(完整版)同济大学-高数上册知识点

(完整版)同济大学高数上册知识点一、函数与极限函数函数是从一个非空数集到另一个非空数集的映射。设数集\(D\subsetR\)，则称映射\(f:D\rightarrowR\)为定义在\(D\)上的函数，通常记为\(y=f(x),x\inD\)，其中\(x\)称为自变量，\(y\)称为因变量，\(D\)称为定义域。函数有多种表示方法，如解析法（公式法）、列表法和图像法。常见的函数类型包括：基本初等函数：幂函数\(y=x^{\mu}\)（\(\mu\)为常数）、指数函数\(y=a^{x}(a>0,a\neq1)\)、对数函数\(y=\log_{a}x(a>0,a\neq1)\)、三角函数（如\(y=\sinx,y=\cosx,y=\tanx\)等）和反三角函数（如\(y=\arcsinx,y=\arccosx,y=\arctanx\)等）。复合函数：设\(y=f(u)\)的定义域为\(D_{f}\)，\(u=g(x)\)的值域为\(R_{g}\)，当\(R_{g}\capD_{f}\neq\varnothing\)时，称\(y=f[g(x)]\)为\(x\)的复合函数，其中\(u\)为中间变量。分段函数：在定义域的不同部分用不同的解析式表示的函数，例如绝对值函数\(y=\vertx\vert=\begin{cases}x,x\geq0\\x,x<0\end{cases}\)。函数的性质包括：有界性：设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)，数集\(X\subsetD\)，若存在正数\(M\)，使得对一切\(x\inX\)，都有\(\vertf(x)\vert\leqM\)，则称函数\(f(x)\)在\(X\)上有界；若这样的\(M\)不存在，则称\(f(x)\)在\(X\)上无界。单调性：设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)，区间\(I\subsetD\)，如果对于区间\(I\)上任意两点\(x_{1}\)及\(x_{2}\)，当\(x_{1}<x_{2}\)时，恒有\(f(x_{1})<f(x_{2})\)，则称函数\(f(x)\)在区间\(I\)上是单调增加的；若恒有\(f(x_{1})>f(x_{2})\)，则称函数\(f(x)\)在区间\(I\)上是单调减少的。奇偶性：设函数\(f(x)\)的定义域\(D\)关于原点对称，如果对于任一\(x\inD\)，\(f(x)=f(x)\)恒成立，则称\(f(x)\)为偶函数；如果对于任一\(x\inD\)，\(f(x)=f(x)\)恒成立，则称\(f(x)\)为奇函数。周期性：设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)，如果存在一个正数\(T\)，使得对于任一\(x\inD\)有\((x\pmT)\inD\)，且\(f(x+T)=f(x)\)恒成立，则称\(f(x)\)为周期函数，\(T\)称为\(f(x)\)的周期，通常所说的周期是指最小正周期。极限数列极限：设\(\{x_{n}\}\)为一数列，如果存在常数\(a\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正整数\(N\)，使得当\(n>N\)时，不等式\(\vertx_{n}a\vert<\varepsilon\)都成立，那么就称常数\(a\)是数列\(\{x_{n}\}\)的极限，或者称数列\(\{x_{n}\}\)收敛于\(a\)，记为\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a\)或\(x_{n}\rightarrowa(n\rightarrow\infty)\)。如果不存在这样的常数\(a\)，则称数列\(\{x_{n}\}\)没有极限，或者说数列\(\{x_{n}\}\)是发散的。函数极限：当\(x\rightarrowx_{0}\)时函数的极限：设函数\(f(x)\)在点\(x_{0}\)的某去心邻域内有定义，如果存在常数\(A\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正数\(\delta\)，使得当\(x\)满足不等式\(0<\vertxx_{0}\vert<\delta\)时，对应的函数值\(f(x)\)都满足不等式\(\vertf(x)A\vert<\varepsilon\)，那么常数\(A\)就叫做函数\(f(x)\)当\(x\rightarrowx_{0}\)时的极限，记为\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)=A\)。左极限和右极限：左极限\(\lim_{x\rightarrowx_{0}^{}}f(x)=A\)表示当\(x\)从\(x_{0}\)的左侧趋近于\(x_{0}\)时\(f(x)\)的极限；右极限\(\lim_{x\rightarrowx_{0}^{+}}f(x)=A\)表示当\(x\)从\(x_{0}\)的右侧趋近于\(x_{0}\)时\(f(x)\)的极限。\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)=A\)的充要条件是\(\lim_{x\rightarrowx_{0}^{}}f(x)=\lim_{x\rightarrowx_{0}^{+}}f(x)=A\)。当\(x\rightarrow\infty\)时函数的极限：设函数\(f(x)\)当\(\vertx\vert\)大于某一正数时有定义，如果存在常数\(A\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在着正数\(X\)，使得当\(x\)满足不等式\(\vertx\vert>X\)时，对应的函数值\(f(x)\)都满足不等式\(\vertf(x)A\vert<\varepsilon\)，那么常数\(A\)就叫做函数\(f(x)\)当\(x\rightarrow\infty\)时的极限，记为\(\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=A\)。极限的性质：唯一性：如果数列\(\{x_{n}\}\)收敛，那么它的极限唯一；如果\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)\)存在，那么这个极限是唯一的。有界性：收敛的数列一定有界；如果\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)=A\)，那么存在常数\(M>0\)和\(\delta>0\)，使得当\(0<\vertxx_{0}\vert<\delta\)时，有\(\vertf(x)\vert\leqM\)。保号性：如果\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)=A\)，且\(A>0\)（或\(A<0\)），那么存在常数\(\delta>0\)，使得当\(0<\vertxx_{0}\vert<\delta\)时，有\(f(x)>0\)（或\(f(x)<0\)）；反之，如果在\(x_{0}\)的某去心邻域内\(f(x)\geq0\)（或\(f(x)\leq0\)），且\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)=A\)，那么\(A\geq0\)（或\(A\leq0\)）。极限的运算法则：设\(\limf(x)=A\)，\(\limg(x)=B\)，则\(\lim[f(x)\pmg(x)]=\limf(x)\pm\limg(x)=A\pmB\)；\(\lim[f(x)\cdotg(x)]=\limf(x)\cdot\limg(x)=A\cdotB\)；若\(B\neq0\)，则\(\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\limf(x)}{\limg(x)}=\frac{A}{B}\)。复合函数的极限运算法则：设函数\(y=f[g(x)]\)是由函数\(u=g(x)\)与函数\(y=f(u)\)复合而成，\(f[g(x)]\)在点\(x_{0}\)的某去心邻域内有定义，若\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}g(x)=u_{0}\)，\(\lim_{u\rightarrowu_{0}}f(u)=A\)，且存在\(\delta_{0}>0\)，当\(x\in\mathring{U}(x_{0},\delta_{0})\)时，有\(g(x)\nequ_{0}\)，则\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrowu_{0}}f(u)=A\)。两个重要极限：\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}=1\)，可用于计算一些与三角函数相关的极限，例如\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinax}{bx}=\frac{a}{b}(b\neq0)\)。\(\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e\)或\(\lim_{t\rightarrow0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e\)，常用于处理幂指函数的极限，例如\(\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{k}{x})^{x}=e^{k}\)。无穷小与无穷大：无穷小：如果函数\(f(x)\)当\(x\rightarrowx_{0}\)（或\(x\rightarrow\infty\)）时的极限为零，那么称函数\(f(x)\)为当\(x\rightarrowx_{0}\)（或\(x\rightarrow\infty\)）时的无穷小。有限个无穷小的和、积仍是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小。无穷大：如果当\(x\rightarrowx_{0}\)（或\(x\rightarrow\infty\)）时，对应的函数值的绝对值\(\vertf(x)\vert\)无限增大，就称函数\(f(x)\)为当\(x\rightarrowx_{0}\)（或\(x\rightarrow\infty\)）时的无穷大，记为\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)=\infty\)或\(\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\)。无穷大与无穷小互为倒数关系（在相应的变化过程中）。无穷小的比较：设\(\alpha\)和\(\beta\)都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，且\(\alpha\neq0\)，\(\lim\frac{\beta}{\alpha}=C\)：若\(C=0\)，则称\(\beta\)是比\(\alpha\)高阶的无穷小，记为\(\beta=o(\alpha)\)；若\(C\neq0\)，则称\(\beta\)与\(\alpha\)是同阶无穷小；若\(C=1\)，则称\(\beta\)与\(\alpha\)是等价无穷小，记为\(\beta\sim\alpha\)。常见的等价无穷小：当\(x\rightarrow0\)时，\(\sinx\simx\)，\(\tanx\simx\)，\(\arcsinx\simx\)，\(\arctanx\simx\)，\(1\cosx\sim\frac{1}{2}x^{2}\)，\(e^{x}1\simx\)，\(\ln(1+x)\simx\)等，在求极限时可利用等价无穷小替换简化计算。二、导数与微分导数导数的定义：设函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)的某个邻域内有定义，当自变量\(x\)在\(x_{0}\)处取得增量\(\Deltax\)（点\(x_{0}+\Deltax\)仍在该邻域内）时，相应地函数\(y\)取得增量\(\Deltay=f(x_{0}+\Deltax)f(x_{0})\)；如果\(\Deltay\)与\(\Deltax\)之比当\(\Deltax\rightarrow0\)时的极限存在，则称函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)处可导，并称这个极限为函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)处的导数，记为\(f^{\prime}(x_{0})\)，即\(f^{\prime}(x_{0})=\lim_{\Deltax\rightarrow0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim_{\Deltax\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+\Deltax)f(x_{0})}{\Deltax}\)，也可记为\(y^{\prime}\vert_{x=x_{0}}\)，\(\frac{dy}{dx}\vert_{x=x_{0}}\)或\(\frac{d}{dx}f(x)\vert_{x=x_{0}}\)。单侧导数：左导数\(f_{}^{\prime}(x_{0})=\lim_{\Deltax\rightarrow0^{}}\frac{f(x_{0}+\Deltax)f(x_{0})}{\Deltax}\)，右导数\(f_{+}^{\prime}(x_{0})=\lim_{\Deltax\rightarrow0^{+}}\frac{f(x_{0}+\Deltax)f(x_{0})}{\Deltax}\)。函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)处可导的充要条件是左导数\(f_{}^{\prime}(x_{0})\)和右导数\(f_{+}^{\prime}(x_{0})\)都存在且相等。如果函数\(y=f(x)\)在开区间\(I\)内的每点处都可导，就称函数\(f(x)\)在开区间\(I\)内可导，此时对于任一\(x\inI\)，都对应着\(f(x)\)的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数\(y=f(x)\)的导函数，记为\(y^{\prime}\)，\(f^{\prime}(x)\)，\(\frac{dy}{dx}\)或\(\frac{d}{dx}f(x)\)，即\(f^{\prime}(x)=\lim_{\Deltax\rightarrow0}\frac{f(x+\Deltax)f(x)}{\Deltax}\)。导数的几何意义：函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)处的导数\(f^{\prime}(x_{0})\)在几何上表示曲线\(y=f(x)\)在点\((x_{0},f(x_{0}))\)处的切线斜率。曲线\(y=f(x)\)在点\((x_{0},f(x_{0}))\)处的切线方程为\(yf(x_{0})=f^{\prime}(x_{0})(xx_{0})\)；法线方程为\(yf(x_{0})=\frac{1}{f^{\prime}(x_{0})}(xx_{0})\)（当\(f^{\prime}(x_{0})\neq0\)时）。函数可导性与连续性的关系：如果函数\(y=f(x)\)在点\(x\)处可导，那么函数在该点必连续；但函数在某点连续却不一定在该点可导，例如\(y=\vertx\vert\)在\(x=0\)处连续，但不可导。导数的运算法则：四则运算法则：设\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都可导，则\((u\pmv)^{\prime}=u^{\prime}\pmv^{\prime}\)；\((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\)；\((\frac{u}{v})^{\prime}=\frac{u^{\prime}vuv^{\prime}}{v^{2}}(v\neq0)\)。复合函数求导法则：设\(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)，且\(f(u)\)和\(g(x)\)都可导，则复合函数\(y=f[g(x)]\)的导数为\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f^{\prime}(u)\cdotg^{\prime}(x)\)。反函数求导法则：设函数\(x=\varphi(y)\)在区间\(I_{y}\)内单调、可导且\(\varphi^{\prime}(y)\neq0\)，则它的反函数\(y=f(x)\)在对应区间\(I_{x}=\{x\vertx=\varphi(y),y\inI_{y}\}\)内也可导，且\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)}\)。基本初等函数的导数公式：\((C)^{\prime}=0\)（\(C\)为常数）；\((x^{\mu})^{\prime}=\mux^{\mu1}\)；\((\sinx)^{\prime}=\cosx\)，\((\cosx)^{\prime}=\sinx\)，\((\tanx)^{\prime}=\sec^{2}x\)，\((\cotx)^{\prime}=\csc^{2}x\)，\((\secx)^{\prime}=\secx\tanx\)，\((\cscx)^{\prime}=\cscx\cotx\)；\((a^{x})^{\prime}=a^{x}\lna\)，\((e^{x})^{\prime}=e^{x}\)；\((\log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x\lna}\)，\((\lnx)^{\prime}=\frac{1}{x}\)；\((\arcsinx)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1x^{2}}}\)，\((\arccosx)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1x^{2}}}\)，\((\arctanx)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\)，\((\text{arccot}x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\)。高阶导数：函数\(y=f(x)\)的导数\(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\)仍然是\(x\)的函数，如果\(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\)仍然可导，那么把\(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\)的导数叫做函数\(y=f(x)\)的二阶导数，记为\(y^{\prime\prime}\)，\(f^{\prime\prime}(x)\)，\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\)或\(\frac{d^{2}}{dx^{2}}f(x)\)。一般地，函数\(y=f(x)\)的\(n\)阶导数是\(y^{(n1)}=f^{(n1)}(x)\)的导数，记为\(y^{(n)}\)，\(f^{(n)}(x)\)，\(\frac{d^{n}y}{dx^{n}}\)或\(\frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x)\)。一些常见函数的\(n\)阶导数公式：\((e^{x})^{(n)}=e^{x}\)，\((\sinx)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}{2})\)，\((\cosx)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}{2})\)，\((x^{\mu})^{(n)}=\mu(\mu1)\cdots(\mun+1)x^{\mun}\)（\(\mu\inR\)），\((\ln(1+x))^{(n)}=(1)^{n1}\frac{(n1)!}{(1+x)^{n}}\)。微分微分的定义：设函数\(y=f(x)\)在某区间内有定义，\(x_{0}\)及\(x_{0}+\Deltax\)在这区间内，如果函数的增量\(\Deltay=f(x_{0}+\Deltax)f(x_{0})\)可表示为\(\Deltay=A\Deltax+o(\Deltax)\)，其中\(A\)是不依赖于\(\Deltax\)的常数，那么称函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)是可微的，而\(A\Deltax\)叫做函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)相应于自变量增量\(\Deltax\)的微分，记为\(dy\)，即\(dy=A\Deltax\)。函数\(y=f(x)\)在点\(x\)可微的充要条件是函数\(y=f(x)\)在点\(x\)可导，且\(dy=f^{\prime}(x)dx\)（其中\(dx=\Deltax\)）。微分的几何意义：微分\(dy=f^{\prime}(x_{0})\Deltax\)表示当自变量\(x\)有增量\(\Deltax\)时，曲线\(y=f(x)\)在点\((x_{0},f(x_{0}))\)处的切线纵坐标的增量。微分的运算法则：四则运算法则：\(d(u\pmv)=du\pmdv\)；\(d(uv)=vdu+udv\)；\(d(\frac{u}{v})=\frac{vduudv}{v^{2}}(v\neq0)\)。复合函数的微分法则：设\(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)，则复合函数\(y=f[g(x)]\)的微分为\(dy=f^{\prime}(u)du=f^{\prime}[g(x)]g^{\prime}(x)dx\)，这也体现了一阶微分形式的不变性，即无论\(u\)是自变量还是中间变量，\(dy=f^{\prime}(u)du\)都成立。利用微分进行近似计算：当\(\vert\Deltax\vert\)很小时，\(\Deltay\approxdy\)，即\(f(x_{0}+\Deltax)f(x_{0})\approxf^{\prime}(x_{0})\Deltax\)，从而\(f(x_{0}+\Deltax)\approxf(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})\Deltax\)。例如，当\(\vertx\vert\)很小时，\(e^{x}\approx1+x\)，\(\sinx\approxx\)，\(\sqrt[n]{1+x}\approx1+\frac{1}{n}x\)等。三、中值定理与导数的应用中值定理罗尔（Rolle）定理：如果函数\(y=f(x)\)满足：（1）在闭区间\([a,b]\)上连续；（2）在开区间\((a,b)\)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即\(f(a)=f(b)\)，那么在\((a,b)\)内至少有一点\(\xi(a<\xi<b)\)，使得\(f^{\prime}(\xi)=0\)。拉格朗日（Lagrange）中值定理：如果函数\(y=f(x)\)满足：（1）在闭区间\([a,b]\)上连续；（2）在开区间\((a,b)\)内可导，那么在\((a,b)\)内至少有一点\(\xi(a<\xi<b)\)，使等式\(f(b)f(a)=f^{\prime}(\xi)(ba)\)成立。其另一种形式为\(f(x_{2})f(x_{1})=f^{\prime}(\xi)(x_{2}x_{1})\)（\(\xi\)介于\(x_{1}\)与\(x_{2}\)之间），还可写成\(f(x+\Deltax)f(x)=f^{\prime}(x+\theta\Deltax)\Deltax\)（\(0<\theta<1\)）。拉格朗日中值定理的一个重要推论是：如果函数\(f(x)\)在区间\(I\)上的导数恒为零，那么\(f(x)\)在区间\(I\)上是一个常数。柯西（Cauchy）中值定理：如果函数\(f(x)\)及\(F(x)\)满足：（1）在闭区间\([a,b]\)上连续；（2）在开区间\((a,b)\)内可导；（3）对任一\(x\in(a,b)\)，\(F^{\prime}(x)\neq0\)，那么在\((a,b)\)内至少有一点\(\xi\)，使等式\(\frac{f(b)f(a)}{F(b)F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}\)成立。洛必达（L'Hospital）法则对于\(\frac{0}{0}\)型或\(\frac{\infty}{\infty}\)型的未定式极限，如果函数\(f(x)\)和\(F(x)\)满足：（1）\(\lim_{x\rightarrowa}f(x)=0\)（或\(\lim_{x\rightarrowa}f(x)=\infty\)），\(\lim_{x\rightarrowa}F(x)=0\)（或\(\lim_{x\rightarrowa}F(x)=\infty\)）；（2）在点\(a\)的某去心邻域内，\(f^{\prime}(x)\)及\(F^{\prime}(x)\)都存在且\(F^{\prime}(x)\neq0\)；（3）\(\lim_{x\rightarrowa}\frac{f^{\prime}(x)}{F^{\prime}(x)}\)存在（或为无穷大），那么\(\lim_{x\righta