3.6 三元一次方程组（举一反三讲义）（学生版）

专题3.6三元一次方程组（举一反三讲义） 【沪科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1三元一次方程（组）的定义】 2【题型2消元法解三元一次方程组的步骤判断】 2【题型3解三元一次方程组】 3【题型4求三元一次方程组中字母的值】 4【题型5三元一次方程组中利用整体法求代数式的值】 4【题型6构造三元一次方程组求值】 5【题型7由两个三元一次方程求值】 5【题型8判断三元一次方程（组）的解】 6【题型9三元一次方程（组）的应用】 6知识点1三元一次方程组的相关概念1.三元一次方程含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．2.三元一次方程组（1）共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．（2）三元一次方程组需具备的3个条件①含有三个未知数；②每个方程中含未知数的项的次数都是1；③是整式方程组．三者缺一不可．3.三元一次方程组的解（1）三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解．（2）判断一组数是否为三元一次方程组的解时，将各数分别代人三个方程，若三个方程均成立，则这组数是该方程组的解．知识点2三元一次方程组的解法1.解三元一次方程组的基本思路用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组．解三元一次方程组的一般步骤（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）将求得的两个未知数的值代人原方程组中一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；（5）将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起．【题型1三元一次方程（组）的定义】【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（

）A．x+y-z=6x-3y+2【变式1-1】下列方程中，是三元一次方程的是（

）A．y＝2015＋2x B．x＋y＝1C．xy＝12z D．x＋y－z＝【变式1-2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（

）A．a=1b=2b-c=3 B．【变式1-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）若a+1x+5A．a=1,b=0C．a=±1,b=0【题型2消元法解三元一次方程组的步骤判断】【例2】《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组3x+2y+z=392x+3y+32139A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0【变式2-1】三元一次方程组2a+bA．5a-2b=19a+b=1【变式2-2】解三元一次方程组：a+具体过程如下：(1)②－①，得b＝2，(2)①×2＋③，得4a－2b＝7，(3)所以b=2(4)把b＝2代入4a－2b＝7，得4a－2×2＝7(以下求解过程略)．其中开始出现错误的一步是()A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)【变式2-3】解方程组3x-y+A．加减法消去x，将①－③×3与②－③×2B．加减法消去y，将①＋③与①×3＋②C．加减法消去z，将①＋②与③＋②D．代入法消去x，y，z中的任何一个【题型3解三元一次方程组】【例3】三元一次方程组x+y+【变式3-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列三元一次方程组：(1)x(2)4(3)x(4)3【变式3-2】若x，y，z同时满足：x+y=13，【变式3-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）A、B、C各代表一个数，已知A-B=8，A+B=14，C=A．10、2、22 B．11、3、25 C．11、8、30 D．12、2、26【题型4求三元一次方程组中字母的值】【例4】已知x=1y=2z=3是三元一次方程组axA．92 B．6 C．9 D．【变式4-1】关于x，y，m的方程组3x-yA．5 B．-5 C．6 D．【变式4-2】已知方程组3x-y=52x+y-z=0A．a=-2b=-3c=1 B．a=-2【变式4-3】已知x＝2，y＝﹣1，z＝﹣3是三元一次方程组mx-ny-z=72nx-3A．125 B．119 C．113 D．71【题型5三元一次方程组中利用整体法求代数式的值】【例5】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组3x-y=5①2x+3y=7②，求x-4y的值．本题常规解题思路是，解方程组得(1)【模仿应用】已知方程组3x-y(2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？(3)【拓展延伸】对于有理数x，y，定义新运算x*y=ax+【变式5-1】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知三元一次方程组2x+y=52A．5 B．20 C．15 D．10【变式5-2】若x+y=y+【变式5-3】若对于有理数x和y，定义一种运算“△”，x△y=ax+by+c，其中a、b、【题型6构造三元一次方程组求值】【例6】已知x、y、z满足x-2-z+3【变式6-1】在等式y=ax2+bx+c中，当x=0【变式6-2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知|x-6y|+3【变式6-3】如图，两台天平都保持平衡，则与2个球体质量相等的圆柱体的个数为．【题型7由两个三元一次方程求值】【例7】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知xyz≠0，满足x+4y-3z=0【变式7-1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知2x+y-7z=0，【变式7-2】若2x+3y+4z=10且【变式7-3】已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+【题型8判断三元一次方程（组）的解】【例8】方程组x+A．无解． B．有1组解． C．有2组解． D．有无穷多组解．【变式8-1】三元一次方程x-y+A．{x=1y=1z=3 B．{【变式8-2】三元一次方程x+y+A．2组 B．4组 C．6组 D．8组【变式8-3】三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（

）A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个【题型9三元一次方程（组）的应用】【例9】（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备A，B，C三种类型的食物共食物类型ABC每名志愿者准备量（份）689(1)如果C类型食物安排了16名志愿者，那么A，(2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案．【变式9-1】（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需420元，购买甲1件，乙2件，丙3件共需380元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（）A．200元 B．300元 C．350元 D．400元【变式9-2】已知青铜含有80%的铜，4%的锌和16%的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有74%的铜，16%的锌和10%的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（

）A．13:7 B．15:8 C．16:9 D．17:10【变式9-3】小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓15g、陈皮6g、白扁豆15g，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多888g；(1)购入茯苓的质量为______g；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______；(2)若第二批购入茯苓若干克、陈