2025年广西中考数学试卷

第35页（共35页）2025年广西中考数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分。）1．（3分）（2025•广西）5的相反数是（）A．﹣5 B．0 C．1 D．52．（3分）（2025•广西）在第30个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班得分为：8，9，7，9，10，9，则这组数据的众数为（）A．7 B．8 C．9 D．103．（3分）（2025•广西）如图是一个正三棱柱，则它的俯视图是（）A． B． C． D．4．（3分）（2025•广西）2025年5月4日，平陆运河青年枢纽电站顺利完成并网调试，具备发电条件．该电站设计年发电量1300万千瓦时，年减排二氧化碳1.17万吨．数据13000000用科学记数法表示为（）A．130×105 B．13×106 C．1.3×107 D．0.13×1085．（3分）（2025•广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a＞b．都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（）A．a+c＞b+c B．a+c＝b+c C．a+c＜b+c D．a﹣c＜b﹣c6．（3分）（2025•广西）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则sinB＝（）A．710 B．37 C．310 7．（3分）（2025•广西）已知一次函数y＝﹣x+b的图象经过点P（4，3），则b＝（）A．3 B．4 C．6 D．78．（3分）（2025•广西）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示．测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（）A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等9．（3分）（2025•广西）生态学家G．F．Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（）A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同10．（3分）（2025•广西）因式分解：a2﹣1＝（）A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1） C．（a+1）2 D．（a﹣1）211．（3分）（2025•广西）已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（）A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．2512．（3分）（2025•广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y=kx的一支上．若点A的坐标为（4，32A．4 B．3 C．72 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。）13．（3分）（2025•广西）2×5=14．（3分）（2025•广西）写出一个使分式1x+3有意义的x的值，可以是15．（3分）（2025•广西）从3，4，5三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为．16．（3分）（2025•广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD=2，则AD＝三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（8分）（2025•广西）（1）计算：（﹣2）×（﹣1）+3；（2）化简：a（a﹣1）+a．18．（10分）（2025•广西）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．（1）写出A，B两点的坐标；（2）求叶瓣①的周长；（结果保留π）（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．19．（10分）（2025•广西）某班需从甲、乙两名同学中推荐一人参加校史馆讲解员的选拔，班委决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内容进行考查．全班同学投票确定了各项所占的百分比，结果如图1，再对甲、乙进行考查并逐项打分，成绩如图2．（1）在所考查的四项内容中，甲比乙更具优势的有哪些？（2）按照图1的各项占比计算甲、乙的综合成绩，并确定推荐人选．20．（10分）（2025•广西）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，BC=（1）求证：△BOC≌△DOC；（2）求∠ABD的度数．21．（10分）（2025•广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：湖南境内路段广西境内特定路段广西境内其他路段周一至周四9.5折周五至周日9.5折全免5折（1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示）（2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．22．（12分）（2025•广西）综合与实践树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）．初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影▱MNPQ的平面图如图2所示，P在AD上，MN＝3m，AN＝1m，AP＝2m，AB＝3m，BC＝2.5m．由于场地限制，参加义卖的同字只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，▱MNPQ也随之移动（MN始终在AB边所在直线1．且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为▱MNPQ移动到P落在BC上的情形．【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时▱MNPQ的位置．设遮阳区的面积为Sm2，▱MNPQ从初始时向右移动的距离为xm．【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何变化？【初步探究】（2）求图3情形的x与S的值；【深入研究】（3）从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式；【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，▱MNPQ向右移动了多少？（直接写出结果）23．（12分）（2025•广西）【平行六边形】如图1，在凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中AB与DE，BC与EF，CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F叫做“主对角”；AD，BE，CF叫做“主对角线”．（1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．猜想判断正误①平行六边形的三组主对边分别相等②平行六边形的三组主对角分别相等③平行六边形的三条主对角线互相平分【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．（2）如图2，已知平行六边形OPQRST满足OP＝PQ＝QR＝RS．求证：平行六边形OPQRST是菱六边形；（3）如图3是一张边长为3，4，6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．

2025年广西中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案A．CDC．ABDABAC题号12答案B一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分。）1．（3分）（2025•广西）5的相反数是（）A．﹣5 B．0 C．1 D．5【考点】相反数．【专题】实数；符号意识．【答案】A．【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．【解答】解：5的相反数是﹣5．故选：A．【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．2．（3分）（2025•广西）在第30个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班得分为：8，9，7，9，10，9，则这组数据的众数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】众数．【专题】统计的应用；数据分析观念．【答案】C【分析】根据众数的定义即可得出答案．【解答】解：这组数据中，数字9出现3次，次数最多，所以这组数据的众数为9，故选：C．【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．3．（3分）（2025•广西）如图是一个正三棱柱，则它的俯视图是（）A． B． C． D．【考点】简单几何体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【答案】D【分析】根据从物体上方向下看得到的视图为俯视图，由此得解．【解答】解：从上面看这个几何体，是一个三角形．故选：D．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．4．（3分）（2025•广西）2025年5月4日，平陆运河青年枢纽电站顺利完成并网调试，具备发电条件．该电站设计年发电量1300万千瓦时，年减排二氧化碳1.17万吨．数据13000000用科学记数法表示为（）A．130×105 B．13×106 C．1.3×107 D．0.13×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】C．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：13000000＝1.3×107．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）（2025•广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a＞b．都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（）A．a+c＞b+c B．a+c＝b+c C．a+c＜b+c D．a﹣c＜b﹣c【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．【专题】方程与不等式；运算能力．【答案】A【分析】根据不等式的性质即可得出答案．【解答】解：∵a＞b，∴a+c＞b+c．故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．6．（3分）（2025•广西）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则sinB＝（）A．710 B．37 C．310 【考点】锐角三角函数的定义．【专题】解直角三角形及其应用；模型思想．【答案】B【分析】直接利用正弦的定义求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∴sinB=AC故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦的定义是解决问题的关键．7．（3分）（2025•广西）已知一次函数y＝﹣x+b的图象经过点P（4，3），则b＝（）A．3 B．4 C．6 D．7【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】D【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出3＝﹣1×4+b，解之即可得出b的值．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点P（4，3），∴3＝﹣1×4+b，解得：b＝7．故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．8．（3分）（2025•广西）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示．测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（）A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等【考点】平行线的性质；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．【解答】解：测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是垂线段最短．故选：A．【点评】本题考查的是平行线的性质，直线的性质，垂线段最短，熟知从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短是解题的关键．9．（3分）（2025•广西）生态学家G．F．Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（）A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同【考点】函数的图象．【专题】函数及其图象；几何直观．【答案】B【分析】根据函数的图象逐一判断即可．【解答】解：A．第5天的种群数量为400个，原说法错误，该选项不符合题意；B．前3天种群数量持续增长，说法正确，该选项符合题意；C．第5天的种群数量达到最大，原说法错误，该选项不符合题意；D．每天增加的种群数量不相同，原说法错误，该选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了函数图象的知识，读懂函数图象是解题的关键．10．（3分）（2025•广西）因式分解：a2﹣1＝（）A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1） C．（a+1）2 D．（a﹣1）2【考点】因式分解﹣运用公式法．【专题】整式；运算能力．【答案】A【分析】根据平方差公式进行计算即可．【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．故答案为：（a+1）（a﹣1）．故选：A．【点评】本题考查公式法分解因式，掌握平方差公式是正确解答的关键．11．（3分）（2025•广西）已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（）A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25【考点】根与系数的关系．【专题】一元二次方程及应用；模型思想．【答案】C【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2=--20故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x212．（3分）（2025•广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y=kx的一支上．若点A的坐标为（4，32A．4 B．3 C．72 D．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】本题涉及反比例函数的性质，已知点A在反比例函数y=kx上，可先求出k的值，再根据“双曲线阶梯”的线段平行关系，设出相关点的坐标，利用反比例函数表达式列出等式，进而求出【解答】解：∵点A（4，32）在双曲线y=∴k＝4×32∴反比例函数的解析式为y=6∵BC＝1且BC与x轴平行，AB与y轴平行，点A坐标为（4，32∴点C的横坐标比点A的横坐标小1，即横坐标为3，∵点C在y=6∴C点坐标为（3，2），同理，DE＝1，则点E的横坐标为2，把x＝2代入y=6x，则y＝∴求得E点坐标为（2，3），FG＝1，则点G的横坐标为1，把x＝1代入y=6x，则y＝∴G点坐标为（1，6），观察图象可知，EF的长度等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，即EF＝6﹣3＝3．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于理解反比例函数上点的坐标特征以及“双曲线阶梯”的线段位置关系．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。）13．（3分）（2025•广西）2×5=10【考点】二次根式的乘除法．【专题】二次根式；运算能力．【答案】10．【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．【解答】解：2×故答案为：10．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．14．（3分）（2025•广西）写出一个使分式1x+3有意义的x的值，可以是1（答案不唯一）【考点】分式有意义的条件．【专题】分式；运算能力．【答案】1（答案不唯一）．【分析】根据分式有意义的条件确定x的取值范围，再在有效的范围取值即可．【解答】解：分式1x+3有意义，即x所以x≠﹣3即可，所以x可以是1（答案不唯一），故答案为：1（答案不唯一）．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为0是分式有意义的条件是正确解答的关键．15．（3分）（2025•广西）从3，4，5三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为13【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】见试题解答内容【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：345378479589由表知，共有6种等可能结果，其中选出的两个数字之和是偶数的有2种结果，所以选出的两个数字之和是偶数的概率为26故答案为：13【点评】本题主要考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是利用列表或画树状图的方法列出所有等可能情况，并从中找到符合条件的结果数．16．（3分）（2025•广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD=2，则AD＝3-1【考点】等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】3-1【分析】延长AD交BC于E，由AB＝CA，BD＝CD可得AE⊥BC，BE＝CE，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得AE=3，DE＝1【解答】解：延长AD交BC于E，∵AB＝CA，BD＝CD，∴AE⊥BC，BE＝CE，∵AB＝BC＝CA＝2，∴BE＝CE＝1，∴AE=AB2-B∴AD＝AE﹣DE=3-故答案为：3-1【点评】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质以及勾股定理是本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（8分）（2025•广西）（1）计算：（﹣2）×（﹣1）+3；（2）化简：a（a﹣1）+a．【考点】整式的混合运算；实数的运算．【专题】实数；整式；运算能力．【答案】（1）5；（2）a2．【分析】（1）先算乘法，再算加法即可；（2）先根据单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．【解答】解：（1）（﹣2）×（﹣1）+3＝2+3＝5；（2）a（a﹣1）+a＝a2﹣a+a＝a2．【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．（10分）（2025•广西）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．（1）写出A，B两点的坐标；（2）求叶瓣①的周长；（结果保留π）（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．【考点】圆与圆的位置关系；坐标确定位置．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）A（0，5），B（5，0）；（2）5π；（3）叶瓣②还可以由叶瓣①绕点B逆时针旋转90°得到（答案不唯一）．【分析】（1）先证明四边形OAO'B是正方形即可得到坐标；（2）根据∠AOB＝90°，算出14（3）利用旋转即可．【解答】解：（1）∵以原点O，O'（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，∴OA＝OB＝O'A＝O'B＝5，∴四边形OAO'B是正方形，∴∠AOB＝∠OBO'＝∠BO'A＝∠O'AO＝90°，∴A（0，5），B（5，0）；（2）∵原点O，O'（5，5）为圆心、以5为半径作圆，∴两个圆是等圆，∵∠AOB＝∠AO'B＝90°，∴叶瓣①的周长为：2π（3）叶瓣②还可以由叶瓣①绕点B逆时针旋转90°得到（答案不唯一）．【点评】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转，掌握圆的性质是解题的关键．19．（10分）（2025•广西）某班需从甲、乙两名同学中推荐一人参加校史馆讲解员的选拔，班委决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内容进行考查．全班同学投票确定了各项所占的百分比，结果如图1，再对甲、乙进行考查并逐项打分，成绩如图2．（1）在所考查的四项内容中，甲比乙更具优势的有哪些？（2）按照图1的各项占比计算甲、乙的综合成绩，并确定推荐人选．【考点】加权平均数．【专题】统计的应用；运算能力．【答案】（1）口头表达能力、仪容仪表；（2）推荐乙参加校史馆讲解，理由见解答．【分析】（1）对比条形图中四个考查内容的具体大小即可得出答案；（2）利用加权平均数分别计算出甲、乙的综合成绩，比较大小即可得出答案．【解答】解：（1）在所考查的四项内容中，甲比乙更具优势的有口头表达能力、仪容仪表；（2）甲的综合成绩为9×40%+8×30%+7×20%+9×10%＝8.3（分），乙的综合成绩为8×40%+9×30%+9×20%+8×10%＝8.5（分），因为8.5＞8.3，所以推荐乙参加校史馆讲解．【点评】本题主要考查加权平均数，权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果，解答此题的关键是根据扇形图中的权的大小计算出甲、乙的综合成绩．20．（10分）（2025•广西）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，BC=（1）求证：△BOC≌△DOC；（2）求∠ABD的度数．【考点】全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明过程见解答；（2）40°．【分析】（1）根据已知易得：∠BOC＝∠DOC，然后利用SAS证明△BOC≌△DOC，即可解答；（2）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠OCB＝65°，再利用三角形内角和定理可得∠COB＝50°，然后利用（1）的结论可得∠DOC＝∠BOC＝50°，从而利用平角定义可得∠AOD＝80°，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵BC=∴∠BOC＝∠DOC，∵OC＝OC，OD＝OB，∴△BOC≌△DOC（SAS）；（2）解：∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB＝65°，∴∠COB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝50°，∴∠DOC＝∠BOC＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠DOC﹣∠BOC＝80°，∴∠ABD=12∠AOD＝【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．21．（10分）（2025•广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：湖南境内路段广西境内特定路段广西境内其他路段周一至周四9.5折周五至周日9.5折全免5折（1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示）（2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．【考点】一元一次方程的应用；列代数式．【答案】（1）实际支付高速费用（0.95a+0.5c）元，优惠了（0.05a+b+0.5c）元；（2）此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元．【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据题意列出方程组求解即可．【解答】解：（1）此次行程高速费原价总共为：a+b+c元，实际支付高速费用：0.95a+0+0.5c＝（0.95a+0.5c）元，优惠了a+b+c﹣（0.95a+0.5c）＝（0.05a+b+0.5c）元；（2）设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别x元和y元，0.5y解得：x=45.9故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元．【点评】本题考查了代数式、二元一次方程组，掌握二元一次方程是解题的关键．22．（12分）（2025•广西）综合与实践树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）．初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影▱MNPQ的平面图如图2所示，P在AD上，MN＝3m，AN＝1m，AP＝2m，AB＝3m，BC＝2.5m．由于场地限制，参加义卖的同字只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，▱MNPQ也随之移动（MN始终在AB边所在直线1．且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为▱MNPQ移动到P落在BC上的情形．【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时▱MNPQ的位置．设遮阳区的面积为Sm2，▱MNPQ从初始时向右移动的距离为xm．【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何变化？【初步探究】（2）求图3情形的x与S的值；【深入研究】（3）从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式；【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，▱MNPQ向右移动了多少？（直接写出结果）【考点】四边形综合题．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；梯形；平移、旋转与对称；应用意识．【答案】（1）S随x的增大而增大；（2）图3情形的x的值为3m，S的值为5m2；（3）S＝﹣2x2+14x﹣19（3＜x≤4）；（4）遮阳区面积最大时，▱MNPQ向右移动了72m【分析】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大而增大；（2）初始位置时P在AD上，右移至图3时，P在BC上，故向右移动的距离x＝AB＝3m，根据梯形面积公式可得S＝5（m2）；（3）设初始位置时，∠ANP＝α，可得tanα＝2，从图3情形起右移至M与A重合的过程中，设PQ交BC于G，PN交BC于E，QM交AD于F，连接EF，由平移的性质可知，PG＝（x﹣3）m，BN＝（4﹣x）m，求出GQ＝3﹣（x﹣3）＝（6﹣x）m，AN＝3﹣（4﹣x）＝（x﹣1）m，知GE＝2PG＝（2x﹣6）m，BE＝2BN＝（8﹣2x）m，证明△FMA≌△ENB（ASA），得FM＝EN，可得四边形FMNE是平行四边形，有EF∥MN，EF＝MN＝3m，故四边形QFEG，四边形FANE都是梯形，再根据S＝S梯形QFEG+S梯形FANE可得答案；（4）分0＜x≤3，3＜x≤4及x＞4分别讨论即可得到答案．【解答】解：（1）由图可知，初始位置时S＝0，∴从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大而增大；（2）如图：根据题意，初始位置时P在AD上，右移至图3时，P在BC上，∴向右移动的距离x＝AB＝3m，此时AM＝1m，Q向右移动到AD上，∴AN＝MN﹣AM＝3﹣1＝2（m），∴S=(AN+PQ)⋅∴图3情形的x的值为3m，S的值为5m2；（3）设初始位置时，∠ANP＝α，如图：∵AP＝2m，AN＝1m，∠PAN＝90°，∴tanα=APAN从图3情形起右移至M与A重合的过程中，设PQ交BC于G，PN交BC于E，QM交AD于F，连接EF，如图：由平移的性质可知，PG＝（x﹣3）m，BN＝（4﹣x）m，∴GQ＝3﹣（x﹣3）＝（6﹣x）m，AN＝3﹣（4﹣x）＝（x﹣1）m，∵tanP＝tan∠ENB＝tanα＝2，∴GE＝2PG＝（2x﹣6）m，BE＝2BN＝（8﹣2x）m，∵AM＝MN﹣AN＝AB﹣AN＝BN，∠MAF＝90°＝∠NBE，∠FMA＝∠ENB，∴△FMA≌△ENB（ASA），∴FM＝EN，∵FM∥EN，∴四边形FMNE是平行四边形，∴EF∥MN，EF＝MN＝3m，∵MN∥PQ，∴四边形QFEG，四边形FANE都是梯形，∴S＝S梯形QFEG+S梯形FANE=(6-x+3)(2x-6)2+∴S关于x的解析式为S＝﹣2x2+14x﹣19（3＜x≤4）；（4）当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，故当x＝3时，由（2）知，S最大为5m2；当3＜x≤4时，S＝﹣2x2+14x﹣19＝﹣2（x-72）∴当x=72时，S最大为当x＞4时，S随x的增大而减小，此时S＜11∵5＜11∴遮阳区面积最大时，▱MNPQ向右移动了72m【点评】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，平移的性质，梯形判定与性质，三角形面积等，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解答．23．（12分）（2025•广西）【平行六边形】如图1，在凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中AB与DE，BC与EF，CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F叫做“主对角”；AD，BE，CF叫做“主对角线”．（1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．猜想判断正误①平行六边形的三组主对边分别相等错误②平行六边形的三组主对角分别相等正确③平行六边形的三条主对角线互相平分错误【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．（2）如图2，已知平行六边形OPQRST满足OP＝PQ＝QR＝RS．求证：平行六边形OPQRST是菱六边形；（3）如图3是一张边长为3，4，6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．【考点】平行四边形的判定与性质；平行线的判定与性质；多边形．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】（1）①错误；②正确；③错误；（2）见解析；（3）AD=23，AE【分析】（1）连接BE，CF，AD，根据相似三角形和平行线的性质即可判断；（2）先证明QRSH为平行四边形，再证明HSTO为平行四边形，即可证明是菱六边形；（3）根据菱六边形DEFGHK得到DEBC=ADAB=AEAC，KHAC=BKAB，设DE＝EF＝FG＝HG＝KH＝DK＝x，根据AB【解答】（1）解：连接BE，CF，AD，BE，AD交于点O，由图可知：①AB平行于DE，只能知道△AOB∽△DOE，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的；②AB平行于DE，∠ABE＝∠BED，同理可得∠CBE＝BEF，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的；③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的．故答案为：①错误；②正确；③错误；（2）证明：过点Q作QH平行且相等于PO，连接OH，HS，则平行四边形PQHO是平行四边形，∴PQ平行于OH，PQ＝OH，在平行六边形OPQRST中，PO平行于RS，PO＝RS，∴QH平行且相等于RS，∴QRSH为平行四边形，∴QR平行于HS，QR＝HS，在平行六边形OPQRST中，PQ平行于ST，QR平行于OT，∴OH平行于ST，HS平行于OT，∴HSTO为平行四边形，∴HS＝OT，OH＝ST，∴QR＝OT，PQ＝ST，∵OP＝PQ＝QR＝RS，∴PQ＝QR＝RS＝ST＝OT＝PO，∴平行六边形OPQRST是菱六边形．（3）解：设三角形纸片为△ABC，裁剪后的纸片为菱六边形DEFGHK，∴DE平行于HG，HK平行于EFHG，GF平行于AB，DE＝EF＝FG＝HG＝KH＝DK，∴△ADE∽△ABC，△BKH∽△BAC，∴DEBC=AD设DE＝EF＝FG＝HG＝KH＝DK＝x，则x6∴AD=12x，∵AB＝AD+DK+BK＝3，∴12解得：x=∴AD=12x=【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及解方程，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．

考点卡片1．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．2．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．5．整式的混合运算（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．6．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．7．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．8．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：a⋅b=a•b（a≥0（2）二次根式的乘法法则：a•b=a⋅b（a≥0（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，规律方法总结：在使用性质a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（-4）×（-9）9．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．10．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=-（x1+x2），（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．11．由实际问题抽象出一元一次不等式用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．12．坐标确定位置平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．13．函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．14．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．15．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．16．直线的性质：两点确定一条直线（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．17．线段的性质：两点之间线段最短线段公理两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．18．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．19．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．20．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．21．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．22．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．23．多边形（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．24．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比