广东省广州思源学校2025-2026学年高二上学期期中数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页广东省广州思源学校2025-2026学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．圆的圆心坐标和半径分别为（）A．， B．，C．， D．，2．已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（

）A．30° B．45° C．135° D．150°3．已知圆C：，过点向圆C作切线，切点为B，则（

）A． B． C． D．4．若点P（1，-1）在圆C：x2+y2-x+y+m=0的外部，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（

）A． B． C． D．6．已知直线与平行，则与的距离为（

）A． B． C． D．7．点在曲线上，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知过点的直线与圆：交于两点，当取得最小值时，过分别作的垂线与轴交于两点，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知直线：，下列说法正确的是（

）A．直线过定点B．当时，关于轴的对称直线为C．点到直线的最大距离为D．直线一定经过第四象限10．若直线与直线垂直，则的值可能是（

）A． B． C．0 D．111．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（

）

A．平面B．到平面的距离为C．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是D．平面与平面夹角余弦值为三、填空题12．以两点和为直径端点的圆的标准方程是.13．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为．14．如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到米．四、解答题15．已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上.(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.16．如图所示，已知三角形的三个顶点为，求：(1)所在直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程；(3)三角形的面积.17．已知圆：与圆：（）.(1)若，两圆相交于，两点，求直线的方程；(2)当实数取何值时，两圆外切.18．已知圆关于直线对称，且在圆上.(1)求圆C的标准方程；(2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.19．如图，在四棱锥中，，，.平面平面，为等边三角形，点是棱上的一动点.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.《广东省广州思源学校2025-2026学年高二上学期期中数学试题》参考答案题号12345678910答案ACCCDDBCABCAC题号11答案ABD1．A【分析】根据圆的一般方程的圆心坐标为，半径为，即可求出结果.【详解】由于圆，所以其圆心坐标为，即；半径为.故选：A.2．C【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】由题意，直线，又倾斜角，故直线的倾斜角.故选：C3．C【分析】以勾股定理即可求得线段的长.【详解】圆的圆心，半径，又，则，则.故选：C4．C【分析】将P点代入圆可得m的不等式，结合圆的一般方程构成圆的条件，可得m的取值范围.【详解】解：若点P（1，-1）在圆C：x2+y2-x+y+m=0的外部，有，且由x2+y2-x+y+m=0构成圆的条件可知：，可得：且，即：，故选C.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系及圆的一般方程，相对简单.5．D【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以点到直线的距离是.故选：D.6．D【分析】由两直线平行的充要条件先求出参数，即可求出直线的方程，然后由两平行线之间的距离公式即可求解.【详解】由题意直线与平行，因此，解得，所以即为，由两平行线之间的距离可知与的距离为.故选：D.7．B【分析】根据给定条件，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果.【详解】如图，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，，表示点到直线距离的5倍，点到直线的距离，即直线与圆相离，点到直线的距离，最小值为，最大值为，则的取值范围为.故选：B8．C【分析】首先求出取得最小值时的直线方程，因为，利用三角函数计算可得.【详解】如图，设与轴交于点，当最小时，，，，所以直线的方程为：，即则，.因为，所以.在中，，在中，，所以.故选：C.

9．ABC【分析】化简直线方程，联立方程组，可判定A正确；由直线，结合对称性和直线方程，可判定B正确；结合直线时，点到直线的距离最大，可判定C正确；根据直线不一定经过第四象限，可判定D错误.【详解】对于A，由直线，可得，联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A正确；对于B，当时，直线，在直线上取两点，则点关于轴对称的点，点关于轴对称的点，所以关于轴对称直线为，即，所以B正确；对于C，由A项知直线过定点，则当直线时，点到直线的距离最大，最大距离为，所以C正确；对于D，直线不一定经过第四象限，比如：当时，直线：不经过第四象限，所以D错误.

故选：ABC.10．AC【分析】根据互相垂直的两直线方程的性质进行求解即可.【详解】依题意可得，解得或．故选：AC11．ABD【分析】建立空间直角坐标系，对于A，用空间向量计算证明垂直即可判断；对于B，用空间向量求平面的法向量，再在法向量上的投影即可判断；对于C，补全完整截面为正六边形，直接计算面积即可判断；对于D，用空间向量求平面的法向量再计算二面角的余弦值即可判断.【详解】以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，，则，，，，，则平面，故A正确；向量为平面的法向量，且，，所以到平面的距离为，故B正确；作中点，的中点，的中点，连接，，，，，则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故C错误；平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，设两个平面夹角为，，故D正确．故选：ABD．12．【分析】通过圆过定点和，以及线段是直径，求出圆心和半径，即可求出圆的标准方程.【详解】解：由题意，在圆中，圆过和，且以为直径，设圆心为，半径为，∴，，，∴，，∴以两点和为直径端点的圆的标准方程是：，故答案为：.13．【分析】结合两点间线段最短，只需求其中一个点关于直线的对称点，再求对称点与另一点的距离即可.【详解】

由题可知在的同侧，设点关于直线的对称点为，则，解得即．将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，所以直线的方程为，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点，，解得，所以．故答案为：14．8【分析】画出圆拱图示意图，构建直角坐标系，列出雨季和旱季时水位方程即可求出圆的半径，旱季时水面跨度.【详解】画出圆拱图示意图，设圆半径为,雨季时水位方程，解得；旱季时水位方程，解得，所以此时水面跨度为.所以答案为8.15．(1)（x﹣1）2+（y+1）2＝2(2)x＝0或3x+4y﹣4＝0【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可.（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论.【详解】（1）因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.则点C到直线x+y＝2的距离d.据题意，d＝|AC|，则，解得a＝1.所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d，则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.（2）k不存在时，x＝0符合题意；k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离1，∴k，∴直线方程为3x+4y﹣4＝0.综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0.16．(1)；(2)；(3)【分析】（1）利用直线的两点式方程即可求得所在直线的方程；（2）先求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得所在直线的方程；（3）利用点到直线距离公式求得边上的高，再利用两点间距离公式求得边的长，进而求得三角形的面积.【详解】（1）因为，所以直线的两点式方程为，化简得；（2）因为，又，则，所以，则直线的方程为，即.（3）点到直线：的距离又的底边，所以的面积为.17．(1)(2)【分析】（1）将圆的方程化成一般式并与圆的方程相减即可得直线的方程为；（2）根据两圆外切可得圆心距与两圆半径之和相等，即可求得.【详解】（1）根据题意将化成一般式可得，若，则的方程为；两圆方程相减可得，即；所以直线的方程为；（2）显然：的圆心，半径易知：可得，圆心，半径；由两圆外切可知，解得.18．(1)；(2)，或.【分析】（1）根据题意，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解.【详解】（1）解：由圆关于直线对称，即圆心在直线，满足，即圆，又因为在圆上，所以，解得，所以圆的方程为.（2）解：由，可得，联立方程组，解得，即直线过定点，又由由（1）圆心为，可得，因为，所以当时，面积最大，此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径，此时点C到直线l的距离，，所以可以取到，所以，解得或，故所求直线l的方程为或.19．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)作中点，连接交于点，先证四边形是菱形，进而得到，再通过面面垂直的性质定理即可得到平面；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法表示出直线与平面所成角的正弦值，根据表达式，即可求出最大值.【详解】解：（Ⅰ）证明：如图所示：作中点，连接交于点，则由知：且，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，故，在中，分别为的中点，故,即，又平面平面，平面平面，平面；（Ⅱ）如上图所示：以点为原点，分别以，所在的直线为轴，轴，以过点垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，由题意知，，，，过点作直线与垂直，且.平面，平面平面，平面，又，即，点在线段的中垂线上，由对称性可知：，