广东省汕头市潮阳某校2025-2026学年高三上学期期中数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省汕头市潮阳某校2025-2026学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．如果，那么“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（

）A．2 B．3 C．4 D．65．若函数为偶函数，则取得最小值时，（

）A． B． C． D．6．如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（

）A． B． C． D．7．已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．8．已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列结论正确的是（

）A．当研究两个变量之间的关联程度时，若相关系数的绝对值越接近于1，则两个变量的线性相关程度越弱B．在评估模型拟合效果时，决定系数越接近1，表示模型对数据的拟合效果越好C．通过样本数据得到的回归直线一定经过点D．设关于分类变量与的独立性检验的原假设为与无关，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断不成立，即认为与无关.10．点在所在平面内，下列说法正确的是（

）A．若，则为钝角三角形B．若，则为的重心C．若，则D．若为边长为2的正三角形，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围为11．如图，中，，，是中点，是边上靠近的四等分点，将沿着向上翻折，使点到点处，得到四棱锥，则（

）

A．四棱锥体积的最大值为B．不存在点使得平面平面C．中点的运动轨迹长度为D．当平面平面时，四棱锥外接球表面积为三、填空题12．函数的图像在点处的切线方程为.13．各项不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，且，则．14．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中的两点与的曼哈顿距离为，则6维空间“立方体”的顶点数为；若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则.四、解答题15．在锐角中，内角的对边分别是，且满足．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围．16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，是的中点，是的中点.(1)求证：平面；(2)若平面平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值.17．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若为的两个不同的极值点，求的最小值．18．已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.(1)求；(2)设，是数列的前项和，求；(3)设，是的前项的积，求证:时，.19．在平面直角坐标系中，双曲线．(1)求的两条渐近线的夹角；(2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值；(3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广东省汕头市潮阳某校2025-2026学年高三上学期期中数学试题》参考答案题号12345678910答案BACDCDCBBCABD题号11答案ACD1．B【分析】由复数四则运算以及几何意义即可得解.【详解】由题意，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.2．A【分析】根据集合的描述法化简集合B，再根据集合的交集运算即可得答案.【详解】因为集合，所以集合，则.故选：A.3．C【分析】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可.【详解】若，，则，则，即，充分性成立；若，，则，所以，必要性成立，所以如果，那么“”是“”的充要条件.故选：C4．D【分析】由代入即可求.【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，因为点到轴的距离为9，即，所以，解得.故选：D5．C【分析】根据正弦型函数的图象和性质，结合已知条件推出的取值范围，再求出取得最小值时的值，从而求解.【详解】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则，已知函数为偶函数，则需满足，所以.当时，，；当时，，，所以取得最小值.所以.故选：C.6．D【分析】先在中应用余弦定理求出，再根据同角关系求出，然后在中应用正弦定理即可求出的值.【详解】在中，由余弦定理得：，又因为，所以，在中，由正弦定理得：，即，解得.故选：D7．C【分析】由条件先证明，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，由的面积为结合三角形面积公式可得或，分情况解三角形求，列方程求，由此可得，再结合离心率定义求结论.【详解】因为直线为双曲线的一条渐近线，所以，圆的圆心的坐标为，半径，所以点到直线的距离，因为与圆交于两点（为坐标原点），所以，因为的面积为，所以，所以，又，所以或，若，则点到直线的距离，所以，所以，所以，所以，此时双曲线的离心率，若，则点到直线的距离，所以，所以，所以，与矛盾，舍去，所以双曲线的离心率，故选：C

8．B【分析】利用导数研究的单调性，结合函数值的符号和单调性画出示意图，由题意或共有4个不同的实根，由知与的图象仅有一个交点，从而的图象与直线有3个交点，数形结合即可求解.【详解】由得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，，当时，，画出其大致图象如图.方程即，所以或.因为的极大值为，而，由图可知与的图象仅有一个交点.要使原方程有4个不同的实数根，需的图象与直线有3个交点，由图可知此时的取值范围为.故选：B9．BC【分析】对于A根据相关系数的性质分析判断；对于B根据决定系数的性质分析判断；对于C根据回归方程过样本中心点分析判断；对于D根据独立性检验思想分析判断.【详解】因为相关系数绝对值越接近1两个变量的线性相关程度越强，故A选项错误.因为决定系数越接近1，表示模型对数据的拟合效果越好，故B选项正确.因为回归直线一定经过样本均值点，故C选项正确.因为应拒绝原假设，即认为与有关联，而非无关，故D选项错误.故选：BC10．ABD【分析】由向量数量积的定义可判断A；由题意可得(为中点)，再结合重心的定义可判断B；作出图象，结合题意可得的高是的高的，可判断C；建立平面坐标系，利用向量数量积的坐标运算及二次函数的性质可判断D.【详解】解：对于A，因为，所以，所以为钝角三角形，故A正确；对于B，因为，取的中点，连接，则有，所以，所以，所以为的重心，故B正确；对于C，因为，，所以点在线段上，如图所示：取的四等分点，靠近的点为，取的四等分点，靠近的点为，连接则有∥且,所以的高是的高的，所以，故C错误；对于D，以为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立平面坐标系，如图所示：易知直线的方程为，设，因为，所以，所以，，又因为，所以当时，取最小值，为；当时，取最大值，为；所以，即，故D正确.故选：ABD.11．ACD【分析】由面面垂直得到何时四棱锥体积最大，并求出此时四棱锥体积，判断A选项；取中点，由等腰三角形和中位线得到线线的位置关系，从而得到线与平面的位置关系，从而得到线线的位置关系，然后得到线与平面的位置关系.假设存在这样的点，由三角形的边角关系建立方程，由方程是否存在解判断B选项；建立坐标系得到点坐标，设线段的中点坐标为，，然后建立方程组求得点坐标，由建立等量关系，从而得到轨迹方程，从而求得轨迹长度，判断C选项；由面面垂直得到线面垂直，再证明四点共圆，得到四棱锥的外接球，求出外接球的半径，从而知道外接球的表面积，判断D选项.【详解】平面平面时，易知平面，此时体积最大，，故A正确；对于B，连接点与中点，连接，因为，所以，由题意可得为中点，是中点，故，所以，故，，又，、平面，故平面，又平面，所以，则当时，又、平面，，故有平面，又平面，故平面平面，即需，由题意可得，，，即当时，有，由，故存在点，使，故B不正确；

对于C，如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，，，设线段的中点坐标为，，，由，得，所以，即，

由，得，整理得，所以中点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，所以中点的运动轨迹长度为，故C正确；对D:平面平面时，平面，又由，故，由，故，即四边形四点共圆，故四棱锥的外接球即三棱锥的外接球，分别以、、为长、宽、高作长方体，则该长方体的外接球即三棱锥的外接球，，此时表面积为，即四棱锥外接球表面积的最小值为，故D正确.故选：ACD.12．【分析】利用导数求得函数的图像在点处的切线的斜率，写出切线的点斜式方程，化简可得一般式方程.【详解】函数的定义域为，.所以.函数的图像在点处的切线方程为：，即.故答案为：.13．16【分析】根据等差性质，求出，再根据等比性质求出，最后得出答案即可.【详解】由得：，而等差数列各项不为零，故，由数列是等比数列可知，，而，故.故答案为：16.14．64【分析】由题根据分步计数乘法原理，即可确定顶点个数；由离散型随机变量的分布列步骤，数学期望公式即可求解．【详解】（1）对于维坐标，，所以共有种不同的点，即共有个顶点．（2）①对于的随机变量，在坐标与中有个坐标值不同，剩下个坐标相同，此时对应情况数有种，所以，则的分布列为：126所以，，.故答案为：64，【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率.15．(1)(2)【分析】（1）借助余弦定理的推论计算即可得；（2）借助正弦定理可将边化为角，再结合锐角三角形性质计算即可得.【详解】（1）因为，则，则，因为，所以；（2）因为，所以，则，由正弦定理，得，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，所以，即的取值范围为.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）构造三角形的中位线，得到线线平行，根据线线平行，可证线面平行.（2）方法1：建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦；方法2：根据二面角的平面角的概念，作出平面与平面所成的角，再利用三角形的边角关系，求二面角的余弦.【详解】（1）取的中点，连接，，又是的中点，则且，由是的中点，底面为矩形，则，故，，所以，所以四边形为平行四边形，则，又因为平面，平面，所以平面.（2）底面为矩形，可得，平面平面，平面平面，，平面PAB，所以平面，则，，可以以，，分别为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，，，，所以，设平面EFD的一个法向量为，则，令，则，依题意，可得平面PAB的一个法向量为，故，所以平面与平面夹角的余弦值为.法二：（2）底面为矩形，，平面平面，平面平面，平面，所以平面PAB.延长，交于点，连接，过点作，垂足为点，连接.平面，平面，，，平面，平面，平面ADH，，为二面角的平面角，，，，，，，，在中，，，所以平面与平面的夹角的余弦值为.17．(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导函数，结合的不同取值范围，分情况讨论即可求解单调区间；（2）求导函数，由题意可得有两个不等正根，可得，进而可得，令，利用导数求得最小值即可.【详解】（1）由，易知，求导可得，当时，，解得，，解得，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，，解得或，，解得，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；当时，在上恒成立，当且仅当时等号成立，所以函数的单调递增区间为；当时，，解得或，，解得，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和.综上：当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；（2）由题意知：，有两个不等正根，所以，解得：，所以；令，则，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增；所以，即的最小值为.18．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用推导公比，结合即可得通项.（2）将数列拆分为偶数项的等差数列和奇数项的等比数列，分组求和后合并即可.（3）将化简后取对数，构造函数证明，进而通过放缩求和，证明不等式即可.【详解】（1）由题意得，即，即得，则，则等比数列的公比，又，故.（2）由（1）得，则，则.故.（3）由题意知，则，故，则欲证，即证，即证，设，，则，当时，，则在上单调递减，故，所以，.当时，；当时，，则，即，故时，.19．(1)．(2)答案见解析(3)4【分析】（1）写出渐近线方程即可判断夹角；（2）设，再根据两点间距离公式化简，求解一元二次函数的最值即可；（3）设为好点，则根据好点定义求出，再根据好点定义求出直线与双曲线交于同一支时得出，即时，即可求出，求出四边形面积即可.【详解】（1