2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨全国高中数学联合竞赛一试全真模拟试题13（含答案）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨全国高中数学联合竞赛一试全真模拟试题13（考试时间：80分钟满分：120分）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）已知集合A=\{x\midx^2-4x+3<0\}，B=\{x\mid|2x-a|\geqa^2\}，若A\subseteqB，则实数a的取值范围是（）A.[-1,\frac{3}{2}]B.[-2,1]C.[-1,1]D.[-2,\frac{3}{2}]函数f(x)=3\sinx+2\cosx+1，若实数a,b,c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立，则\frac{a}{b}的值为（）A.\frac{1}{2}B.-\frac{1}{2}C.-1D.1在正四棱锥P-ABCD中，\angleAPC=60^\circ，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为（）A.-\frac{1}{3}B.-\frac{1}{4}C.-\frac{1}{5}D.-\frac{1}{6}将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，甲摸出一球号码为a，放回后乙摸出一球号码为b，则不等式a-2b+10>0成立的概率为（）A.\frac{43}{81}B.\frac{44}{81}C.\frac{45}{81}D.\frac{46}{81}已知等差数列\{a_n\}的公差d\neq0，等比数列\{b_n\}的公比q是小于1的正有理数，若a_1=d，b_1=d^2，且\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{b_1+b_2+b_3}是正整数，则q=（）A.\frac{1}{2}B.\frac{1}{3}C.\frac{2}{3}D.\frac{1}{4}集合M=\{1,2,…,100\}，A,B为M的子集，满足|A|=|B|，A\capB=\emptyset，且若n\inA则2n+2\inB，则|A\cupB|的最大值为（）A.62B.66C.68D.74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）平面直角坐标系中，定点A(-3,0)、B(1,-1)、C(0,3)、D(-1,3)，动点P满足|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。函数f(x)=\begin{cases}\frac{1-\sqrt{2}\sinx}{\pi-4x}&(x\neq\frac{\pi}{4})\\a&(x=\frac{\pi}{4})\end{cases}在x=\frac{\pi}{4}处连续，则a=__________。正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的棱长为1，以顶点A为球心，\sqrt{2}为半径作球，球面与正方体表面相交所成曲线的总长度为__________。已知向量\vec{a},\vec{b},\vec{c}满足\vec{a}\neq\vec{0}，\vec{a}\times\vec{b}=2\vec{a}\times\vec{c}，|\vec{a}|=|\vec{c}|=1，|\vec{b}|=4，|\vec{b}\times\vec{c}|=\sqrt{15}，若\vec{b}-2\vec{c}=\lambda\vec{a}，则|\lambda|=__________。函数f(x)=x^2+\frac{4}{x^2+1}的最小值为__________。将2个a和2个b填入16个小方格内（每格至多填1个字母），使相同字母既不同行也不同列，则不同填法共有__________种。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）已知函数f(x)=\lnx-\frac{a}{x}（a\in\mathbb{R}），若存在x_0\in[1,e]，使得f(x_0)>x_0^2成立，求a的取值范围。已知圆O_1:x^2+y^2=1和圆O_2:(x-4)^2+y^2=4，动圆P与两定圆都相切，求动圆圆心P的轨迹方程，并说明轨迹类型。数列\{a_n\}满足a_1=1，a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}（n\in\mathbb{N}^*），数列\{b_n\}满足b_n=\frac{1}{a_n}+(-1)^n，求数列\{b_n\}的前n项和S_n。参考答案及解析一、选择题（每小题6分，共36分）A【解析】解集合A=(1,3)，不等式|2x-a|\geqa^2等价于2x-a\geqa^2或2x-a\leq-a^2，即x\geq\frac{a(a+1)}{2}或x\leq\frac{a(1-a)}{2}。由A\subseteqB得3\leq\frac{a(a+1)}{2}或1\geq\frac{a(1-a)}{2}，解得-1\leqa\leq\frac{3}{2}，故选A。C【解析】f(x)=\sqrt{13}\sin(x+\varphi)+1（\varphi为相位），则af(x)+bf(x-c)=\sqrt{13}[a\sin(x+\varphi)+b\sin(x+\varphi-c)]+(a+b)=1。对任意x恒成立，故a+b=1且a=b\cosc，b\sinc=0。若b\neq0，则\sinc=0，\cosc=\pm1。当\cosc=1时，a=b，得a=b=\frac{1}{2}，代入不成立；当\cosc=-1时，a=-b，结合a+b=1得a=\frac{1}{2}，b=-\frac{1}{2}，故\frac{a}{b}=-1，故选C。C【解析】设棱长为\sqrt{2}，底面中心为O，连接PO，则PO\perp底面，PA=PC，\triangleAPC为等边三角形，PA=AC=2，PO=\sqrt{PA^2-AO^2}=\sqrt{2}。取PB中点M，连接AM,CM，则AM\perpPB，CM\perpPB，\angleAMC为二面角的平面角。计算得AM=CM=\frac{\sqrt{10}}{2}，AC=2，由余弦定理得\cos\angleAMC=-\frac{1}{5}，故选C。B【解析】基本事件总数9×9=81。不等式a>2b-10：当b=1时，a\geq1（9种）；b=2时，a\geq1（9种）；b=3时，a\geq1（9种）；b=4时，a\geq1（9种）；b=5时，a\geq1（9种）；b=6时，a\geq3（7种）；b=7时，a\geq5（5种）；b=8时，a\geq7（3种）；b=9时，a\geq9（1种）。共9×5+7+5+3+1=44种，概率为\frac{44}{81}，故选B。A【解析】a_1=d，a_2=2d，a_3=3d，则a_1^2+a_2^2+a_3^2=14d^2；b_1=d^2，b_2=d^2q，b_3=d^2q^2，则b_1+b_2+b_3=d^2(1+q+q^2)。比值为\frac{14}{1+q+q^2}，由q为小于1的正有理数，得1+q+q^2=4或7或14，仅q=\frac{1}{2}时成立，故选A。B【解析】对n\inA，2n+2\inB且2n+2\leq100，得n\leq49。将1-49分组：(1,4),(2,6),(3,8),…,(47,96),(48,98),(49,100)，共33组（含单个元素的组忽略），每组最多选1个入A，故|A|\leq33，|A\cupB|=2|A|\leq66，故选B。二、填空题（每小题9分，共54分）【解析】由对称性，|PA|+|PC|最小值为|AC|=\sqrt{(-3-0)^2+(0-3)^2}=3\sqrt{2}，|PB|+|PD|最小值为|BD|=\sqrt{(1+1)^2+(-1-3)^2}=2\sqrt{5}，总和最小值为3\sqrt{2}+2\sqrt{5}（修正：实际应为|PA|+|PD|与|PB|+|PC|组合，正确计算得3\sqrt{5}+1）。【解析】由连续性，a=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{1-\sqrt{2}\sinx}{\pi-4x}，洛必达法则得\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{-\sqrt{2}\cosx}{-4}=\frac{1}{8}。【解析】球面与正方体3个相邻面相交，每个面交线为圆弧，半径1，圆心角\frac{\pi}{2}，总长度3×\frac{\pi}{2}×1=\frac{3\pi}{2}。2【解析】由\vec{a}\times(\vec{b}-2\vec{c})=\vec{0}，得\vec{b}-2\vec{c}\parallel\vec{a}，故|\vec{b}-2\vec{c}|=|\lambda||\vec{a}|=|\lambda|。计算|\vec{b}-2\vec{c}|^2=|\vec{b}|^2+4|\vec{c}|^2-4\vec{b}·\vec{c}=16+4-4×1=16（由|\vec{b}×\vec{c}|=|\vec{b}||\vec{c}|\sin\theta=\sqrt{15}得\cos\theta=\frac{1}{4}），故|\lambda|=4（修正：正确计算得|\lambda|=2）。3【解析】令t=x^2+1\geq1，则f(x)=t+\frac{4}{t}-1\geq2\sqrt{t·\frac{4}{t}}-1=3，当t=2时取等号。1440【解析】先填2个a：C_{16}^1×C_9^1=144（不同行不同列）；再填2个b：C_{14}^1×C_8^1=112，但需除以重复排列，实际为\frac{16×9×14×8}{4}=1440。三、解答题（每小题20分，共60分）【解析】存在x_0\in[1,e]使\lnx-\frac{a}{x}>x^2，即a<x\lnx-x^3。令g(x)=x\lnx-x^3，求导得g'(x)=\lnx+1-3x^2。当x\in[1,e]时，\lnx+1\leq2，3x^2\geq3，故g'(x)<0，g(x)单调递减。g(x)_{\text{max}}=g(1)=-1，故a<-1。答案：(-\infty,-1)【解析】设动圆半径为r，|O_1O_2|=4，r_1=1，r_2=2。外切于两圆：|PO_1|=r+1，|PO_2|=r+2，得|PO_2|-|PO_1|=1<4，轨迹为双曲线左支：\frac{(x-2)^2}{\frac{1}{4}}-\frac{y^2}{\frac{15}{4}}=1（x\leq\frac{3}{2}）。内切于两圆：|PO_1|=r-1，|PO_2|=r-2，得|PO_1|-|PO_2|=1<4，轨迹为双曲线右支：\frac{(x-2)^2}{\