2025年山东省济南市中考数学试卷

第51页（共51页）2025年山东省济南市中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。1．（4分）（2025•济南）下列各数中为负数的是（）A．3 B．0 C．2 D．﹣12．（4分）（2025•济南）如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（）A． B． C． D．3．（4分）（2025•济南）2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（）A．9.611×103 B．96.11×103 C．9.611×104 D．0.9611×1054．（4分）（2025•济南）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．正五边形5．（4分）（2025•济南）下列运算正确的是（）A．m2•m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．2m+3n＝5mn D．（m2）3＝m56．（4分）（2025•济南）已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．a2＜b2 C．﹣a＞﹣b D．2a7．（4分）（2025•济南）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（）A．∠DAC＞∠EBA B．∠DAC＜∠EBA C．∠DAC＝∠EBA D．∠DAC+∠EBA＝60°8．（4分）（2025•济南）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（）A．14 B．13 C．12 9．（4分）（2025•济南）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM＝CN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点②分别以点C和D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点根据以上作图，若AD＝4，DB＝2，BC=32，则线段A．1123 B．112 C．5 10．（4分）（2025•济南）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；③-4④4a﹣2b+c＞0；⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0．以上结论正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案。11．（4分）（2025•济南）已知一个正方形的面积为2，则其边长为．12．（4分）（2025•济南）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为．13．（4分）（2025•济南）如图，两条直线l1，l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点B，C，且l1∥l2．当∠1＝37°时，∠2＝°．14．（4分）（2025•济南）A，B两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s（km）与骑车时间t（h）的关系如图所示，则他们相遇时距离A地km．15．（4分）（2025•济南）如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F．若CG＝4，EF=43，则AB＝三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（7分）（2025•济南）计算：(π17．（7分）（2025•济南）解不等式组4-x18．（7分）（2025•济南）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且AF＝CE．求证：∠AEB＝∠CFD．19．（8分）（2025•济南）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上）（1）求两滑梯的高度差；（2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）20．（8分）（2025•济南）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长．21．（9分）（2025•济南）某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息：a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下：组别成绩/分人数（频数）A0≤x＜201B20≤x＜405C40≤x＜60mD60≤x＜8016E80≤x≤10020b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79请根据以上信息完成下列问题：（1）求随机抽取的学生人数；（2）统计表中的m＝，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为度；（3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为分；（4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数．22．（10分）（2025•济南）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．（1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？23．（10分）（2025•济南）一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y=kx(x＞0)的图象交于点A（m，6），与x（1）求m，k的值．（2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．①如图1，若点D的横坐标为4，连接AD，E为线段AD上一点，且AEED=1②如图2，M为线段OC上一点，且CM＝1，四边形OMDN是平行四边形，连接AN，若∠BAN＝45°，求点D的坐标．24．（12分）（2025•济南）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（3，1），B（0，﹣2）两点，顶点为G．（1）求二次函数的表达式和顶点G的坐标．（2）如图1，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度得到一个新函数的图象，当0≤x≤3时，新函数的最大值是8，求n的值．（3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿直线AB平移，点A，G的对应点分别为A′，G′，连接AG′，A′G，线段AG′与A′G交于点M．若tan∠BMG=125．（12分）（2025•济南）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点O为AC的中点．在Rt△DBE中，∠DBE＝90°，DB＝3，BE＝4，连接EO并延长到点F，使OF＝EO，连接AF．初步感知：（1）如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，请完成填空：∠DAF＝°．ADAF=深入探究：（2）如图2，若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（0°＜α＜90°），连接AD，CE，AE，CF．①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．②当四边形AECF的面积最小时，求线段AD的长．

2025年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBC．BADCADA一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。1．（4分）（2025•济南）下列各数中为负数的是（）A．3 B．0 C．2 D．﹣1【考点】实数．【专题】实数；数感．【答案】D【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案．【解答】解：A、C中的数是正数，故A、C不符合题意；B、0不是正数也不是负数，故B不符合题意；D、﹣1是负数，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查实数，关键是掌握负数的概念．2．（4分）（2025•济南）如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【答案】B【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意从正面看到的所有棱都应表现在主视图中．【解答】解：由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是：故选：B．【点评】此题考查的是几何体主视图的判断，掌握主视图的定义是解决此题的关键．3．（4分）（2025•济南）2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（）A．9.611×103 B．96.11×103 C．9.611×104 D．0.9611×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】C．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：96110＝9.611×104．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）（2025•济南）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．正五边形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．（4分）（2025•济南）下列运算正确的是（）A．m2•m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．2m+3n＝5mn D．（m2）3＝m5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】整式；运算能力．【答案】A【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可．【解答】解：A．m2•m3＝m5，计算正确；B．m6÷m2＝m4，原选项错误；C．2m与3n不是同类项，不能合并，原选项错误；D．（m2）3＝m6，原选项错误；故选：A．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．（4分）（2025•济南）已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．a2＜b2 C．﹣a＞﹣b D．2a【考点】不等式的性质．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案．【解答】解：A、a＞b，则a﹣1＞b﹣1，选项错误；B、a＞b，则a2C、a＞b，则﹣a＜﹣b，选项错误；D、a＞b，则a+a＞a+b，即2a＞a+b，选项正确，故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．7．（4分）（2025•济南）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（）A．∠DAC＞∠EBA B．∠DAC＜∠EBA C．∠DAC＝∠EBA D．∠DAC+∠EBA＝60°【考点】锐角三角函数的定义．【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．【答案】C【分析】根据正方形网格中小正方形的边长为1得AF＝6，DF＝4，BH＝3，EH＝2，∠AFD＝∠BHE＝90°，在Rt△ADF和Rt△BHE中，由正切函数定义得tan∠DAC＝tan∠EBA=32≠33，然后再根据∠DAC和∠EBA都是锐角得∠DAC【解答】解：如图所示：∵正方形网格中小正方形的边长为1，∴AF＝6，DF＝4，BH＝3，EH＝2，∠AFD＝∠BHE＝90°，在Rt△ADF中，tan∠DAC=DF在Rt△BHE中，tan∠EBA=EH∴tan∠DAC＝tan∠EBA，又∵∠DAC和∠EBA都是锐角，∴∠DAC＝∠EBA≠30°，∴∠DAC+∠EBA≠60°，故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形网格的特征和三角函数的定义是解决问题的关键．8．（4分）（2025•济南）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（）A．14 B．13 C．12 【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；推理能力；应用意识．【答案】A【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【解答】解：画树状图为：由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种，∴416故选：A．【点评】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．9．（4分）（2025•济南）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM＝CN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点②分别以点C和D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点根据以上作图，若AD＝4，DB＝2，BC=32，则线段A．1123 B．112 C．5 【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】作图题；推理能力．【答案】D【分析】根据作法得AD平分∠ACB，EF垂直平分CD，所以∠ECD＝∠FCD，CE＝DE，从而证明DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形性质可得ADAB【解答】解：连接DE，由作法得CD平分∠ACB，∴∠ECD＝∠FCD（角平分线的定义），∵EF垂直平分CD，∴CE＝DE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），∴∠ECD＝∠EDC，∴∠FCD＝∠EDC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴ADAB∵AD＝4，DB＝2，BC=3∴44+2∴DE=2∴CE=∴AEAE∴AE=4故选：D．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ABC是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．10．（4分）（2025•济南）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；③-4④4a﹣2b+c＞0；⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0．以上结论正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．【专题】判别式法；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】结合题意画出函数图象，结合函数图象一一判断即可得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴a＜0，抛物线与x轴的交点为：（1，0）和（﹣3，0），图象如下所示：令y＝n﹣1，即把y＝n向下平移一个单位，再结合函数图象可知ax2+bx+c＝n﹣1（a≠0）有两个不相等的实数根，故ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；①正确，符合题意；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确，符合题意；∵抛物线与x轴的交点为：（1，0）和（3，0），∴二次函数为y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，∴m＝﹣3a，∵3＜m＜4，∴3＜﹣3a＜4，解得-43＜结合函数图象可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故④正确，符合题意，∵x=-∴b＝2a，∴（t+1）（at﹣a+b）＝（t+1）（at﹣a+2a）＝a（t+1）（t+1）＝a（t+1）2，∵a＜0，（t+1）2≥0，∴a（t+1）2≤0，即故⑤正确，符合题意，综上：①②③④⑤正确，故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案。11．（4分）（2025•济南）已知一个正方形的面积为2，则其边长为2．【考点】算术平方根．【专题】实数；数感．【答案】2【分析】正方形的面积等于边长的平方，因此正方形的边长即可所求．【解答】解：设正方形的边长是x（x＞0），∵正方形的面积为2，∴x2＝2，∴x=2∴正方形的边长为2．故答案为：2【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．12．（4分）（2025•济南）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为29【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】29【分析】直接利用概率公式求解即可．【解答】解：不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，球的总数为：2+3+4＝9（个），所以从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为22+3+4故答案为：29【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(13．（4分）（2025•济南）如图，两条直线l1，l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点B，C，且l1∥l2．当∠1＝37°时，∠2＝97°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】97．【分析】先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解．【解答】解：如图，正六边形内角和为：（6﹣2）×180°＝720°，∴∠ABC∵∠1＝37°，∴∠3＝∠ABC﹣∠1＝120°﹣37°＝83°，∵l1∥l2，∴∠3+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣83°＝97°，故答案为：97．【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．14．（4分）（2025•济南）A，B两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s（km）与骑车时间t（h）的关系如图所示，则他们相遇时距离A地3007km【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】3007【分析】设甲的函数图象为s＝k1t，乙的函数图象为s＝k2t+100，结合图形进而确定两函数解析式；利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可．【解答】解：甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为（0，100），∴设甲的函数图象为s＝k1t，乙的函数图象为s＝k2t+100，则30＝2k1，80＝k2+100，解得k1＝15，k2＝﹣20，∴甲的函数图象为s＝15t，乙的函数图象为s＝﹣20t+100，联立s=15解得t=故答案为：3007【点评】本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键．15．（4分）（2025•济南）如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F．若CG＝4，EF=43，则AB＝2+25【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】2+25【分析】由折叠性质可知AG⊥EF，进而利用同角的余角相等证明∠GAE＝∠NFE，由此即可得出△ADG≌△FNE（ASA），进而确定AG＝EF．在Rt△ADG中，根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：如图，连接AG，过点F作FN⊥AD，垂足为N，则∠FNA＝∠FNE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴四边形ABFN是矩形，∴NF＝AB＝AD，由折叠可知AG⊥EF，∴∠GAE+∠AEF＝∠NFE+∠AEF＝90°，∴∠GAE＝∠NFE，又∵∠FNE＝∠D＝90°，∴△ADG≌△FNE（ASA），∴AG＝EF，∵EF∴AG=设正方形边长为x，则AB＝AD＝CD＝x，∵CG＝4，∴DG＝CD﹣CG＝x﹣4，在Rt△ADG中，AG2＝DG2+AD2，即(x∴x2﹣8x+16+x2＝48，2x2﹣8x﹣32＝0，x2﹣4x﹣16＝0，解得：x=2+25或∴AB=2+2故答案为：2+25【点评】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明AG＝EF是解题关键．三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（7分）（2025•济南）计算：(π【考点】实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】8-2【分析】先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算．【解答】解：原式＝1+112+＝1+2+5+2-＝8+2-＝8-2【点评】本题考查实数的运算，关键是掌握实数的运算法则．17．（7分）（2025•济南）解不等式组4-x【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．【答案】﹣2＜x＜4，整数解为：﹣1，0，1，2，3．【分析】分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x＜4，综上，﹣2＜x＜4，∴所有整数解解为﹣1，0，1，2，3．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，解题的关键是掌握相关知识．18．（7分）（2025•济南）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且AF＝CE．求证：∠AEB＝∠CFD．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】多边形与平行四边形．【答案】∵四边形ABCD平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AD∥BC，AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠DAE＝∠CFD，∴∠AEB＝∠CFD．【分析】由AD∥BC可得∠DAE＝∠AEB，再证四边形AFCE是平行四边形，推出AE∥CF，∠DAE＝∠CFD，等量代换即可得出∠AEB＝∠CFD．【解答】证明：∵四边形ABCD平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AD∥BC，AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠DAE＝∠CFD，∴∠AEB＝∠CFD．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．19．（8分）（2025•济南）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上）（1）求两滑梯的高度差；（2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】（1）2.50m；（2）36.69m．【分析】（1）通过解Rt△ABC，求出AC，再通过AC﹣DF即可求出两滑梯的高度差；（2）通过解Rt△ABC，求出BC，通过解Rt△EFD，求出EF，再通过BE＝BC+CF+EF，代入数值计算即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，∵sin∠B=AC∴AC＝AB×sin∠B＝AB×sin40°≈21×0.643＝13.503m，∴AC﹣DF＝13.503﹣11＝2.503≈2.50m，答：两滑梯高度差为2.50m；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，∵cos∠B=BC∴BC＝ABcos∠B＝ABcos40°≈21×0.766＝16.086m，在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，∠DEF＝32°，∵tan∠DEF=DF∴EF=∴BE＝BC+CF+EF＝16.086+3+17.6＝36.686≈36.69m，答：BE长36.69m．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．20．（8分）（2025•济南）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长．【考点】切线的判定与性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）连接OC，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∵OP∥AC，∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP，∴∠COP＝∠BOP，∵OP＝OP，OC＝OB，∴△COP≌△BOP（SAS），∴∠OCP＝∠OBP＝90°，∴OC⊥PC，∴PC与⊙O相切；（2）185【分析】（1）连接OC，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得∠COP＝∠BOP，进而证明△COP≌△BOP（SAS），推出∠OCP＝∠OBP＝90°，即可证明PC与⊙O相切；（2）由△COP≌△BOP（SAS）可推出OP垂直平分BC，利用等面积法求出BD，进而求出BC，由圆周角定理得∠ACB＝90°，最后用勾股定理解Rt△ACB即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∵OP∥AC，∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP，∴∠COP＝∠BOP，∵OP＝OP，OC＝OB，∴△COP≌△BOP（SAS），∴∠OCP＝∠OBP＝90°，∴OC⊥PC，∴PC与⊙O相切；（2）解：连接BC交OP于点D，∵△COP≌△BOP，∴PC＝PB，OB＝OC，∴OP垂直平分BC，∵AO＝BO＝3，OP＝5，∠OBP＝90°，∴BP=∵S△∴BD=∴BC=2∵AB是⊙O的直径，∴AB＝2OA＝6，∠ACB＝90°，∴AC=【点评】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．21．（9分）（2025•济南）某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息：a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下：组别成绩/分人数（频数）A0≤x＜201B20≤x＜405C40≤x＜60mD60≤x＜8016E80≤x≤10020b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79请根据以上信息完成下列问题：（1）求随机抽取的学生人数；（2）统计表中的m＝8，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为144度；（3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分；（4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数．【考点】扇形统计图；中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】（1）50人；（2）8，144；（3）70；（4）576人．【分析】（1）用B组人数除以所占百分比即为所求；（2）m等于总人数减去其它各组的人数，E组人数占总人数的比例乘以360度即为对应的圆心角的度数；（3）根据中位数的定义求解；（4）利用样本估计总体即可求解．【解答】解：（1）5÷10%＝50（人），即随机抽取的学生人数为50人；（2）m＝50﹣1﹣5﹣16﹣20＝8，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：2050故答案为：8，144；（3）∵1+5+8＜25，1+5+8+16＞26，∴从小到大排列第25和26人在D组，结合D组数据可得第25和26人成绩均为70分，∴抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分，故答案为：70；（4）800×16+20即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人．【点评】本题考查频数分布表，扇形统计图，求中位数，利用样本估计总体等：22．（10分）（2025•济南）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．（1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元（2）购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元，根据题意，得50000x（2）根据题意，甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为（20﹣a）个，且a≤3（20﹣a），根据题意，得w＝2800（20﹣a）+2500a＝﹣300a+56000，解答即可．【解答】解：（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元，50000xx＝2500，经检验，x＝2500是原方程的根．此时x+300＝2800，答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．（2）甲型健身器材买了a个，a≤3（20﹣a）即a≤15，且a为正整数，w＝2800（20﹣a）+2500a＝﹣300a+56000，由k＝﹣300＜0，得w随a的增大而减小，故当a＝15时，w取得最小值，且最小值为w＝﹣300×15+56000＝51500（元），故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．【点评】本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键．23．（10分）（2025•济南）一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y=kx(x＞0)的图象交于点A（m，6），与x（1）求m，k的值．（2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．①如图1，若点D的横坐标为4，连接AD，E为线段AD上一点，且AEED=1②如图2，M为线段OC上一点，且CM＝1，四边形OMDN是平行四边形，连接AN，若∠BAN＝45°，求点D的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）将点A（m，6）代入一次函数y＝2x+4求得m＝1，结合点A（1，6）在反比例函数y=kx(x（2）①过点A作AH⊥x轴交于点H，过点E作EM⊥AH交于点M，过点D作DN⊥AH交于点N，则△MAE∽△NAD，有AMAN=MEND，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得DN＝3和ME＝1，以及②根据一次函数y＝2x+4求得点C（0，4），即可知点M（0，3），过点C作CP⊥AB交AN于点P，过点P作PK⊥y轴于点K，过点A作AG⊥y轴于点G，则△ACP为等腰直角三角形，且△GAC≌△KCP，则AG＝CK＝1，CG＝PK＝2，进一步判定点M与点K重合，由待定系数法求得直线AN的解析式y＝﹣3x+9，设点N（m，﹣3m+9），结合平行四边形的性质求得点D（m，﹣3m+12），代入反比例函数即可求得m，即可知点D．【解答】解：（1）由题意可知，点A（m，6）在一次函数y＝2x+4的图象上，则6＝2m+4，解得m＝1，∵点A（1，6）在反比例函数y=kx∴6=k1，解得k＝则m＝1，k＝6；（2）①过点A作AH⊥x轴交于点H，过点E作EM⊥AH交于点M，过点D作DN⊥AH交于点N，如图，则∠AME＝∠AND＝90°，∴ME∥ND，∴△MAE∽△NAD，∴AMAN∵点D的横坐标为4，∴点D的纵坐标为y=∵AEED∴AEAD∴AMAN∵xD＝4，xA＝1，∴DN＝3，则ME3=13，解得∴xE＝1+1＝2，∵yA∴AN=6-∴AM92=则yE那么，点E(2②一次函数y＝2x+4的图象与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），∵CM＝1，∴M（0，3），过点C作CP⊥AB交AN于点P，过点P作PK⊥y轴于点K，过点A作AG⊥y轴于点G，如图，则∠AGC＝∠CKP＝90°，∵∠GAC+∠ACG＝∠ACG+∠PCK＝90°，∴∠GAC＝∠PCK，∵∠BAN＝45°，∴△ACP为等腰直角三角形，∴AC＝CP，则△GAC≌△KCP（AAS），∵点A（1，6），C（0，4）∴AG＝CK＝1，CG＝PK＝2，∵CM＝1，∴点M与点K重合，OM＝3，∴点P（2，3），设直线AN的解析式为y＝kx+b（k≠0），则3=2k+b∴y＝﹣3x+9，设点N（m，﹣3m+9），∵四边形OMDN是平行四边形，∴xD＝0+m﹣0＝m，yd＝3﹣3m+9＝﹣3m+12，则D（m，﹣3m+12），∵D为反比例函数图象上的一点，∴-3m+12=6m∵D的横坐标大于1，∴m=2+∴-3故点D(2+【点评】本题主要考查函数和三角形的结合，涉及一次函数与坐标轴的交点、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和解一元二次方程，题目综合性较强，难度偏高，解题的关键是熟悉函数性质和平行四边形的性质．24．（12分）（2025•济南）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（3，1），B（0，﹣2）两点，顶点为G．（1）求二次函数的表达式和顶点G的坐标．（2）如图1，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度得到一个新函数的图象，当0≤x≤3时，新函数的最大值是8，求n的值．（3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿直线AB平移，点A，G的对应点分别为A′，G′，连接AG′，A′G，线段AG′与A′G交于点M．若tan∠BMG=1【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣2，顶点G的坐标为（1，﹣3）；（2）n=-1+11或（3）G'(1+10，【分析】（1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标；（2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1﹣n）2﹣3找y＝（x﹣1+n）2﹣3，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系分类讨论即可；（3）分成两种情况进行讨论，抛物线沿射线AB方向或射线BA方向平移．沿射线BA方向平移，求出直线AB的解析式为y＝x﹣2，由直线性质可知图象沿上下方向与左右方向平移相同的单位，设向上、向右平移了m个单位，可得A'（3+m，1+m），G'（1+m，﹣3+m），由平移性质可证四边形A'AGG'是平行四边形，推出交点M坐标为M(m+42，m-22)，可证明△ABG为直角三角形且tan∠BAG=13，根据tan∠BMG=13，可得A、B、G、M四点共圆，是在以AG为直径的圆上，可求AG中点P（2【解答】解：（1）将A（3，1），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，9+3b解得b=-2∴y＝x2﹣2x﹣2，∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，∴当x＝1时，y取最小值，最小值为﹣3，∴顶点G的坐标为（1，﹣3）．（2）a．当抛物线向右平移时，根据平移规律可得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1﹣n）2﹣3，对称轴为直线x＝n+1，∵n＞0，∴n+1＞1，分情况讨论：①当1＜n+1≤直线x＝3与抛物线交点M纵坐标最大，将x＝3，y＝8代入解析式得8＝（3﹣1﹣n）2﹣3，解得n=2±11，与②当n+1＞3直线x＝0与抛物线交点N纵坐标最大，将x＝0，y＝8代入解析式得8＝（0﹣1﹣n）2﹣3，解得n1=-1-11n2b．当抛物线向左平移时，根据平移规律可得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1+n）2﹣3，对称轴为直线x＝1﹣n，∵n＞0，∴1﹣n＜1，∴当x＝3时，y取最大值8，代入解析式得：8＝（3﹣1+n）2﹣3，解得：n1=-2+11综上可知，n=-1+11或（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（3，1），B（0，﹣2）代入得，3k解得k=1∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，图象沿直线AB平移时，上下与左右平移的距离相等，设向上，向右平移m个单位，∴A′（3+m，1+m），G′（1+m，﹣3+m），由平移得AA′＝GG′，AA′∥GG′，∴四边形A′AGG′是平行四边形，∵线段AG′与A′G交于点M，∴M(a．如图，抛物线沿射线BA平移，∵A（3，1），B（0，﹣2），G（1，﹣3），∴由勾股定理可得AB=32，BG=∴AB2+BG2＝AG2，∴∠ABG＝90°，且tan∠∵tan∠∴∠BMG＝∠BAG，∴A、B、G、M四点共圆，是在以AG为直径的圆上，∵AG中点P（2，﹣1），则PM=∴(m即m2解得：m=10或∴G'(1+b．如图，抛物线沿射线AB平移，作A关于B点对称点A''（﹣3，﹣5），则可同理证明∠A''BG＝90°，且tan∠∵tan∠∴∠BMG＝∠BA''G，∴A''、B、G、M四点共圆，在以A''G为直径的圆上，∵A''G中点P'（﹣1，﹣4），则P'∴(m即(m解得：m=-6-10或∴G'(-5-综上所述：G'(1+10，【点评】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求一次函数解析式，平行四边形的判定和性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，正确作出辅助线．25．（12分）（2025•济南）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点O为AC的中点．在Rt△DBE中，∠DBE＝90°，DB＝3，BE＝4，连接EO并延长到点F，使OF＝EO，连接AF．初步感知：（1）如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，请完成填空：∠DAF＝90°．ADAF=34深入探究：（2）如图2，若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（0°＜α＜90°），连接AD，CE，AE，CF．①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．②当四边形AECF的面积最小时，求线段AD的长．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）90；（2）①（1）中的结论仍然成立；②365【分析】（1）证明△AOF≌△COE，可得∠OAF＝∠C，AF＝CE，从而得到AF∥BC，进而得到∠DAF＝90°；根据题意可得AD＝3，CE＝4，即可得到ADAF（2）①证明四边形AECF为平行四边形，可得AF＝CE，AF∥CE，从而得到∠OAF＝∠C，根据题意可得BDBE=34=ABBC，可证明△ABD∽△CBE，可得∠BAD②根据平行四边形的性质可得当S△AEC最小时，四边形AECF的面积最小，即当E到AC的距离最小时，S△AEC最小，四边形AECF的面积最小，过点E作EM⊥AC于点M，连接BM，则当EM最小时，四边形AECF的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，EM取得最小值，最小值为BM﹣4，此时BM⊥AC时，BM最小，再由S△ABC=12AB×BC=12【解答】解：（1）∵点O为AC的中点，∴OA＝OC，∵OF＝EO，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（SAS），∴∠OAF＝∠C，AF＝CE，∴AF∥BC，∴∠ABC+∠DAF＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠DAF＝90°；∵AB＝6，BC＝8，DB＝3，BE＝4，∴AD＝3，CE＝4，∴AF＝4，∴ADAF故答案为：90；（2）①中的结论仍然成立，理由如下：∵点O为AC的中点，∴OA＝OC，∵OF＝EO，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF＝CE，∴AF∥CE，∴∠OAF＝∠C，∵AB＝6，BC＝8，DB＝3，BE＝4，∵BDBE∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE，ADCE∴∠DAF＝∠BAD+∠BAC+∠CAF＝∠BCE+∠BAC+∠ACE＝∠BAC+∠ACB＝90°，ADAF②在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=由①得四边形AECF为平行四边形，∴四边形AECF的面积等于2S△AEC，∴当S△AEC最小时，四边形AECF的面积最小，即当E到AC的距离最小时，S△AEC最小，四边形AECF的面积最小，如图，过点E作EM⊥AC于点M，连接BM，则当EM最小时，四边形AECF的面积最小，∵BE+EM≥BM，BE＝4，∴EM≥BM﹣4，即当点B，E，M三点共线时，EM取得最小值，最小值为BM﹣4，此时BM⊥AC时，BM最小，∵S△∴12∴BM=∴EM=∴CM=∴CE=由①得：ADCE【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性，勾股定理，平行四边形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．

考点卡片1．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．2．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．3．实数（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：实数：有理数正有理数0负有理数无理数正无理数4．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．5．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．6．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．7．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．8．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．9．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．10．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．11．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．12．一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．13．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．14．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．15．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．16．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a①抛物线是关于对称轴x=-b2a②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x17．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．18．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．19．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．20．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．21．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE22．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．23．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．24．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．25．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．26．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．27．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．28．作图—复杂作图复杂作图是在五种