江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（日新班）（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（日新班）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数，则复数的虚部为（

）A．2 B．3 C． D．2．在扇形中，已知弦，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．3．已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．4．已知直线和平面，且，则与的位置关系为（

）A． B． C．或 D．与相交5．在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则的形状为（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形6．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．7．已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知（为虚数单位），表示的共轭复数，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．在上为增函数D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象11．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（

）

A．B．三棱锥的体积为C．若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为三、填空题12．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边的一点，且，则.13．已知向量，，，若，则．14．如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为．

四、解答题15．已知i为虚数单位，复数z满足，其中．(1)若z为纯虚数，求m的值；(2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．16．如图，正三棱柱中，，点是的中点.(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长.17．已知函数的最小正周期为．(1)求及；(2)若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域．18．满足：(1)求角的大小；(2)为的中点，且，求的最大值(3)若为外一点，，求四边形面积的最大值19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，且是的中点．(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的正切值；(3)求二面角的正弦值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（日新班）》参考答案题号12345678910答案DBDCABADABDAC题号11答案ABD1．D【分析】由复数乘法、虚部的概念即可求解.【详解】由题意可得，故复数的虚部为.故选：D.2．B【分析】方法一：设扇形的圆心角为，半径为，根据求出，进而由扇形面积公式得到答案；方法二：设扇形的圆心角为，半径为，根据求出，先求出扇形所在圆的面积，进而得到扇形面积.【详解】方法一：设扇形的圆心角为，半径为，则，扇形的面积．方法二：设扇形的圆心角为，半径为，则，则扇形所在圆的面积为，又，所以扇形的面积．故选：B3．D【分析】利用同角三角函数的平方关系和诱导公式求解即可.【详解】因为，所以，又，且，所以，所以，所以.故选：D4．C【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定与性质，即可求解.【详解】若，因为，此时满足，所以与的位置关系可能为；若，过上一点作，交平面与点，如图所示，设过相交直线与的平面为，设，因为，所以，又由，所以，又因为，所以，且共面，所以，因为，所以，综上可得：与的位置关系为或.故选：C.5．A【分析】利用正弦定理化简得出、的值，结合三角形内角的取值范围可得出角、的值，即可得出结论.【详解】因为，由正弦定理可得，所以，因为、，故，，因此，为等腰直角三角形.故选：A.6．B【分析】利用向量的模长关系可得，再由投影向量的定义即可求出结果.【详解】根据题意可得，所以，则所以，则在方向上的投影向量为.故选：B7．A【分析】通过方程解出，再由条件确定的范围，得到可能取值，即可通过条件中的恰有3个实根，建立不等式确定的取值范围.【详解】若方程，则，即或，当时，，则的可能取值为，因为原方程在区间上恰有3个实根，所以，解得，即的取值范围是，故选：A.8．D【分析】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案.【详解】因为分别表示与方向上的单位向量，所以表示的平分线上的共线向量，又，即与垂直，由三线合一可知，，如图，取的中点，连接，则⊥，又，其中，所以，，故，由于，，两式平方相减可得，当⊥时，取得最小值，其中由勾股定理得，故，故的最小值为.故选：D9．ABD【分析】利用共轭复数的概念与复数的乘法与乘方运算法则运算可判断ABD，利用复数的模的计算公式计算可判断C.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，，故，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.10．AC【分析】根据给定图象利用“五点法”作图方法求出函数的解析式，再对各选项逐一分析即可得解.【详解】由图象得，令的最小正周期为T，则，解得，，又，即，而，则，，因，则的图象关于点对称，A正确；因，则的图象不关于对称，B不正确；因，则，所以在上为增函数，C正确；的图象向右平移个单位长度，得到是偶函数，D不正确.故选：AC11．ABD【分析】对于A选项，连接，可证得平面，从而，A选项正确；对于B选项，根据几何体特征，三棱锥的体积和三棱锥的体积相等，根据三棱锥体积公式即可求解；对于C选项，根据题意，可得动点的轨迹为以为圆心，以为半径的四分之一圆，进而可求得其轨迹长度；对于D选项，作图可得，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为平面，根据几何体特征，分别求得，，，相加即可得其周长.【详解】对于A选项，连接，在正方体中，平面，又平面，所以，又为正方形对角线，所以，又为平面内的两条相交直线，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B选项，在正方体中，平面，即平面，所以三棱锥的体积，又，，所以，故B正确；对于C选项，点在底面内（包含边界）运动，且满足，所以动点的轨迹为以为圆心，以为半径的四分之一圆，所以其轨迹的长度为，故C错误；对于D，取的中点，连接，，并延长与的延长线交于点，则过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为平面，因为正方体的棱长为1，分别为的中点，所以可得，，，所以四边形的周长为，故D正确.

故选：ABD12．【分析】由三角函数的定义列方程，求解即得.【详解】由已知，，所以，所以，且，解得.故答案为：.13．/【分析】根据向量的坐标运算先求，再根据向量共线的坐标运算即可求解.【详解】由题得，又，则，解得．故答案为：.14．【分析】先展开平面图，根据最短距离，利用余弦定理求得，然后将该棱锥补成一个长方体求得其外接球的半径，进而代入球的表面积公式求解即可.【详解】三棱锥的部分平面展开图如图所示：

设，由题意得：，，在中，由余弦定理得：，即，即，解得或（舍去），如图所示：

该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为：，所以该棱锥的外接球的表面积为.故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）先利用复数的除法和乘法运算得到，再根据纯虚数的定义求解即可；（2）根据复数的实部小于零，虚部大于零求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，若z为纯虚数，则，解得；（2）由（1）知，，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，所以m的取值范围为.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，交于点N，连接，易得，由线面平行的判定定理得证；（2）由三棱锥体积公式求解.【详解】（1）连接，交于点N，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点，又点是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为为等边三角形，是的中点，所以，又，故，因为平面，设，则，所以，即，解得，故这个三棱柱的侧棱长为3.17．(1)(2)【分析】（1）利用辅助角公式化简函数式，结合三角函数的周期性可计算参数并求值；（2）根据三角函数图像变换先得解析式，再利用正弦函数的性质计算值域即可.【详解】（1）易知，又最小正周期为，所以，即，则（2）的图象向右平移个单位长度得到，因为时，，根据正弦函数的单调性可知即时，，时即，，即，则.18．(1)(2)(3)【分析】（1）利用正弦定理化为边，再利用余弦定理即可求解；（2）在中，利用余弦定理和基本不等式即可求解；（3）设，在中，由余弦定理得，四边形的面积为，利用三角恒等变换化简得，最后利用三角函数的性质即可求解.【详解】（1）根据题意由正弦定理有：，即，由余弦定理有，又，所以；（2）在中，，由余弦定理有：，所以，所以当时，即时，等号成立，的最大值为；（3）设，在中，由余弦定理得，所以，又，所以为等边三角形，所以四边形的面积为，当时，即时，，所以四边形的面积最大值为.19．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）首先证明平面，由线面垂直的判定定理即可证明平面；（2）由题可得异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，然后在中根据求解即可；（3）取中点为，连接，再过作的垂线交于点，可证得二面角的平面角是，然后在中根据求解即可.【详解】（1）∵平面，平面，∴，又四边形是矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴，又是的中点，，∴，∵，所以平面．（2）∵底面是矩形，∴，∴异面直线