2025年湖北省武汉市中考数学试卷

第44页（共44页）2025年湖北省武汉市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案。1．（3分）（2025•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）（2025•武汉）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（）A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数3．（3分）（2025•武汉）如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（）A． B． C． D．4．（3分）（2025•武汉）2025年“五一”期间，全国旅游市场火爆．据文化和旅游部数据中心统计，国内旅游消费超过1800亿元（1亿＝108），同比增长8%．将数据1800亿用科学记数法表示是（）A．0.18×1012 B．1.8×1011 C．18×1010 D．1.8×10125．（3分）（2025•武汉）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a3）2＝a6 D．a8÷a2＝a46．（3分）（2025•武汉）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度y（单位：cm）随漏水时间t（单位：h）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是（）A．3h B．4h C．6h D．12h7．（3分）（2025•武汉）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（）A．16 B．14 C．13 8．（3分）（2025•武汉）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上．若∠A＝34°，则∠ADE的大小是（）A．35° B．37° C．39° D．41°9．（3分）（2025•武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=2CD．若AB＝6，CD=13，则⊙A．134 B．72 C．92 10．（3分）（2025•武汉）如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点．点P从点A出发，依次沿AB，BC两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．点N的纵坐标是（）A．11617 B．12017 C．11215 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2025•武汉）在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是．物质铁酒精液态氧水凝固点（单位：℃）1535﹣117﹣218012．（3分）（2025•武汉）在平面直角坐标系中，某反比例函数y=kx的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的k的值是13．（3分）（2025•武汉）方程1x-1=4x14．（3分）（2025•武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的距离是m．（tan22°取0.4）15．（3分）（2025•武汉）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝210，点D在边AC上，CD＝3．若点E在边AB上，满足CE＝BD，则AE的长是．16．（3分）（2025•武汉）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．下列五个结论：①该函数图象经过点（﹣1，0）；②若a＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；④若a＞2，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1；⑤若a＞2，则关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个．其中正确的是（填写序号）．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。17．（8分）（2025•武汉）解不等式组3x18．（8分）（2025•武汉）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AD∥BC．若______，则AD＝CB．从①OA＝OC，②∠ABC＝∠CDA，③AB＝CD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由．19．（8分）（2025•武汉）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）m的值是，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是．（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．20．（8分）（2025•武汉）如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD是直径，∠BAC＝45°，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）若BD＝4，tan∠ABD＝2，求图中阴影部分的面积．21．（8分）（2025•武汉）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条．（1）如图1，E是格点，先将点E绕点A逆时针旋转90°，画对应点F，再画直线FG交AB于点G，使直线FG平分矩形ABCD的面积．（2）如图2，先画点C关于直线BD的对称点M，再画射线MN交BD于点N，使MN∥AD．22．（10分）（2025•武汉）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．研究背景羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．收集数据某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如表（不考虑空气阻力）．水平距离x/m02356…高度y/m1.12.32.62.62.3…探索发现数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线y＝ax2+bx+1.1的一部分．建立模型求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）．（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m？请说明理由．（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y＝ax2+kx+1.1，发球点与球网的水平距离是5m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水平距离小于6m．求k的取值范围．23．（10分）（2025•武汉）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在边BC的延长线上，DE＝CF，射线AE交对角线BD于点G，交线段DF于点H．（1）求证：DH＝GH．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明△ADE≌△DCF）（2）求证：AG•EH＝EG•GH．（3）若GEEH=n，直接写出DHDF24．（12分）（2025•武汉）抛物线y=14x2-3与直线y＝x交于A，B（1）求A，B两点的坐标．（2）如图1，若P是直线AB下方抛物线上的点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，过点P作y轴的平行线交线段AB于点N，满足PM＝PN，求点P的横坐标．（3）如图2，经过原点O的直线CD交抛物线于C，D两点（点C在第二象限），连接AC，BD分别交x轴于E，F两点．若S△DOF=34S

2025年湖北省武汉市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBDB．CACCAB一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案。1．（3分）（2025•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项A、B、C的美术字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项D的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）（2025•武汉）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（）A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数【考点】随机事件．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】B【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可．【解答】解：掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字，向上两面的数字和为5是随机事件，则A不符合题意，向上两面的数字和大于1是必然事件，则B符合题意，向上两面的数字和大于12是不可能事件，则C不符合题意，向上两面的数字和为偶数是随机事件，则D不符合题意，故选：B．【点评】本题考查随机事件，熟练掌握相关定义是解题的关键．3．（3分）（2025•武汉）如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【答案】D【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得底层是两个正方形，上层是两个正方形，类似于应该“田”字．故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．（3分）（2025•武汉）2025年“五一”期间，全国旅游市场火爆．据文化和旅游部数据中心统计，国内旅游消费超过1800亿元（1亿＝108），同比增长8%．将数据1800亿用科学记数法表示是（）A．0.18×1012 B．1.8×1011 C．18×1010 D．1.8×1012【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】B．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1800亿＝180000000000＝1.8×1011．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）（2025•武汉）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a3）2＝a6 D．a8÷a2＝a4【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】整式；运算能力．【答案】C【分析】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方法则逐项判断即可．【解答】解：a2与a3不是同类项，无法合并，则A不符合题意，a2•a3＝a5，则B不符合题意，（﹣a3）2＝a6，则C符合题意，a8÷a2＝a6，则D不符合题意，故选：C．【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．6．（3分）（2025•武汉）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度y（单位：cm）随漏水时间t（单位：h）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是（）A．3h B．4h C．6h D．12h【考点】函数的图象．【专题】函数及其图象；应用意识．【答案】A【分析】根据题意求出“漏壶”的漏水速度，即可求出水面高度从48cm变化到42cm所用的时间．【解答】解：“漏壶”的漏水速度为：4824=2（cm/∴水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是48-422=3（故选：A．【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．（3分）（2025•武汉）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（）A．16 B．14 C．13 【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；运算能力．【答案】C【分析】用树状图表示从标有10元、20元、30元的三个小球中，随机摸出两个小球，所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【解答】解：从标有10元、20元、30元的三个小球中，随机摸出两个小球，所有等可能出现的结果如下：共有6种等可能出现的结果，其中两球上金额的和为50元的有2种，所以两球上金额的和为50元的概率是26故选：C．【点评】本题考查列表法和树状图法，列举出从标有10元、20元、30元的三个小球中，随机摸出两个小球，所有等可能出现的结果是正确解答的关键．8．（3分）（2025•武汉）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上．若∠A＝34°，则∠ADE的大小是（）A．35° B．37° C．39° D．41°【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】由AB＝AC，得∠B＝∠ACB，而∠A＝34°，则2∠ACB+34°＝180°，求得∠B＝∠ACB＝73°，由折叠得∠CED＝∠B＝73°，则∠BDE＝360°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CED＝141°，所以∠ADE＝180°﹣∠BDE＝39°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B+∠ACB+∠A＝180°，且∠A＝34°，∴2∠ACB+34°＝180°，∴∠B＝∠ACB＝73°，∵将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上，∴∠CED＝∠B＝73°，∴∠BDE＝360°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CED＝360°﹣3×73°＝141°，∴∠ADE＝180°﹣∠BDE＝180°﹣141°＝39°，故选：C．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、翻折变换的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于360°等知识，求得∠B＝∠ACB＝73°是解题的关键．9．（3分）（2025•武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=2CD．若AB＝6，CD=13，则⊙A．134 B．72 C．92 【考点】弧长的计算．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为F，交⊙O于点E，连接OA，AE，则AE=BE，AF＝BF=12∵AB=2CD∴AE∴AE＝CD=13在Rt△AEF中，AE=13，AF＝3∴EF=AE设半径为R，在Rt△AOF中，OA＝R，OF＝R﹣2，AF＝3，由勾股定理得，OA2＝OF2+AF2，即R2＝（R﹣2）2+32，解得R=13故选：A．【点评】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．10．（3分）（2025•武汉）如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点．点P从点A出发，依次沿AB，BC两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．点N的纵坐标是（）A．11617 B．12017 C．11215 【考点】动点问题的函数图象．【专题】几何动点问题；运算能力．【答案】B【分析】由图2可知AD、CD、BD的长度及点D到AB的距离，点N的纵坐标表示点D到BC的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到BC的距离即可．【解答】解：根据图2，AD＝20，CD＝8，BD＝15，点D到AB的距离DE＝12，点N的纵坐标表示点D到BC的距离DF．如图：在Rt△ADE中利用勾股定理，得AE=AD在Rt△BDE中利用勾股定理，得BE=BD则AB＝AE+BE＝16+9＝25，∵AD2+BD2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，在Rt△BCD中利用勾股定理，得BC=BD则12BD•CD=12BC解得DF=BD∴点N的纵坐标是12017故选：B．【点评】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到AD、CD、BD的长度及点D到AB的距离，点N的纵坐标表示点D到BC的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2025•武汉）在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是液态氧．物质铁酒精液态氧水凝固点（单位：℃）1535﹣117﹣2180【考点】正数和负数．【专题】实数；数感．【答案】液态氧．【分析】根据正数和负数的实际意义得出最小的数即可．【解答】解：由题意可得最小的数为﹣218，则凝固点最低的物质为液态氧，故答案为：液态氧．【点评】本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键．12．（3分）（2025•武汉）在平面直角坐标系中，某反比例函数y=kx的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的k的值是1（答案不唯一）【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．【专题】反比例函数及其应用；几何直观．【答案】1（答案不唯一）．【分析】根据反比例函数图象分布确定k的取值范围，在k的取值范围内选取一个数即可．【解答】解：∵反比例函数y=kx的∴k＞0，不妨令k＝1．故答案为：1（答案不唯一）．【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键．13．（3分）（2025•武汉）方程1x-1=4x2【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x＝3．【分析】将原方程去分母后化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【解答】解：原方程去分母得：x+1＝4，解得：x＝3，检验：当x＝3时，（x+1）（x﹣1）≠0，故原方程的解为x＝3，故答案为：x＝3．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．14．（3分）（2025•武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的距离是180m．（tan22°取0.4）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】180．【分析】根据题意可得：PD∥CB，从而可得∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°，然后分别在Rt△PAC和Rt△PBC中，利用锐角三角函数的定义求出AC和BC的长，从而进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：PD∥CB，∴∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°，在Rt△PAC中，PC＝120m，∴AC=PCtan45°=在Rt△PBC中，∠PBC＝22°，∴BC=PCtan22°≈∴AB＝BC﹣AC＝300﹣120＝180（m），∴A，B之间的距离约是180m，故答案为：180．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析添加适当的辅助线是解题的关键．15．（3分）（2025•武汉）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝210，点D在边AC上，CD＝3．若点E在边AB上，满足CE＝BD，则AE的长是7或9．【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的面积．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】7或9．【分析】过A作AM⊥BC于M，过C作CH⊥AB于H，由等腰三角形的性质得到BM=12BC=10，由勾股定理求出AM＝310，由三角形的面积公式求出CH＝6由勾股定理求出BH＝2，如果E在H的上面，求出AE＝AB﹣BE＝10﹣3＝7；如果E在H的下面，求出AE′＝AH+E′H＝8+1【解答】解：过A作AM⊥BC于M，过C作CH⊥AB于H，∵AB＝AC＝10，∴BM=12BC=1∴AM=AB2∵△ABC的面积=12AB•CH=12∴10×CH＝210×310∴CH＝6，∴BH=BC如果E在H的上面，当BE＝CD＝3时，CE＝BD，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣3＝7；如果E在H的下面，∵CE′＝CE，CH⊥EE′，∴HE′＝HE，∵EH＝BE﹣BH＝3﹣2＝1，∴AE′＝AH+E′H＝8+1＝9，综上所述：AE的长是7或9．故答案为：7或9．【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是要分两种情况讨论．16．（3分）（2025•武汉）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．下列五个结论：①该函数图象经过点（﹣1，0）；②若a＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；④若a＞2，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1；⑤若a＞2，则关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个．其中正确的是①②④⑤（填写序号）．【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】①②④⑤．【分析】把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝0，即可判断①；当a＝﹣1时，该二次函数开口向下，求出对称轴为直线x=-32，则可根据增减性判断②；利用判别式的值可直接判断由①可知关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根为﹣1，设另一个根为x2，由韦达定理可知x2=2a，当a＞2时，有0＜⑤当a＞2时，对称轴为直线x=1a-12＜0，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有两个非正解，将y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的图象，令y＝2，则直线y＝2与y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4个不同交点，其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余都为负，即关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝【解答】解：把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝a+2﹣a﹣2＝0，故该函数图象经过点（﹣1，0），故①正确；当a＝﹣1时，该二次函数开口向下，对称轴为直线x=-b故当x＞-32时，y因此当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故②正确；∵Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣2）2+8a＝（a+2）2≥0，∴该函数图象与x轴有两个不同公共点或只有一个公共点，故③错误；由①可知关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根为﹣1，设另一个根为x2，由韦达定理可知-1⋅∴x2当a＞2时，有0＜即关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1，故④正确；当a＞2时，对称轴为直线x=2-a则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有两个非正解，将y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的图象，令y＝2，则直线y＝2与y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4个不同交点，其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余都为负，即关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．【点评】本题考查了二次函数的图象、增减性质、对称性质、根的判别式、韦达定理、二次函数图象的轴对称变换、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握以上内容并能数形结合分析题意是解题关键．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。17．（8分）（2025•武汉）解不等式组3x【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】﹣1＜x≤2．【分析】解各不等式得到对应的解集后求得它们的公共部分即可．【解答】解：解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣1，故原不等式组的解集为﹣1＜x≤2．【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．18．（8分）（2025•武汉）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AD∥BC．若______，则AD＝CB．从①OA＝OC，②∠ABC＝∠CDA，③AB＝CD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．【答案】选择①OA＝OC，理由见解答．（答案不唯一）【分析】由AD∥BC，得∠ODA＝∠OBC，∠ACB＝∠CAD，若选择①OA＝OC，可根据“AAS”证明△AOD≌△COB，得AD＝CB；若选择②∠ABC＝∠CDA，可证明△ABC≌△CDA，得AD＝CB．【解答】解：选择①OA＝OC，理由：∵AD∥BC，∴∠ODA＝∠OBC，在△AOD和△COB中，∠AOD∴△AOD≌△COB（AAS），∴AD＝CB．注：答案不唯一．【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△AOD≌△COB（或△ABC≌△CDA）是解题的关键．19．（8分）（2025•武汉）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）m的值是100，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是72°．（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．【考点】条形统计图；中位数；众数；统计量的选择；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】（1）100，72°；（2）520人；（3）样本的众数中位数为4分，说明大部分学生成绩达到或超过3分．（答案不唯一）．【分析】（1）用“3分”的人数以及它所占百分比可得m的值；用360°乘“5分”所占百分比可得扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小；（2）利用样本估计总体即可；（3）利用中位数、众数的定义即可求出答案．【解答】解：（1）m＝36÷36%＝100，“5分”的人数为：100﹣2﹣10﹣36﹣32＝20，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是：360°×20100故答案为：100，72°；（2）1000×32+20100答：估计成绩超过3分的学生人数为520人；（3）样本的众数中位数为4分，说明大部分学生成绩达到或超过3分．（答案不唯一）．【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体以及中位数、众数等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．20．（8分）（2025•武汉）如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD是直径，∠BAC＝45°，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）若BD＝4，tan∠ABD＝2，求图中阴影部分的面积．【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形；圆周角定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）阴影部分的面积为5﹣π．【分析】（1）连接OC，由∠BAC＝45°，得∠BOC＝2∠BAC＝90°，因为CE∥BD，所以∠OCE＝180°﹣∠BOC＝90°，即可证明CE是⊙O的切线；（2）作BF⊥CE于点F，由BD是⊙O的直径，且BD＝4，求得OC＝OB＝2，可证明四边形BOCF是正方形，则BF＝OB＝2，因为∠E＝∠ABD，所以BFEF=tanE＝tan∠ABD＝2，则EF=12BF＝1，即可由S阴影＝S△BEF+S正方形BOCF﹣S扇形BOC求得S阴影＝【解答】（1）证明：连接OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵CE∥BD，∴∠OCE＝180°﹣∠BOC＝90°，∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线．（2）解：作BF⊥CE于点F，则∠BFE＝∠BFC＝90°，∵∠BFC＝∠OCF＝∠BOC＝90°，∴四边形BOCF是矩形，∵BD是⊙O的直径，且BD＝4，∴OC＝OB=12AB＝∴四边形BOCF是正方形，∴BF＝OB＝2，∵∠E＝∠ABD，tan∠ABD＝2，∴BFEF=tanE＝tan∠ABD＝∴EF=12BF＝∴S阴影＝S△BEF+S正方形BOCF﹣S扇形BOC=12×1×2+22-90∴阴影部分的面积为5﹣π．【点评】此题重点考查平行线的性质、圆周角定理、切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．21．（8分）（2025•武汉）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条．（1）如图1，E是格点，先将点E绕点A逆时针旋转90°，画对应点F，再画直线FG交AB于点G，使直线FG平分矩形ABCD的面积．（2）如图2，先画点C关于直线BD的对称点M，再画射线MN交BD于点N，使MN∥AD．【考点】作图﹣旋转变换；平行线的判定；作图﹣轴对称变换．【专题】作图题；几何直观．【答案】见解析．【分析】（1）利用旋转变换的性质作出点E的对应点F即可，连接AC交网格线于点O，作直线FO交AB于点G即可；（2）取格点J，K，连接AK，CJ交于点M，连接KJ交网格线于点P，取格点W，连接PW，延长PW交BD于点N，作直线MN即可．【解答】解：（1）如图1中，点F，直线FG即为所求；（2）如图，点M，直线MN即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．（10分）（2025•武汉）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．研究背景羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．收集数据某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如表（不考虑空气阻力）．水平距离x/m02356…高度y/m1.12.32.62.62.3…探索发现数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线y＝ax2+bx+1.1的一部分．建立模型求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）．（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m？请说明理由．（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y＝ax2+kx+1.1，发球点与球网的水平距离是5m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水平距离小于6m．求k的取值范围．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【答案】（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m，理由见解析；（2）k的取值范围为0.7＜k＜1．【分析】（1）把（2，2.3），（3，2.6）代入y＝ax2+bx+1.1，用待定系数法求出函数解析式，再根据函数的性质求出最大值与2.8比较即可；（2）根据题意知，当x＝5时，y＞2.1，当x＝11时，y＜0，解不等式组求出k的取值范围．【解答】解：（1）把（2，2.3），（3，2.6）代入y＝ax2+bx+1.1得：4a解得a=-0.1∴y＝﹣0.1x2+0.8x+1.1＝﹣0.1（x﹣4）2+2.7，∵﹣0.1＜0，∴当x＝4时，y有最大值，最大值为2.7，∵2.8＞2.7，∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m；（2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，∴a＝﹣0.1，∴解析式为y＝﹣0.1x2+kx+1.1，当x＝5时，y＝﹣0.1×52+5k+1.1＞2.1，解得k＞0.7；∵球的落地点与球网的水平距离小于6，∴当x＝11时，y＝﹣0.1×112+11k+1.1＜0，解得k＜1，∴k的取值范围为0.7＜k＜1．【点评】本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．23．（10分）（2025•武汉）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在边BC的延长线上，DE＝CF，射线AE交对角线BD于点G，交线段DF于点H．（1）求证：DH＝GH．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明△ADE≌△DCF）（2）求证：AG•EH＝EG•GH．（3）若GEEH=n，直接写出DHDF【考点】相似形综合题．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明过程详见解答；（2）证明过程详见解答；（3）n+1【分析】（1）可证得△ADE≌△DCF，从而∠DAE＝∠CDF，进而证得∠HDG＝∠DGH，从而DH＝GH；（2）作HW⊥DF，交DC的延长线于W，根据△ADE≌△DCF，GH＝DH，从而的粗∠AED＝∠F，可证得∠W＝∠F，∠W＝∠HEW，进而得出HW＝EH，可证得△ABG∽△EDG，进而证得AGEG=ABDE=ADDE=tan∠（3）由（1）知△ADE≌△DCF，DH＝GH，从而得出DF＝AE，由（2）知，AG•EH＝EG•GH，从而得出GEEH=AGGH=n，根据比例的性质得出GEGE+EH=AGAG+GH=nn+1，从而得出GEGH=AGAH=nn+1，设GE＝na，DH＝GH＝（n+1）a，AG＝nb，AH＝（n+1）b，则EH＝GH﹣GE＝a，AE＝AG+GE＝na+【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝∠DCF＝90°，∠ADB＝∠BDC＝45°，∵DE＝CF，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠HDG＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，∠DGH＝∠DAE+∠ADB＝∠CDF+45°，∴∠HDG＝∠DGH，∴DH＝GH；（2）证明：如图，作HW⊥DF，交DC的延长线于W，由（1）知，△ADE≌△DCF，GH＝DH，∴∠AED＝∠F，∵∠WHF＝∠OCW＝90°，∠FOH＝∠COW，∴∠W＝∠F，∵∠HEW＝∠AED，∴∠W＝∠HEW，∴HW＝EH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝AD，∴△ABG∽△EDG，∴AGEG=AB∵GHEH=DH∴AGEG∴AG•EH＝EG•GH；（3）解：由（1）知，△ADE≌△DCF，DH＝GH，∴DF＝AE，∠CDF＝∠DAE，由（2）知，AG•EH＝EG•GH，∴GEEH=∴GEGE∴GEGH设GE＝na，DH＝GH＝（n+1）a，AG＝nb，AH＝（n+1）b，∴EH＝GH﹣GE＝a，AE＝AG+GE＝na+nb，∵AH﹣AG＝GH＝（n+1）b﹣bn＝b，∴b＝（n+1）a，∴DHDF【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，比例的性质等知识，解决问题的关键是弄清数量之间的关系．24．（12分）（2025•武汉）抛物线y=14x2-3与直线y＝x交于A，B（1）求A，B两点的坐标．（2）如图1，若P是直线AB下方抛物线上的点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，过点P作y轴的平行线交线段AB于点N，满足PM＝PN，求点P的横坐标．（3）如图2，经过原点O的直线CD交抛物线于C，D两点（点C在第二象限），连接AC，BD分别交x轴于E，F两点．若S△DOF=34S【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】（1）A（﹣2，﹣2），B（6，6）；（2）2或6﹣43；（3）y=-14【分析】（1）当x=14x2-3（2）设P（t，14t2-3），则M（﹣t，14t2-3），N（t，t），由PM＝PN，可得|2t|＝t-14t（3）设C（c，14c2-3），D（d，14d2-3），直线CD的解析式为y＝（14c+14d）x-14cd﹣3，由题可知cd＝﹣12，同理直线AC的解析式为y＝（14c-12）x+12c﹣3，直线BD的解析式为y＝（14d+32）x-32d﹣3，分别求出E（12-2cc-【解答】解：（1）当x=14x2-3时，解得x＝﹣2∴A（﹣2，﹣2），B（6，6）；（2）设P（t，14t2-3），则M（﹣t，14t2-∴PM＝|2t|，PN＝t-14∵PM＝PN，∴|2t|＝t-14解得t＝2或t＝6﹣43，∴P点横坐标为2或6﹣43；（3）设C（c，14c2-3），D（d直线CD的解析式为y＝（14c+14d）x-1∵CD经过原点，∴-14cd﹣3＝解得cd＝﹣12，同理直线AC的解析式为y＝（14c-12）x+12c﹣3，直线BD的解析式为y＝（14d+3∴F（6d+12d+6，0），E（∵cd＝﹣12，∴F（2c-12∴OF＝OE，∵S△DOF=3∴12×OF×|yd|=34×1∴|1解得：c＝﹣4，d＝3，∴C（﹣4，1），∴直线CD的解析式为y=-14【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键．

考点卡片1．正数和负数1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．2．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．3．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．4．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．5．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．6．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．7．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．8．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=-（x1+x2），（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．9．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．10．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．11．函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．12．动点问题的函数图象函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．13．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．14．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx（k≠0）的（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．15．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|416．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a①抛物线是关于对称轴x=-b2a②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x17．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．18．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．19．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．20．平行线的判定（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．21．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．22．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．23．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．24．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．25．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．26．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．27．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．28．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．29．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．30．作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．④作出的垂线为最短路径．31．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．32．作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．33．相似形综合题主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．34．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cos（a，b，c分别是∠A