从几何分布，且

规律方法指导

①由于理科学习了计数原理和条件概率以及相互独立事件的概率，在概率的计算上理

科出题的范围非常广，要求会用计数原理和排列、组合的知识计算随机事件所含的基本事件

数及事件发生的概率.高考中经常把概率的计算问题放在离散型随机变量的分布列中考查.对

于离散型随机变量的均值与方差特别要注意几个基本概率模型.考查离散型随机变量的分布

列以及均值与方差问题是高考中的热点问题.

②求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排

列、组合与概率知识求出取各个值的概率即必须解决好两个问题，一是求出的所有取值,

二是求出取每一个值时的概率，同时按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证.

③求离散型随机变量的均值（期望）和方差，重要的是能正确写出分布列.在解题时要注

意判断一个实际问题是否寓于二项分布，成功概率是多少，找出其他随机变量与二项分布的

随机变是间的关系式，利月二项分布的均值与方差的计算公式求解.

经典例题精析01

类型一：独立重

复试验的概率

1、把n个不

同的球畸机地放

入编号为1,

2,―,m的m个

盒子内，求1号

盒恰有r个球的

概率

法一：用独

立重复试验的概

率公式

把1

个球放入m个不

同的盒子内看成

一次独立试验，

其中放入1号盒

的概率为「二,

这样

n个球放入m个

不同的盒子内相

当于做n次独立

重复试验，

..由独

立重复试验中事

件A恰好发生k

次的概率公式

知，

1号

盒恰有r个球的

概率

法二：用古

典概型

把n

个不同的球任意

放入m个不同的

盒子内共有mn

个等可能的结

果.

其中

1号盒内恰有r

个球的结果数为

C(m—1)n—

r，

.故所

求概率P(A)

答：1

号盒恰有1•个球

的概率为。

举一反三：

【变式1】

十层电梯从低层

到顶层停不少于

3次的概率是多

少停几次概率最

大

【答案】依

题意，从低层到

顶层停不少于3

次，应包括停3

次，停4次，停5

次，……，直到

停9次

**•从低层到」由层

停不少于3次的

概率

设从低层到」贞层

停次，则其概

率为，

・••当或时，

最大，即最大，

答：从低层到顶

层停不少于3次

的概率为，停4

次或5次概率最

大.

【变式2】

实力相等的甲、

乙两队参加乒乓

球团体比赛，规

定5局3胜制（即

5局内谁先嬴3

局就算胜出并停

止匕飨).

(1)试分别

求甲打完3局、4

局、5局才能取

胜的概率.

⑵按匕倭

规则甲获胜的概

率.

【答案】甲、

乙两队实力相

等，所以每局比

赛甲获胜的概率

为，乙获胜的

概率为,

记事件=“甲打

完3局才能取

胜〃，

记事件=“甲打

完4局才能取

胜”，

记事件=“甲打

完5局才能取

胜”.

①甲打完3局取

胜，相当于进行

3次独立重复试

验，且每局比赛

甲均取胜

；•甲打完3局取

胜的概率为.

②甲打完4局才

能取胜，相当于

进行4次独立重

复试验，且甲第

4局比赛取胜，

前3局为2胜1

负

；•甲打完4局才

能取胜的概率为

③甲打完5局/

能取胜，相当于

进行5次独立重

复试验，且甲第

5局比赛取胜，

前4局恰好2胜2

负

：・甲打完5局才

能取胜的概率为

*

⑵事件="按

比赛规则甲获

胜”，则，

又因为事件、

、彼此互斥，

故

答：按比赛规则

甲获胜的概率为

•

类型二：分布列

的性质

2、若离散型

随机变量i的概

率分布列为：

p9c2-c3-8c

试求出常数c与＜01

的分布列。

解析：由离散型随

机变量分布列的基本性

质知：

解得常数，

从而C的分布列为：

21

P

33

总结

升华：解题

关键是理

解随机变

量分布列

的两个基

本性质，仕45678910

写出〈的

分布列后，

要及时检

查所有的

概率之和

是否为lo

举一

反三：

【变式

11某一射

手射击所

得的环数

4的分布

列如下：

p

求此射手“射击一次

命中环数>7”的概率.

1答案】根据射手射

击所得的环数4的分布

列，有

P(4=7)

=,p(e=8)=,P(>9)

=,P(<=10)=.-101

所求的概

率为P(W>7)=+++=.

［变式21随机变量

的分布列如下：

PabC

其

中

0123456

成

等

差

数

列

若

则

的

值

是

一•

[

答

案

1

*

由

题

意

知

解

得

所

以

o

类

型

离

散

型

随

机

变

量

的

分

布

列

3.

某

人

参

加

射

击

击

中

目

标

的

概

率

是

o

①

设

为

他

射

击

6

次

击

中

@

标

的

次

数

求

随

机

变

量

的

分

布

列

②

设

为

他

第

次

击

中

目

标

时

所

而

要

射

击

的

次

数

求

的

分

布

列

③

若

他

只

有

6

颗

子

弹

若

他

击

中

目

标

则

不

再

射

击

否

则

子

弹

打

兀

求

他

射

击

次

数

的

分

布

列

O

思

路

点

拨

由

B

知

某

人

射

击

6

次

相

当

于

6

次

独

立

重

复

试

验

他

射

击

6

次

击

中

目

标

的

次

数

q

满

足

9

因

此

随

机

变

量

q

服

从

项

分

布

第

次

击

中

目

标

时

所

'二匕

而1

要

射

击

的

次

数

力

满

足

9

因

此

n

服

从

几

何

分

布

O

解

析

①

随

机

亦

量

服

从

助

分

布

而

的

取

值

为

0,

1,

2,

3,

4,

5,

6,

则

故

的

分

布

列

为

4

6419224016060121

p

729729729729729729729

②

设表1234•••k•••

示他前

次未

击中目

标，而

在第

次射击

时击中

目标，

则的

取值为

全体正

整数

1,2,3,

…则

的分

布列为

7

122

••••••

P333(|月丁5

③的

取值为

123,4,5,6

9

表示前次

未击中，而

第次击123456

中，

・•♦

，，

而

表示前5次

未击中，第

6次可以击

中，也可以

未击中

♦*•

•••

的分布列

为：

4

2481632

P

392781243243

总结升华：求离散

型随机变量分布列要注

意两个问题：一是求出

随机变量所有可能的

值；二是求出取每一个

值时的概率.

举一反三：

【变式1】在口件

产品中有2件次品，连

续抽3次，每次抽1件,

求：

012

(1)不放回抽样时,

抽到次品数4的分布

列；

(2)放回抽样时，抽

到次品数〃的分布列.

【答案】〃也可以

取0.1,2,3,放回抽样和

不放回抽样对随机变量

的取值和相应的概率都

产生了变化，要具体问

题具体分析.

(I)随机变量4取

值为0,1,2

P(<=0)

==,P(4=1)==,

P(<=2)==,

所以4的分

布列为

q

2_71

p151515

(2)随机变

量n取值为0,1,

2,3

P(〃

=k)=C•-0123

k・(k=0,1,2,3),

所以〃

的分布列如下，

0123

P33•3•3

【变式2】从某

批产品中.有放回地

抽取产品二次，每次

随机抽取1件，假设

事件：“取出的2件

产品中至多有1件是

二等品”的概，率.012

(1)求从该批产

品中任取1件是二等

品的概率；

(2)若该批产品

共10()件，从中任意

抽取2件，表示取出

的2件产品中二等品

的件数，求的分布

列.

【答案】

(1)记表示事

件“取出的2件产品

中无二等品”，

表小事

件“取出的2件产品

中恰有1件二等品”.

则互斥，

且，

故

于是•解

得；

(2)的可能取

值为•

若该批产

品共100件,由(1)

知其二等品有件，

故，，.

所以的

分布列为

4

31616019

P495495495

【变式3】

某运动员射击

678910

一次所得环数

的分布如下：

X

P0020.3030.2

现进

78910

行两次射

击，以该运

动员两次

射击中最

高环数作

为他的成

绩，记为.

(I)求

该运动员

两次都命

中7环的概

率；

⑴)求

的分布

列；

［答

案】

(I)求

该运动员

两次都命

中7环的概

率为；

(II)

的可能取

值为7、8、

9、10

9

分布列为：

4

p

类型四：离散型

随机变量的期望

和方差

4.已知甲盒

内有大小相同的

1个红球和3个

黑球，乙盒内有

大小相同的2个

红球和4个黑球.

现从甲、乙两个

盒内各任取2个

球.

(I)求取

出的4个球均为

黑球的概率；

(II)求取

出的4个球中恰0123

有1个红球的概

率；

(IH)设

为取出的4个球

中红球的个数，

求的分布列和

数学期望.

解析：

(I)设“从

甲盒内取出的2

个球均为黑球”

为事件，“从乙

盒内取出的2个

球均为黑球”为

事件.

由于

事件相互独立,

且，.

故取

出的4个球均为

黑球的概率为.

(II)设“从

甲盒内取出的2

个球均为黑球，

从乙盒内取出的

2个球中，1个是

红球J个是黑

球”为事件

“从甲盒内取出

的2个球中，1个

是红球,1个是黑

球，从乙盒内取

出的2个球均为

黑球”为事

件.

由于事件互斥,

且，

故取

出的4个球中恰

有1个红球的概

率为•

(HI)可

能的取值为.

由

(I),(II)

得，一

从而

的

分布列为

r

工731

p5151030

的数学期

望.

总结升

华：求离散

型随机变量

4的方差、

标准差的步

骤：

①理解

4的意义，

写出t可能

取的全部

值；

②求《

取各个值的0123

概率，写出

分布列；

钏艮据

分布列，由

期望的定义

求出;

到艮据

方差、标准

差的定义求

出D4、。

举一反

二：

【变式

1】某地区为

下岗人员免

费提供财会

和计算机培

训，以提高

下岗人员的

再就业能力,

每名下岗人

员可以选择

参和一项培

训、参加两

项培训或不

参加培训，

已知参加过

财会培训的

有60%,参

加过计算机

培训的有

75%,假设

每个人对培

训项目的选

择是相互独

立的，目各

人的选择相

互之间没有

影响.

⑴任

选1名下卤

人员，求该

人参加过培

训的概率；

(II)任

选3名下岗

人员，记

为3人中参

加过培训的

人数，求

的分布列和

期望.

【答案】

任选1名下

岗人员，

记“该人参

加过财会培

训”为事件

，“该人参

加过计算机

培训”为事

件，

由题设知，

事件与

相互独立，

且，.

(I)

法一：

任选1名下

卤人员，该

人没有参加

过培训1的概

率是

所以该人参

加过培训的

概率是•

法二：

任选1名下

岗人员，该

人只参加过

一项培训的

概率是

该人参加过

两项培训的

概率是•

所以该人参

加过培训的

概率是.

(II)因

为每个人的

选择是相互

独立的，所

以3人中参

加过培训的

人数服从

二项分布，

，，

即的分布

列是

0.243

p

的期A队队员胜的概率A队队员负的概率

望是.

(或的

期望是)

［变式2】某陶

瓷厂准备烧制甲、

乙、丙三件不同的工

艺品，制作过程必须

先后经过两次烧制，

当第一次烧制合格

后方可进入第二次

烧制，两次烧制过程

相互独立.根据该厂

现有的技术水平，经

过第一次烧制后，

甲、乙、丙三件产品

合格的概率依次为

,,，经过第二

次烧制后，甲、乙、

丙三件产品合格的

概率依次为，，.

(1)求第一次

烧制后恰有一件产

品合格的概率；

(2)经过前后

两次烧制后，合格工

艺品的个数为，求

随机变量的期望.

t答案】分别记

甲、乙、丙经第一次

烧制后合格为事件

，，，

(1)设表示

第一次烧制后恰好

有一件合格，则

(2)

法一：因为每件

工艺品经过两次烧

制后合格的概率均

为，所以，

故.

法二：分别记

甲、乙、丙经过两次

烧制后合格为事件

则，

所以，

9

9

于是，.

【变式3】A.B

两个代表队进行乒

乓球对抗赛，每队三

名队员,A队队员是

ALA2,A3,B队队

员是B1,B2,B3,按

以往多次比赛的统

计，对阵队员之间胜

负概率如下：

对阵队员

Ai对Bi21

33

A2对B223

55

A3对B323

55

现按表中012

对阵方式出场，

每场胜队得1

分，负队得()分,

设A队、B队最

后所得总分分

别为《、rj,

(1)求八

〃的概率分布；

(2)求E

C、EJ

【答案】

(1)4、

n的可能取值

分别为3,2,1,0

根据

题意知己+"

:3,

所以

O

(2)

因为

4+1=3,所以

5.甲乙两人

独立解某一道

数学题，该题被

甲独立解出的

概率为，被甲或

乙解出的概率

为。

(1)求该题

被乙独立解出

的概率；

(2)求解出

该题的人数＜

的数学期望和

方差3

解析：

⑴甲、乙解

出此题分别记

为事件A.B,

甲、乙没有解出

此题分别记为

事件，

则有

甲或乙

解出此题的对

立事件：甲乙都

没有解出此题，

记为，

则甲或

乙解出的概率

即：该

题被乙独立解

出的概率是；

(2)解出该

题的人数C为:

0、1.2

则解出

该题的人数C

的分布列为：

P

期望0।23

方差

举一反三：

【变式】一名学生骑

自行车上学，从他的家到

学校的途中有6个交通

岗，假设他在各交通岗遇

到红灯的事件是独立的，

并且概率都是。

(I)求这名学生首次

遇到红灯前，己经过了两

个交通岗的概率；

(II)求这名学生在途

中遇到红灯数4的期望

与方差。

【答案】

(I)由于该学生在各

交通岗遇到红灯的事件

是独立的，利用相互独立

事件的概率，

其首次遇到红

灯前已经过了两个交通

岗的概率.

(II)依题意该学生在

途中遇到红灯数《服从

二项分布

则期望望，

方差O

类型五：离散型随机变量

的期望和方差在实际生

活中的应用

6.A.B两台机床同时

加工零件，每生产一批数

量较大的产品时，出次品

的概率如下表所示：

A机床

次品数。

概率P

B机床

次品数420123

概率P

问哪一台机床加

工质量较好.

思路点拨：

解析:E[1=0X

+1x+2x+3x=,

E42=0x

+1x+2x+3x=

它们的期

望相同，再比较它们

的方差。

D<l=2x

012

+x2x+2x+2x=,

DJ2=2x

+2x+2x+2x=

1<

De2,故A机床加工

较稳定、质量较好.

总结升华：

①期望仅体现了

随机变量取值的平均

大小，但有时仅知道

均值的大小还不够。

如果两个随机变量的

均值相等，还要看随

机变量的取值如何在

均值周围变化，即计

算方差。方差大说明

随机变量取值较分散,

方差小说明取值分散

性小或者取值比较集

中、稳定。

②对于两个随机

变重门和J2,在E

门和Ee2相等或很

接近时，比较De1和

D42。可以确定哪个

随机变量的性质更适

合生产生活实际，适

合人们的需要。

举一反三：

［变式1］利用下

列盈利表中的数据进

行决策，应选择的方

案是________.

【答案】

AI的数学期望：

=x50+x65+x26=

A2的数学期望：

=x70+x26+x16=

A3的数学期望：

=x(-20)+X52+

x78=

A4的数学期望：

=x98+x82+x(-

10)=

・・・应选择的方案

是A3

【变式2】甲、乙

两名工人加工同一种

零件，两人每天加工

的零件数相等，所得

次品数分别为£、*

£和〃的分布列如下:

£

613

PToToio

1012

532

pW1010

试对这两名工123

人的技术水平进行

比较。

【答案】工人

甲生产出次品数£

的期望和方差分别

为：

工人

乙生产出次星।数n

的期望和方差分别

为：

由E

£=Erj知，两人出

次品)的平均数相同，

技术水平相当，

但D

£>D〃，可见乙的

技术比较稳定。

【变式3】甲、

乙两名射手在一次

射击中的得分为两

个相互独立的随机

变量4与的分布

列为:

pPa

7123

pb

⑴求a、b的值;

(2)甲、乙两名射手在一次射击中的得分均小于3的概率谁更大

(3)计算的期望与方差，并以此分析甲乙的技术状况。

【答案】

(l)Va++=l,Aa=,同理b=

(2)

••

(3)期望

方差

同理

由计算结果，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，

但说明甲得分的稳定性比乙差，因而，甲乙两人的技术都不够全面。

高考题萃

1.(2008全

国D已知5只动1234

物中有1只患有

某种疾病，需要

通过化验血液来

确定患病的动

物.血液化验结

果呈阳性的即为

患病动物，呈阴

性即没患病.下

面是两种化验方

法：

方案甲：逐

个化验，直到能

确定患病动物为

止.

方案乙：先

任取3只，将它们

的血液混在一起

化验.若结果呈

阳性则表明患病

动物为这3只中

的1只，然后再逐

个化验，直到能

确定患病动物为

止；若结果呈阴

性则在另外2只

中任取1只化验.

（I）求依

方案甲所需化验

次数不少于依方

案乙所需化验次

数的概率；

（H）表示

依方案乙所需化

验次数，求的

期望.

解析：

（I）对于

甲：

次数

概率

对于乙:

概率

・・・方案甲所需化

验次数不少于依方案乙所需

化验次数的概率：

(II)表示依方案乙所

需化验次数，的期望为.

2.(2008全国II).购买

某种保险，每个投保人每年度

向保险公司交纳保费元，若

投保人在购买保险的一年度

内出险，则可以获得10000元

的赔偿金.假定在一年度内有

10000人购买了这种保险，目

13

各投保人是否出险相互独立.

已知保险公司在一年度内至

少支付赔偿金10000元的概

率为•

(I)求一投保人在一年

度内出险的概率；

(II)设保险公司开办该

项险种业务除赔偿金外的成

本为50000元，为保证盈利的

期望不小于0.求每位投保人

应交纳的最低保费(单位：

元).

解析：各投保人是否出险

互相独立，且出险的概率都是

,记投保的10000人中出险

的人数为，

则.

(I)记表示事

件：保险公司为该险种至少支

付10000元赔偿金，

则发生

当且仅当，

又，故

(II)该险种总

收入为元，支出是赔偿金总

额与成本的和.

支出，

盈利，

盈利的期

望为，

由知，;

(元).

故每位投

保人应交纳的最低保费为15

元.••••••••••••••••|2

分

3.(2008北京).甲、乙

等五名奥运志愿者被随机地

分到四个不同的岗位服务，

每个岗位至少有一名志愿者.

(I)求甲、乙两人同时

参加岗位服务的概率；

(II)求甲、乙两人不在

同一个岗位服务的概率；

(III)设随机变量为这

五名志愿者中参加岗位服

务的人数，求的分布列.

解析：

(I)记甲、乙两人同时

参加岗位服务为事件，

那么，

即甲、乙两人同时

参加岗位服务的概率是•

(n)记甲、乙两人同时

参加同一岗位服务为事件，

那么，

所以，甲、乙两人

不在同一岗位服务的概率是

(in)随机变量可能取

的值为1,2.事件"”是指有

两人同时参加岗位服务，

则.

所以，

的分布列是

4

3J

P44

4.

(2008四

)11),设进

入某商场

0123456

的每一位

顾客购买

甲种商品

的概率为

,购买乙

种商品的

概率为，

且购买甲

种商品与

购买乙种

商品相互

独立，各顾

客之间购

买商品也

是相互独

立的。

(I)

求进入商

场的1位顾

客购买甲、

乙两种商

品中的一

种的概率；

(11)

求进入商

场的1位顾

客至少购

买甲、乙两

种商品中

的一种的

概率；

(III)

记表示进

入商场的3

位顾客中

至少购买

甲、乙两种

商品中的

一种的人

数求的

分布列及

期望。

解析：

记表示事

件：进入商

场的1位顾

客购买甲

种商品，

记表示事

件:进入商

场的1位顾

客购买乙

种商品，

记表示事

件：进入商

场的1位顾

客购买甲、

乙两种商

品中的一

种，

记表示事

件:进入商

场的1位顾

客至少购

买甲、乙两

种商品中

的一种，

(I)

（II）

（in）

故的分布

列：

所以

5.

（2008安

徽）为防止

风沙危害，

某地决定

建设防护

绿化带，种

植杨树、沙

柳等植物。

某人一次

种植了n株

沙柳，各株

沙柳成活

与否是相

互独立的，

成活率为

P，设为

成活沙柳

的株数，数

学期望，

标准差为

O

(I)

求n,p的值

并写出的

分布列；

(II)

若有3株或

3株以上的

沙柳未成

活，则需要

补种，求需

要补种沙

柳的概率。

解析：

⑴由

得，

从

而

的分布列

为

4

16201561

p64646464646464

(2)记”需要补

种沙柳”为事件A,

则

•

•♦

或

6.(2008山东)

甲乙两队参加奥运

知识竞赛，每队3

人，每人回答一个

问题，答对者为本

队赢得一分，答错

得零分。假设甲队

中每人答对的概率

均为，乙队中3

人答对的概率分别

为且各人正确与0123

否相互之间没有影

响.用£表示甲队

的总得分.

(I)求随机

变量£分布列和数

学期望；

(II)用A表示

“甲、乙两个队总

得分之和等于3”

这一事件，用B表

示“甲队总得分大

于乙队总得分”这

一事件，求P(AB).

解析：

(I)

法一：由题意

知，£的可能取值

为0,1,2,3,且

所以£

的分布列为

£

1248

P万9927

8

的数学期望为

E£

法二：根据

题设可知

因

此£的分布列

为

(II)

法一：用c

表示“田得2分

乙得1分”这一

事件，用D表示

“甲得3分乙

得。分”这一事

件，

所

以AB=CUD,

且C.D互斥，

又

由

互斥事件的概

率公式得

法二：用

Ak表示“甲队

得k分”这一事

件，用Bk表示

“已队得k分”

这一事件，

k=0,1,2,3

由

于事件

A3BO,A2B1为

互斥事件，

・•♦

P(AB)=P(A3B0

U

A2B1)=P(A3BO

)+P(A2Bl).

7.(2008江

西)某柑桔基地

因冰雪灾害，使

得果林严重受

损，为此有关专

家提出两种拯

救果林的方案，

每种方案都需

分两年实施；若

实施方案一，预

计当年可以使

柑桔产量恢复

到灾前的倍、

倍、倍的概率分

别是、、；第二

年可以使柑桔

产量为上一年

产量的倍、倍的

概率分别是、.

若实施方案二，

预计当年可以

使柑桔产量达

到灾前的倍、

倍、倍的概率分

别是、、•第二

年可以使柑桔

产量为上一年

产量的倍、倍的

概率分别是、.

实施每种方案，

第二年与第一

年相互独立。令

表示方案实

施两年后柑桔

产量达到灾前

产量的倍数.

(1)写出

的分布列；

(2)实施

哪种方案，两年

后柑桔产量超

过灾前产量的

概率更大

(3)不管

哪种方案，如果

实施两年后柑

桔产量达不到

灾前产量，预计

可带来效益10

万元；两年后柑

桔产量恰好达

到灾前产量，预

计可带来效益

15万元；柑桔

产量超过灾前

产量，预计可带

来效益20万

元；问实施哪种

方案所带来的

平均效益更大

解析：

(1)的

所有取值为

.的所

有取值为，

.、的

分布列分别为：

6

P

备

P

(2)令A.B

分别表示方案一、

方案二两年后柑

桔产量超过灾前

产量这一事件，

101520

可见，

方案二两年后柑

桔产量超过灾前

产量的概率审大

(3)令表

示方案所带来

的效益，则

小

P

%101520

P

所以

可

见，

方案

一所

带来

的平

均效

益更

大。01234

8.

(20

08湖

北)

袋中

有20

个大

小相

同的

球，

其中

记上

。号

的有

10

个，

记上

a

的有

个

(

=1,2,

3,4).

现从

袋中

任取

球.

表示

所取

球的

标

a

(I

)求

的

分布

列，

期望

和方

差；

(II

)若

，，

试求

a.b

的

值.

解

析：

(I

)

的分

布列

为：

匕

213

P

220io205

0123

■

••

(II)

由，得

a2x=

11,即

又所以

当a=2时,

由1=2

x+b,得

b=-2.

当a=-2

时,由1

=-2x

+b,得

b=4.

A或

即为所

求.

9.

（2008

湖南）甲、

乙、丙三

人参加了

一家公司

的招聘面

试,面试

合格者可

正式签

约，甲表

示只要面

试合格就

签约.乙、

丙则约

定:两人

面试都合

格就一同

签约，否

则两人都

不签纣

设每人面

试合格的

概率都是

,且面

试是否合

格互不影

响求

(I)

至少有1

人面试合

格的概

率；

(II)

签约人数

的分布

列和数学

期望.

解

析：

用

A,B.C分

别表示事

件甲、乙、

丙面试合

格.

由题

意知A,

B,C相互

独立，且

P(A)=

P(B)=

P(O=

(I)

至少有1

人面试合

格的概率

是

(R)

的可能

取值为o.

1,2,3.

所以.的

分布列是

g

3

P311

8888

的期望

10.0123

(2008陕

西)某射击

测试规则为:

每人最多射

击3次，击

中目标即终

止射击，第

次击中目

标得分，

3次均未击

中目标得0

分.已知某

射手每次击

中目标的概

率为,其各

次射击结果

互不影响.

(I)

求该射手恰

好射击两次

的概率；

(II)

该射手的得

分记为，

求随机变量

的分布列

及数学期望.

解析：

(I)

设该射手第

次击中目

标的事件为

，贝！J,

(II)

可能取的值

为0,1,2,3.

的分布列

为

4

P

23456

11.(2008重庆)

甲、乙、丙三人按下

面的规则进行乒乓球

比赛：第一局由甲、乙

参加而丙轮空，以后

每一局由前一局的获

胜者与轮空者进行比

赛，而前一局的失败

者轮空.比赛按这种

规则一直进行到其中

一人连胜两局或打满

6局时停止.设在每局

中参赛者胜负的概率

均为，且各局胜负

相互独立.求：

(I)打满3局

比赛还未停止的概

率；

(II)匕飨停止

时已打局数的分别

列与期望.

解析：令分别

表示甲、乙、丙在第

k局中获胜.

(I)由独立事

件同时发生与互斥事

件至少有一个发生的

概率公式知，

打满3局

比赛还未停止的概率

为

(II)的所有

可能值为2,3,4,5,6,

且

故有分布

列

自

1

P1

24816