2025年上海市中考数学试卷

第38页（共38页）2025年上海市中考数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）（2025•上海）下列运算中，正确的是（）A．m3+m3＝2m3 B．m3+m3＝m6 C．m3•m3＝m9 D．（m3）3＝m62．（4分）（2025•上海）下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（）A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y23．（4分）（2025•上海）下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C．y=3x D．4．（4分）（2025•上海）如图是某校体育组60人的某科成绩，下列说法中正确的是（）A．中位数是21 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是855．（4分）（2025•上海）在正方形ABCD中，|AB→+BC→|：A．22 B．12 C．2 D6．（4分）（2025•上海）在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（）A．2 B．5 C．8 D．10二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）（2025•上海）分解因式：a2b+ab2＝．8．（4分）（2025•上海）不等式组x2-1＞029．（4分）（2025•上海）方程x-6=2的解为10．（4分）（2025•上海）一元二次方程2x2+x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．11．（4分）（2025•上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为．12．（4分）（2025•上海）已知一个反比例函数，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是．（只需写出一个）13．（4分）（2025•上海）小明手中有1、2、3、4四张牌，小军手中有2、4、6、8四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为．14．（4分）（2025•上海）如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小数）15．（4分）（2025•上海）某高铁站出站后有出租车、地铁、汽车、公交等出行方式，高铁站为调查各个出行方式的人流，先对2000人展开调查，结果如图所示，那么某日高铁站出站客流约为1.8万人，其中有约人选择出租车．16．（4分）（2025•上海）已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10﹣12秒，那么这个工具1秒可以擦除次（用科学记数法表示）．17．（4分）（2025•上海）已知矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，联结EF、AF、BE，若四边形ABEF是菱形，那么ABAD的值为18．（4分）（2025•上海）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为度．三、解答题（本大题共7题，共78分）19．（10分）（2025•上海）计算：45+1-20120．（10分）（2025•上海）解方程：x-21．（10分）（2025•上海）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：t=20（1）求y与x的函数关系式，并写出定义域；（2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度．22．（10分）（2025•上海）某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究．（1）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E是AB中点，D是梯形的顶点，将△ADE绕E旋转180°得到△BFE，若AD＝a，且此时DF＝DC，求BC的长（用含a的代数式尝试表示）；（2）如图2，梯形MNPQ，MN∥PQ，MQ＝NP，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：①所得的部分不重叠，不间隙地拼；②在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；③在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点．（模仿1中的表述：点E是AB中点，D是梯形的顶点）23．（12分）（2025•上海）如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE＝DF．（1）求证：AB∥CD；（2）若AB＝BD，求证：AB2＝BF•OB．24．（12分）（2025•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点P，抛物线于y轴交于点C．（1）求b和c的值．（2）另一条抛物线y＝ax2+mx+n（a≠1）也经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点Q，与y轴交于点D．①求CDPQ②当四边形CDPQ是直角梯形，求其最小内角的正弦值．25．（14分）（2025•上海）如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．（1）若E是BC中点；①如图1，若AE＝EF，求证：∠BAE＝∠EFC；②如图2，若CF＝DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；（2）如图3，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的长．

2025年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案ABDDCB一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）（2025•上海）下列运算中，正确的是（）A．m3+m3＝2m3 B．m3+m3＝m6 C．m3•m3＝m9 D．（m3）3＝m6【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【专题】整式；运算能力．【答案】A【分析】A、B选项均根据合并同类项法则计算，然后判断即可；C．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；D．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．【解答】解：A．∵m3+m3＝2m3，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；B．∵m3+m3＝2m3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；C．∵m3•m3＝m6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；D．∵（m3）3＝m9，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则和合并同类项法则．2．（4分）（2025•上海）下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（）A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y2【考点】列代数式．【专题】整式；数感．【答案】B【分析】先列出前半部分“x与y的差”，即x﹣y，再列后半部分“的平方”，即可得出答案．【解答】解：根据题目可列出（x﹣y）2，故选B．【点评】本题考查的是根据题意列出代数式．3．（4分）（2025•上海）下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C．y=3x D．【考点】正比例函数的定义．【专题】一次函数及其应用；模型思想．【答案】D【分析】根据形如y＝kx（k≠0）的是正比例函数，逐项分析判断，即可求解．【解答】解：A．y＝3x+1是一次函数，不是正比例函数，故不符合题意；B．y＝3x2是二次函数，故不符合题意；C．y=3D．y=x故选：D．【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握定义是关键．4．（4分）（2025•上海）如图是某校体育组60人的某科成绩，下列说法中正确的是（）A．中位数是21 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85【考点】条形统计图；中位数；众数．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】D【分析】分别根据中位数和众数的定义解答即可．【解答】解：由统计图可知，把该校体育组60人的某科成绩中出现最多的是85分，故众数是85．故选：D．【点评】本题考查条形统计图、众数、中位数，能够从统计图中获取必要信息是解答本题的关键．5．（4分）（2025•上海）在正方形ABCD中，|AB→+BC→|：A．22 B．12 C．2 D【考点】*平面向量．【专题】矩形菱形正方形；运算能力．【答案】C【分析】利用三角形法则，等腰直角三角形的性质求解．【解答】解：如图，连接AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠D＝90°，∴AC=2CD∵AB→∴|AB→+BC→|：|故选：C．【点评】本题考查平面向量，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形法则．6．（4分）（2025•上海）在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（）A．2 B．5 C．8 D．10【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．【专题】与圆有关的位置关系．【答案】B【分析】根据题意，等腰△ABC的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD＝3；当⊙D与⊙O相交时，圆心距需满足条件|5﹣r|＜OD＜5+r，代入数值求解r的范围，进而确定选项．【解答】解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E，∵AB＝AC，D为BC中点，∴BD＝DC＝4，OD⊥BC，锐角三角形ABC中，AB＝AC，∴外接圆心O在AD上，连接OB，由勾股定理得：OD=设以D为圆心的圆的半径为r，⊙D，⊙O相交应满足：|5﹣r|＜OD＜5+r，即|5﹣r|＜3＜5+r，解得：2＜r＜8，在此范围的半径只有选项B，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）（2025•上海）分解因式：a2b+ab2＝ab（a+b）．【考点】因式分解﹣提公因式法．【专题】因式分解；运算能力．【答案】ab（a+b）．【分析】先确定公因式，再提取即可．【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b），故答案为：ab（a+b）．【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．8．（4分）（2025•上海）不等式组x2-1＞02x【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】x＞2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：由x2-1＞0得：x＞由2x+3≥x得：x≥﹣3，则不等式组的解集为x＞2，故答案为：x＞2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．（4分）（2025•上海）方程x-6=2的解为x＝10【考点】无理方程．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】x＝10．【分析】将原方程两边同时平方得x﹣6＝4，解得x的值后并检验即可．【解答】解：已知方程x-6则x﹣6＝4，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，故答案为：x＝10．【点评】本题考查无理方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．10．（4分）（2025•上海）一元二次方程2x2+x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是m＞18【考点】根的判别式．【专题】判别式法；运算能力．【答案】m＞1【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＜0，可得出1﹣8m＜0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程2x2+x+m＝0没有实数根，∴Δ＝12﹣4×2×m＝1﹣8m＜0，解得：m＞1∴m的取值范围是m＞1故答案为：m＞1【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．11．（4分）（2025•上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为y＝3x2﹣2．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】y＝3x2﹣2．【分析】根据二次函数的平移法则进行平移即可．【解答】解：∵抛物线y＝3x2向下平移两个单位，∴y＝3x2﹣2，故答案为：y＝3x2﹣2．【点评】本题考查了二次函数的平移，掌握二次函数平移法则是解题的关键．12．（4分）（2025•上海）已知一个反比例函数，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是y=1x（答案不唯一）【考点】反比例函数的性质．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【答案】y=1【分析】根据反比例函数的性质解答．【解答】解：根据反比例函数的性质，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，∴k＞0，∴这个解析式可以是y=1故答案为：y=1【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．13．（4分）（2025•上海）小明手中有1、2、3、4四张牌，小军手中有2、4、6、8四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为12【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】12【分析】得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：由题意知，共有4种等可能结果，其中抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的有2种结果，所以抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为24故答案为：12【点评】本题考查了概率公式：根据概率的定义计算出这个事件的概率．14．（4分）（2025•上海）如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为1.2．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小数）【考点】解直角三角形的应用．【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】1.2m．【分析】过点C作CE⊥AB，利用矩形的性质和判定先得到BD与CE、CD与EB间关系，再利用线段的和差关系求出AE的长，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E．由题意易知四边形CDBE是矩形，∴CD＝BE＝1.8m，BD＝CE．∴AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.8＝0.9m．在Rt△ACE中，∵tanA=CE∴CE＝tanA•AE≈1.33×0.9＝1.197≈1.2（m）．∴BD＝1.2m．故答案为：1.2m．【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质和判定是解决本题的关键．15．（4分）（2025•上海）某高铁站出站后有出租车、地铁、汽车、公交等出行方式，高铁站为调查各个出行方式的人流，先对2000人展开调查，结果如图所示，那么某日高铁站出站客流约为1.8万人，其中有约0.18万人选择出租车．【考点】扇形统计图．【专题】统计的应用；运算能力．【答案】0.18万．【分析】用总人数乘出站选择出租车的人数所占的百分比即可．【解答】解：某日高铁站出站客流约为1.8万人，其中选择出租车约有1.8×（1﹣15%﹣15%﹣60%）＝0.18（万人）．故答案为：0.18万．【点评】本题考查了扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．（4分）（2025•上海）已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10﹣12秒，那么这个工具1秒可以擦除2.5×109次（用科学记数法表示）．【考点】科学记数法—表示较小的数；有理数的乘法．【专题】计算题；运算能力．【答案】2.5×109．【分析】用1秒除以400皮秒，答案写成科学记数法即可．【解答】解：这个工具1秒可以擦除1÷（400×1×10﹣12）＝2.5×109（次）．故答案为：2.5×109．【点评】本题考查了科学记数法—表示较小的数，熟练掌握运算法则是关键．17．（4分）（2025•上海）已知矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，联结EF、AF、BE，若四边形ABEF是菱形，那么ABAD的值为233【考点】矩形的性质；轴对称的性质；菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形．【答案】23【分析】由轴对称的性质可得DF＝DE，设DF＝DE＝m，则EF＝DE+DF＝2m，由菱形的性质得到AB＝AF＝EF＝2m，证明∠ADF＝90°，利用勾股定理可得AD=【解答】解；∵E关于直线AD的对称点为F，∴DF＝DE，设DF＝DE＝m，则EF＝DE+DF＝2m，∵四边形AFEB是菱形，∴AB＝AF＝EF＝2m，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°，∴AD=∴AB：故答案为：23【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，掌握以上性质是解题的关键．18．（4分）（2025•上海）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为108或36度．【考点】直线与圆的位置关系；正多边形和圆；多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；与圆有关的位置关系；正多边形与圆；运算能力；推理能力．【答案】108或36．【分析】分两种情况，由正多边形的性质，即可求解．【解答】解：如图：∵∠MPN是正五边形的一个内角，∴∠MPN=(5-2)×180°5如图：∵∠OAB和∠OBA是正五边形的两个外角，∴∠OAB＝∠OBA=360°5∴∠AOB＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴这个角的度数为108°或36°．故答案为：108或36．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，正多边形和圆，多边形的内角和外角，关键是要分两种情况讨论．三、解答题（本大题共7题，共78分）19．（10分）（2025•上海）计算：45+1-201【考点】分数指数幂；负整数指数幂；实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】5．【分析】利用分母有理化，二次根式的性质，绝对值的性质，负整数指数幂计算后再算加减即可．【解答】解：原式=4(=5-1﹣2＝5．【点评】本题考查分数指数幂，实数的运算，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20．（10分）（2025•上海）解方程：x-【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x＝5．【分析】先把整式方程化为分式方程求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可．【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）（x﹣1），得：（x﹣3）（x﹣1）﹣2＝2（x﹣2），解得：x＝1或5，检验：当x＝1时，（x﹣2）（x﹣1）＝0，当x＝5时，（x﹣2）（x﹣1）≠0，∴原方程的解为x＝5．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答此题的关键．21．（10分）（2025•上海）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：t=20（1）求y与x的函数关系式，并写出定义域；（2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）y＝40x+80（0≤x≤3）；（2）32摄氏度．【分析】（1）求出每分钟加水量，从而写出y与x的函数关系式，当y＝200时，求出对应x的值，从而写出定义域即可；（2）将y＝200对应的x的值代入t与x的关系式，求出对应t的值即可．【解答】解：（1）每分钟加水量为（160﹣80）÷2＝40（升），则y＝40x+80，当40x+80＝200时，解得x＝3，∴y与x的函数关系式及定义域为y＝40x+80（0≤x≤3）．（2）当x＝3时，t=20×3+1003+2∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度．【点评】本题考查一次函数的应用，求出y与x的函数关系式是解题的关键．22．（10分）（2025•上海）某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究．（1）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E是AB中点，D是梯形的顶点，将△ADE绕E旋转180°得到△BFE，若AD＝a，且此时DF＝DC，求BC的长（用含a的代数式尝试表示）；（2）如图2，梯形MNPQ，MN∥PQ，MQ＝NP，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：①所得的部分不重叠，不间隙地拼；②在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；③在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点．（模仿1中的表述：点E是AB中点，D是梯形的顶点）【考点】作图﹣旋转变换；列代数式；规律型：图形的变化类；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】作图题；梯形；几何直观．【答案】（1）3a；（2）见解析．【分析】（1）如图1中，过点D作DH⊥BC于点H．证明BG＝AD＝a，BH＝AD＝a，再证明FH＝HC＝2a可得结论；（2）取MN，MQ，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PQ的延长线于点L，连接JT，延长JT交QP的延长线于点G即可，【解答】解：（1）如图1中，过点D作DH⊥BC于点H．∵AB⊥BC，AD∥BC，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵∠DHB＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴AD＝BH＝a，∵E是AB的中点，∴AE＝EB，∵∠A＝∠EBF＝90°，∠AED＝∠FEB，∴△AED≌△BEF（ASA），∴AD＝FB＝a，∵DF＝DC，DH⊥CF，∴FH＝HC＝2a，∴BC＝BH+CH＝3a；（2）图形如图2所示．方法：取MN，MQ，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PQ的延长线于点L，连接JT，延长JT交QP的延长线于点G，【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．（12分）（2025•上海）如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE＝DF．（1）求证：AB∥CD；（2）若AB＝BD，求证：AB2＝BF•OB．【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）连接OC，OD，证明△OCE≌△ODF（SAS），得出OE＝OF，得到CD∥AB；（2）证明△BAF∽△BOA，得到ABOB=BFAB，得出AB2＝【解答】证明：（1）连接OC，OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵CE＝DF，∴△OCE≌△ODF（SAS），∴OE＝OF，∴OEOA∴EF∥AB，∴CD∥AB；（2）∵△OCE≌△ODF，∴∠COE＝∠DOF，∵AB＝BD，∴∠AOB＝∠DOF，∴∠AOB＝∠DOF＝∠COE，连接AF，∵OA＝OD，∴△AOF≌△DOF（SAS），∴∠OAF＝∠ODF＝∠OCE，∵∠OCE＝∠OAF，∠OEC＝∠AEF，∴△OEC∽△FEA，∴∠COE＝∠AFE，∴∠AOB＝∠FAB＝∠AFE，∴△BAF∽△BOA，∴ABOB∴AB2＝BF•OB．【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．24．（12分）（2025•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点P，抛物线于y轴交于点C．（1）求b和c的值．（2）另一条抛物线y＝ax2+mx+n（a≠1）也经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点Q，与y轴交于点D．①求CDPQ②当四边形CDPQ是直角梯形，求其最小内角的正弦值．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】（1）b=-4（2）①3；②35或17【分析】（1）将A和B代入解析式，求出b和c的值；（2）①将A和B代入解析式，求出抛物线解析式为抛物线解析式为y＝ax2﹣4ax+3a+1＝a（x﹣2）2+1﹣a，得出D和Q的坐标，得到CD和PQ的长度，得出比值；②分类讨论即可．【解答】解：（1）将A（1，1），B（3，1）代入y＝x2+bx+c中，∴1=1+b∴b=-4（2）①将A（1，1），B（3，1）代入y＝ax2+mx+n（a≠1）中，∴1=a∴m=-4∴抛物线解析式为y＝ax2﹣4ax+3a+1＝a（x﹣2）2+1﹣a，∵抛物线与y轴交于点D，∴D（0，3a+1），顶点Q（2，1﹣a），由（1）可知：y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴C（0，4），P（2，0），∴CD＝|3a﹣3|，PQ＝|a﹣1|，∴CDPQ②a．当CD⊥PD时，如图所示，D（0，0），∴3a+1＝0，∴a=-1∴Q（2，43∴∠QCD为最小内角，过点Q作QM⊥CD于点M，∴M（0，43∴QM＝2，CM=83，CQ∴sin∠QCD=3b．当CD⊥CQ时，如图所示，Q（2，4），∴1﹣a＝4，∴a＝﹣3，∴D（0，﹣8），∴∠CDP为最小内角，过点P作PN⊥CD于点N，∴N（0，0），∴PN＝2，DN＝8，PD=217∴sin∠CDP=17综上所述：最小的角的正弦值为35或17【点评】本题考查了二次函数的性质，三角函数，分类讨论等，掌握二次函数的综合知识是解题的关键．25．（14分）（2025•上海）如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．（1）若E是BC中点；①如图1，若AE＝EF，求证：∠BAE＝∠EFC；②如图2，若CF＝DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；（2）如图3，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的长．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题．【答案】（1）①见解析；②215；（2）AF【分析】（1）①延长FE，AB交于H，可证明△BEH≌△CEF（AAS），得到EH＝EF，∠H＝∠CFE，则可证明AE＝EH，得到∠H＝∠BAE，则∠BAE＝∠CFE；②如图所示，延长BF，AD交于M，由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，证明△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，得到BEAM=GEAG=BGGM，BCDM=BFMF=CFDF=1，则BF＝MF，BC＝DM；设CE＝BE＝m，则BC＝DM＝2m，AM＝AD+DM＝4m，进而可得GEAG=BGMG=BEAM=14，即可得到BGGF=（2）延长AD，EF交于M，由平行四边形的性质可得AD∥BC，CD＝AB＝3，证明△AEF∽△MEA，△AEF∽△ECF，再证明△ECF∽△MDF，得到ECDM=EFFM=CFDF，求出DF＝CD﹣CF＝2，设CE＝s，FE＝t，则由相似三角形的性质可得AE＝st，AF＝t2DM＝2s，FM＝2t，进而可得AM＝AD+DM＝5+2s；再由△AEF【解答】（1）①证明：如图所示，延长FE，AB交于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EBH＝∠ECF，∠EHB＝∠EFC，∵E是边BC中点，∴BE＝CE，∴△BEH≌△CEF（AAS），∴EH＝EF，∠H＝∠CFE，∵AE＝EF，∴AE＝EH，∴∠H＝∠BAE，∴∠BAE＝∠CFE；方法2：过点E作EI∥AB交AF于点I，∵EI∥BA，AB∥CD，∴BAE＝∠AEI，∠EFC＝∠IEF，∵E为BC的中点，∴I为AF的中点，∵AE＝AF，∴∠AEI＝∠IEF，∴∠BAE＝∠EFC；②解：如图所示，延长BF，AD交于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，∴BEAM=GE∴BF＝MF，BC＝DM，∵E是边BC中点，∴BC＝2CE＝2BE，设CE＝BE＝m，则BC＝DM＝2m，∴AM＝AD+DM＝4m，∴GEAG=BGMG∴BGGF∴S△BGES设S△ABG＝4n，则S△BGE＝n，S△AFG＝6n，∴S△∴S△（2）解：如图所示，延长AD，EF交于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB＝3，∴∠AEB＝∠EAD，∵∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，∴∠EFA＝∠EAD，又∵∠AEF＝∠MEA，∴△AEF∽△MEA，∵∠AEB+∠AEF+∠FEC＝∠EFC+∠FCE+∠FEC＝180°，∠AEB＝∠EFC，∴∠AEF＝∠FCE，∴△AEF∽△ECF，∵AD∥BC，∴△ECF∽△MDF，∴ECDM∵CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝2，设CE＝s，FE＝t，∵△AEF∽△ECF，∴CFEF=CE∴AE＝st，AF＝t2，∵ECDM=EF∴DM＝2s，FM＝2t，∴AM＝AD+DM＝5+2s，∵△AEF∽△MEA，∴EFAE=AE∴tst解得s=3t∴AF=【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．

考点卡片1．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．2．科学记数法—表示较小的数用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律x的取值范围表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整数的位数﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．分数指数幂分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点．5．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．6．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．7．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．8．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．9．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．10．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．11．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．12．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．13．无理方程（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．14．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．15．解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．16．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．17．正比例函数的定义（1）正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．（2）正比例函数图象的性质正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．18．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．19．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx（k（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．20．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．21．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．22．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．23．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．24．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．25．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．26．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、27．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．28．*平面向量平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．29．四边形综合题涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．30．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．31．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．32．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．33．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．34．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有