2025年北京市朝阳区中考数学二模试卷

第55页（共55页）2025年北京市朝阳区中考数学二模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个。1．（2分）（2025•舟山三模）2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（）A．14×1011 B．1.4×1012 C．1.4×1013 D．0.14×10132．（2分）（2025•朝阳区二模）如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠AOE＝74°，则∠AOD的大小为（）A．16° B．32° C．37° D．74°3．（2分）（2025•朝阳区二模）下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．圆4．（2分）（2025•朝阳区二模）不透明的袋子中装有2个红球、1个绿球，这3个球除颜色外无其他差别，随机一次摸出两个球，颜色相同的概率是（）A．23 B．12 C．13 5．（2分）（2025•朝阳区二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．﹣a＜a+b＜﹣b＜a﹣b B．﹣a＜﹣b＜a﹣b＜a+b C．a﹣b＜﹣a＜﹣b＜a+b D．﹣b＜﹣a＜a+b＜a﹣b6．（2分）（2025•朝阳区二模）如图，A，B，C，D是一个正多边形相邻的四个顶点，若∠CAD＝15°，则这个多边形的边数为（）A．8 B．9 C．10 D．127．（2分）（2025•朝阳区二模）如图中可以看出小明用尺规作∠AOB的平分线OC的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（）A．OM＝ON B．CM＝CN C．OM＝CM D．若连接CM，CN，则∠OCM＝∠OCN8．（2分）（2025•朝阳区二模）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=①AE平分∠BAF；②AE2+EF2＝AF2；③AB+CF＝AF；④AB+BE＞AF．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）（2025•易门县二模）若xx-1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是10．（2分）（2023•本溪）分解因式：m3﹣4m2+4m＝．11．（2分）（2025•朝阳区二模）不等式2x-53≤x12．（2分）（2025•朝阳区二模）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+（a+1）x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为．13．（2分）（2025•舟山三模）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在⊙O上，OD平分AB．若∠B＝70°，则∠ADO＝°．14．（2分）（2025•朝阳区二模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边上的一点，以AE为边作矩形AEFG，使GF经过点D，则矩形AEFG的面积为．15．（2分）（2025•易门县二模）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据，这个几何体的表面积为cm2．16．（2分）（2025•朝阳区二模）某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排名男学生，此次团体操表演最少需要名学生．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）（2025•韶关模拟）计算：|318．（5分）（2025•朝阳区二模）解分式方程：2x19．（5分）（2025•朝阳区二模）已知a﹣b﹣2＝0，求代数式2a20．（6分）（2025•朝阳区二模）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，AE＝EC，点F在BD上，AF∥BC．（1）求证：四边形ABCF是平行四边形；（2）若CB＝CD，∠ABD＝90°，tan∠BAC=13，AB＝3，求21．（5分）（2025•朝阳区二模）根据国家相关规定，新建小区的绿地率不得低于30%，旧小区改造的绿地率不得低于25%，一般地，绿地率可以看作是绿地面积（包括覆土绿地和实土绿地）与小区总面积的比，其中实土绿地是指绿化层下面为真实的土地，其面积应占总绿地面积的50%以上，覆土绿地是在人工铺设的土层上进行绿化，当覆土高度小于1.5m时，不算绿地面积；当覆土高度在1.5m至3m时，覆土面积的50%计入绿地面积；只有当覆土高度超过3m时，覆土面积才全部计入绿地面积．某旧小区总面积为24000m2，绿地率只有15%，且其中覆土绿地的覆土高度都约为2m．现有一种改造方案，计划把原有覆土绿地的覆土高度都增加到3m以上，并增加1400m2实土绿地，从而使实土绿地的面积达到总绿地面积的60%．请判断按照该方案改造后，该小区的绿地率能否合格，并说明理由．22．（5分）（2025•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与函数y=3x的图象的一个交点为A（a（1）求一次函数的表达式；（2）当x＞4时，对于x的每一个值，函数y＝nx（n≠0）的值大于函数y=3x的值，且小于一次函数y＝kx﹣2k23．（5分）（2025•朝阳区二模）某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：5≤x＜15，15≤x＜25，25≤x＜35，35≤x＜45，45≤x＜55，55≤x≤65）；b．该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下：甲121215161719202121212323242427293233424756565656565859596062乙182324252526272829313435363838383939393939393939434344454648c．甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下：平均数众数中位数甲35.256m乙35.2n38根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金；（3）该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元．①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资乙这30日的工资（填“＞”“＜”或“＝”）；②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案，乙应选择方案．24．（6分）（2025•朝阳区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BD平分∠ABC，连接OD．（1）求证：BC∥OD；（2）过点D作⊙O的切线，分别交BA，BC的延长线于点E，F，连接OF，交BD于点G．若BF＝8，sinE=35，求25．（6分）（2025•朝阳区二模）科创小组分别用A，B两台装置提取实验物质，当A，B两台装置各自工作tmin时，记录员分别记录了A装置提取的实验物质的体积V1（单位：mL）和B装置提取的实验物质的体积V2（单位：mL），部分数据如下：t/min05102030405060…V1/mL01.02.03.04.05.06.0…V2/mL02.12.94.04.85.56.16.6…（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画V1与t，V2与t之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上信息，解决问题：①若A装置比B装置早启动了15min，则A装置启动min时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为mL（结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，在同一时刻，B装置最多可以比A装置多提取mL实验物质（结果保留小数点后一位）．26．（6分）（2025•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）上．（1）当a＝1时，求抛物线与x轴交点的坐标；（2）若对于任意的0＜x1＜1，a+2≤x2≤3a+4，总有y1•y2＜0，求a的取值范围．27．（7分）（2025•朝阳区二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，D为射线BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，线段BE与直线AC相交于点F．（1）如图，当DC＝BC时，用等式表示线段BD与CF之间的数量关系，并证明．（2）若对于任意的点D，上一问的结论总成立，写出满足条件的α的值，画出相应的图形，并证明．28．（7分）（2025•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙Q和⊙Q外一点P，给出如下定义：若⊙Q的一条弦MN绕点P旋转α得到的线段仍然是⊙Q的一条弦，则称点P是⊙Q的“α﹣旋称点”，此时的MN是⊙Q关于点P的一条“α﹣旋称弦”．（1）如图1，⊙O的半径为2．①在点P1(-1，2)，P2(1，3)，P3(3，3)②弦AB的长为2，AB∥y轴．若AB是⊙O关于点C的“90°﹣旋称弦”，直接写出点C的坐标；（2）如图2，A(-2，0)，B(2，0)，C(2，23).若点A，B，C都是⊙Q的“60°﹣旋称点”，且△ABC的边上存在⊙Q关于点

2025年北京市朝阳区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案B．BACADCD一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个。1．（2分）（2025•舟山三模）2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（）A．14×1011 B．1.4×1012 C．1.4×1013 D．0.14×1013【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】B．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1400000000000＝1.4×1012．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（2分）（2025•朝阳区二模）如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠AOE＝74°，则∠AOD的大小为（）A．16° B．32° C．37° D．74°【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】根据角平分线的定义，邻补角的定义进行计算即可．【解答】解：∵OE平分∠AOC，∠AOE＝74°，∴∠AOC＝2∠AOE＝2∠COE＝148°，∴∠AOD＝180°﹣148°＝32°．故选：B．【点评】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握对顶角、邻补角以及角平分线的定义是正确解答的关键．3．（2分）（2025•朝阳区二模）下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．圆【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】A【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；B．矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．（2分）（2025•朝阳区二模）不透明的袋子中装有2个红球、1个绿球，这3个球除颜色外无其他差别，随机一次摸出两个球，颜色相同的概率是（）A．23 B．12 C．13 【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】C【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：红红绿红（红，红）（红，绿）红（红，红）（红，绿）绿（绿，红）（绿，红）共有6种等可能的结果，其中颜色相同的结果有2种，∴颜色相同的概率为26故选：C．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．5．（2分）（2025•朝阳区二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．﹣a＜a+b＜﹣b＜a﹣b B．﹣a＜﹣b＜a﹣b＜a+b C．a﹣b＜﹣a＜﹣b＜a+b D．﹣b＜﹣a＜a+b＜a﹣b【考点】实数与数轴．【专题】实数；几何直观；推理能力．【答案】A【分析】通过观察数轴上a、b的位置，确定a、b的正负性以及绝对值的大小关系，再对每个选项中的式子进行分析判断．【解答】解：由数轴可知1＜a＜2，﹣2＜b＜﹣1，∴a是正数，b是负数，且|b|＞|a|．∵a＞0，∴﹣a＜0，且﹣2＜﹣a＜﹣1．∵b＜0，∴﹣b＞0，且1＜﹣b＜2．∵|b|＞|a|，∴a+b＜0，a+b的绝对值为|b|﹣|a|，又因为b在1到2之间，|a|在1到2之间且|b|＞|a|，∴﹣1＜a+b＜0，∵﹣2＜b＜﹣1，∴1＜﹣b＜2，a﹣b＝a+（﹣b），a＞0，﹣b＞0，∴a﹣b＞0，∴a﹣b＞2，∵﹣2＜﹣a＜﹣1．﹣1＜a+b＜0，1＜﹣b＜2，∴﹣a＜a+b＜﹣b＜a﹣b．故选：A．【点评】本题考查实数与数轴，认真观察数轴进行推理式解题的关键．6．（2分）（2025•朝阳区二模）如图，A，B，C，D是一个正多边形相邻的四个顶点，若∠CAD＝15°，则这个多边形的边数为（）A．8 B．9 C．10 D．12【考点】正多边形和圆．【专题】圆的有关概念及性质；正多边形与圆；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】根据圆周角定理求出正多边形的中心角的度数，再根据360°n【解答】解：设⊙O是这个正n边形的外接圆，连接OC，OD，∵∠CAD＝15°，∴∠COD＝2∠CAD＝30°，即360°n解得n＝12，经检验n＝12是原方程的解，∴这个正多边形是正十二边形，故选：D．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握圆周角定理以及正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键．7．（2分）（2025•朝阳区二模）如图中可以看出小明用尺规作∠AOB的平分线OC的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（）A．OM＝ON B．CM＝CN C．OM＝CM D．若连接CM，CN，则∠OCM＝∠OCN【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．【专题】作图题；图形的全等；推理能力．【答案】C【分析】根据题意得到OM＝ON，CM＝CN，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：由作图知OM＝ON，CM＝CN，在△CON与△COM中，OM=∴△COM≌△CON（SSS），∴∠OCM＝∠OCN，故选项A，B，C正确，∵无法推出OM＝CM，∴选项C错误，故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．8．（2分）（2025•朝阳区二模）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=①AE平分∠BAF；②AE2+EF2＝AF2；③AB+CF＝AF；④AB+BE＞AF．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④【考点】相似三角形的判定与性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】设CD＝4m，则CF=14CD＝m，DF＝3m，由正方形的性质及E是BC的中点，得AD＝AB＝BC＝CD＝4m，BE＝EC＝2m，则ABEC=BECF=2，可证明△ABE∽△ECF，得AEEF=ABEC=ABBE，∠BAE＝∠CEF，则AEAB=EFBE，推导出∠AEF＝∠B＝90°，所以△AEF∽△ABE，则∠EAF＝∠BAE，可判断①正确；由勾股定理得AE2+EF2＝AF2，可判断②正确；求得AB+CF＝5m，AF=AD2+DF2=5m，则AB+CF＝AF，可判断③正确；由BE＝EC，且【解答】解：设CD＝4m，则CF=14CD＝∴DF＝CD﹣CF＝3m，∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝AB＝BC＝CD＝4m，BE＝EC=12BC＝2∵ABEC=4m2∴ABEC∴△ABE∽△ECF，∴AEEF=ABEC=ABBE∴AEAB=EFBE，∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝90°＝∠B，∴△AEF∽△ABE，∴∠EAF＝∠BAE，∴AE平分∠BAF，故①正确；∵∠AEF＝90°，∴AE2+EF2＝AF2，故②正确；∵∠D＝90°，AB＝AD＝4m，CF＝m，DF＝3m，∴AB+CF＝4m+m＝5m，AF=AD2∴AB+CF＝AF，故③正确；∵BE＝EC，且EC＞CF，∴BE＞CF，∴AB+BE＞AB+CF，∴AB+BE＞AF，故④正确，故选：D．【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△ABE∽△ECF，推导出AEAB=EFBE，∠AEF＝∠B，进而证明△二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）（2025•易门县二模）若xx-1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥0且x≠1【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【专题】分式；二次根式；运算能力．【答案】x≥0且x≠1．【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不能为零求得x的取值范围即可．【解答】解：若xx则x≥0且x﹣1≠0，解得：x≥0且x≠1，故答案为：x≥0且x≠1．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．10．（2分）（2023•本溪）分解因式：m3﹣4m2+4m＝m（m﹣2）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【答案】见试题解答内容【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：m3﹣4m2+4m＝m（m2﹣4m+4）＝m（m﹣2）2．故答案为：m（m﹣2）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11．（2分）（2025•朝阳区二模）不等式2x-53≤x-3【考点】一元一次不等式的整数解．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】0，1．【分析】先去分母，去括号，再移项、合并同类项，得x≤1，即可求得所有的非负整数解．【解答】解：去分母，得2（2x﹣5）≤3（x﹣3），去括号，得4x﹣10≤3x﹣9，移项，合并同类项，得x≤1，∴不等式2x-53≤故答案为：0，1．【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．12．（2分）（2025•朝阳区二模）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+（a+1）x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为3．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】3．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a+1≠0且Δ＝（a+1）2﹣4（a+1）＝0，然后解关于a的不等式和一元二次方程可得到满足条件的a的值．【解答】解：根据题意得a+1≠0且Δ＝（a+1）2﹣4（a+1）＝0，解得a＝3，即a的值为3．故答案为：3．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．13．（2分）（2025•舟山三模）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在⊙O上，OD平分AB．若∠B＝70°，则∠ADO＝55°．【考点】三角形的外接圆与外心；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】55．【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质求出∠C，根据圆周角定理求出∠AOB，根据垂径定理、圆周角定理求出∠AOD，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：如图，连接OB，∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠C＝∠B＝70°，由圆周角定理得：∠AOB＝2∠C＝140°，∵OD平分AB，∴AD=∴∠AOD=12∠AOB＝∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO=12×（180°﹣70°故答案为：55．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．14．（2分）（2025•朝阳区二模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边上的一点，以AE为边作矩形AEFG，使GF经过点D，则矩形AEFG的面积为4．【考点】正方形的性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【答案】4．【分析】连接DE，根据AD∥BC得S△ADE＝1/2S正方形ABCD＝2，根据AE∥GF得S矩形AEFG＝2S△ADE＝4，由此即可得出答案．【解答】连接DE，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，∴S正方形ABCD＝4，AD∥BC，∴S△ADE=12S正方形ABCD＝∵四边形AEFG是矩形，∴AE∥GF，∴S矩形AEFG＝2S△ADE＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质是解决问题的关键．15．（2分）（2025•易门县二模）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据，这个几何体的表面积为16πcm2．【考点】由三视图判断几何体；几何体的表面积．【专题】几何图形；投影与视图；几何直观；运算能力．【答案】16π．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，故表面积＝πrl+πr2＝π×2×6+π×22＝16π（cm2）．故答案为：16π．【点评】本题考查了由三视图判断几何体和几何体的表面积，关键是根据圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．16．（2分）（2025•朝阳区二模）某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排426名男学生，此次团体操表演最少需要206名学生．【考点】因式分解的应用．【专题】整式；应用意识．【答案】426；206．【分析】设矩形方阵为m行n列，则师生总数满足mn＝15+6m+8n，即（m﹣8）（n﹣6）＝63，而63＝1×63＝3×21＝7×9，据此计算即可求解．【解答】解：设矩形方阵为m行n列，∵每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，且有15名老师，∴师生总数满足mn＝15+6m+8n，整理得（m﹣8）（n﹣6）＝63，m、n都是正整数，63＝1×63＝3×21＝7×9，∵男生总数为6m，当男生人数最多时，需要m最大，此时m﹣8＝63，n﹣6＝1，解得：m＝71，n＝7，则6m＝6×71＝426，∴此次团体操表演最多可以安排426名男学生，当m﹣8＝9，n﹣6＝7，解得：m＝17，n＝13．则6m+8n＝6×17+8×13＝206，∴此次团体操表演最少需要206名学生，故答案为：426；206．【点评】本题考查了因式分解的应用，正确进行多项式的因式分解是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）（2025•韶关模拟）计算：|3【考点】实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】0．【分析】根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质进行计算即可．【解答】解：原式=2-=2-3=2-2+23＝0．【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质．18．（5分）（2025•朝阳区二模）解分式方程：2x【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x＝3．【分析】将原方程去分母化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【解答】解：原方程去分母得：2x（x﹣1）+x+1＝2（x+1）（x﹣1），整理得：﹣x+1＝﹣2，解得：x＝3，检验：当x＝3时，（x+1）（x﹣1）≠0，故原方程的解为x＝3．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．19．（5分）（2025•朝阳区二模）已知a﹣b﹣2＝0，求代数式2a【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【答案】1a-b【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a﹣b＝2代入进行计算即可．【解答】解：2=2=2=a=1∵a﹣b﹣2＝0，∴a﹣b＝2，∴原式=1【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．20．（6分）（2025•朝阳区二模）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，AE＝EC，点F在BD上，AF∥BC．（1）求证：四边形ABCF是平行四边形；（2）若CB＝CD，∠ABD＝90°，tan∠BAC=13，AB＝3，求【考点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）5．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠FAE＝∠BCE，根据全等三角形的性质得到EF＝BE，根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCF是平行四边形；（2）根据三角函数的定义得到BE＝1，根据平行四边形的性质得到AB∥CF，BF＝2BE＝2，根据等腰三角形的性质得到BF＝DF＝2，根据勾股定理得到AD=AB【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BCE，在△AEF与△CEB中，∠FAE∴△AEF≌△CEB（ASA），∴EF＝BE，∴四边形ABCF是平行四边形；（2）解：∵∠ABD＝90°，tan∠BAC=BEAB=13∴BE＝1，∵四边形ABCF是平行四边形，∴AB∥CF，BF＝2BE＝2，∵∠ABD＝90°，∴∠CFB＝∠ABF＝90°，∴CF⊥BD，∵BC＝CD，∴BF＝DF＝2，∴BD＝4，∴AD=AB【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．21．（5分）（2025•朝阳区二模）根据国家相关规定，新建小区的绿地率不得低于30%，旧小区改造的绿地率不得低于25%，一般地，绿地率可以看作是绿地面积（包括覆土绿地和实土绿地）与小区总面积的比，其中实土绿地是指绿化层下面为真实的土地，其面积应占总绿地面积的50%以上，覆土绿地是在人工铺设的土层上进行绿化，当覆土高度小于1.5m时，不算绿地面积；当覆土高度在1.5m至3m时，覆土面积的50%计入绿地面积；只有当覆土高度超过3m时，覆土面积才全部计入绿地面积．某旧小区总面积为24000m2，绿地率只有15%，且其中覆土绿地的覆土高度都约为2m．现有一种改造方案，计划把原有覆土绿地的覆土高度都增加到3m以上，并增加1400m2实土绿地，从而使实土绿地的面积达到总绿地面积的60%．请判断按照该方案改造后，该小区的绿地率能否合格，并说明理由．【考点】二元一次方程组的应用；百分数的应用．【专题】应用题．【答案】绿地率可以合格，理由见解析．【分析】设该小区改造前覆土绿地的面积为xm2，实土绿地的面积为ym2，由此列二元一次方程组求解即可．【解答】解：设该小区改造前覆土绿地的面积为xm2，实土绿地的面积为ym2，由题意可知，50%x解得x=2500按照该方案改造后的绿地面积为2500+2350+1400＝6250（m2），根据规定，该小区的绿地面积不得低于24000×25%＝6000（m2），∵6250＞6000，∴按照该方案改造后，该小区的绿地率可以合格．【点评】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目数量关系正确列式求解是关键．22．（5分）（2025•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与函数y=3x的图象的一个交点为A（a（1）求一次函数的表达式；（2）当x＞4时，对于x的每一个值，函数y＝nx（n≠0）的值大于函数y=3x的值，且小于一次函数y＝kx﹣2k【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）一次函数为y＝x﹣2；（2）316≤n【分析】（1）依据题意，由点A（a，1）在函数y=3x的图象上，则a×1＝3，可得A（3，1），又一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象过点A（3，1），则3k﹣2k＝1（2）依据题意，联立方程组y=3xy=x-2，则x=3y=1或x=-1y=-3，从而一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与函数y=3x的图象的交点为A（3，1），B（﹣1，﹣3），又在同一坐标系中画出一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与函数y=3x的图象，又当x＝4时，y＝x﹣2＝2，y=3x=34，则令y=34，故4n=34，则n=316；令y＝2【解答】解：（1）∵点A（a，1）在函数y=3x∴a×1＝3．∴a＝3．∴A（3，1）．又∵一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象过点A（3，1），∴3k﹣2k＝1．∴k＝1．∴一次函数为y＝x﹣2．（2）由题意，联立方程组y=∴x=3y=1∴一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与函数y=3x的图象的交点为A（3，1），B（﹣1在同一坐标系中画出一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与函数y=3x∵当x＝4时，y＝x﹣2＝2，y=3∴令y=34，故4n=34，则n=316；令y＝2，故4n∵当x＞4时，对于x的每一个值，函数y＝nx（n≠0）的值大于函数y=3x的值，且小于一次函数y＝kx﹣∴316≤n【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．23．（5分）（2025•朝阳区二模）某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：5≤x＜15，15≤x＜25，25≤x＜35，35≤x＜45，45≤x＜55，55≤x≤65）；b．该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下：甲121215161719202121212323242427293233424756565656565859596062乙182324252526272829313435363838383939393939393939434344454648c．甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下：平均数众数中位数甲35.256m乙35.2n38根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金；（3）该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元．①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资＝乙这30日的工资（填“＞”“＜”或“＝”）；②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案二，乙应选择方案一．【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数．【专题】统计的应用；数据分析观念．【答案】（1）m＝28，n＝39；（2）甲不能获得这笔奖金；（3）①＝；②二；一．【分析】（1）估计中位数、众数的概念解答；（2）求出400人所在的组，根据甲的平均数计算，判断即可；（3）①根据题意分布求出甲、乙的工资，比较大小得到答案；②分别求出选择方案二的工资数，得到答案．【解答】解：（1）中位数m=27+292乙外卖骑手这30天送外卖量中，39出现的次数最多，出现了8次，则众数n＝39；（2）4002000×100%＝由频数分布直方图可知：45≤x＜55，55≤x≤65的人数为：5+15＝20（人），占抽样人数的20%，2000×20%＝400（人），而甲的平均数是35.2，在35≤x＜45中，故估计甲不能获得这笔奖金；（3）①甲、乙两人30天的日平均送单量都是每天35.2单，则30天送单总量为35.2×30＝1056（单），二人工资都是：30×50+1056×5＝6780（元），∴甲这30日的工资＝乙这30日的工资，故答案为：＝；②甲选择方案二的总收入：30×100+10×（27+29+32+33+42+47+56×5+58+59×2+60+62﹣24×16）＝7040（元），在这两种方案中，甲应选择方案二；乙选择方案二的总收入：30×100+10×（35.2×30﹣18﹣23﹣24﹣24×27）＝6430（元），在这两种方案中，乙应选择方案一；故答案为：二；一．【点评】本题考查的是频数分布直方图、中位数、众数，正确读懂频数分布直方图、获取统计图的正确信息是解题的关键．24．（6分）（2025•朝阳区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BD平分∠ABC，连接OD．（1）求证：BC∥OD；（2）过点D作⊙O的切线，分别交BA，BC的延长线于点E，F，连接OF，交BD于点G．若BF＝8，sinE=35，求【考点】切线的性质；解直角三角形；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）见解答；（2）541【分析】（1）先根据角平分线定义得到∠OBD＝CBD，加上∠OBD＝∠ODB，所以∠ODB＝∠CBD，从而可判断BC∥OD；（2）先根据题意画出几何图形，再根据切线的性质得到OD⊥EF，则EF⊥BC，接着根据正弦的定义，在Rt△BEF中可计算出BE=403，则利用勾股定理可计算出EF=323，设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，OE=403-r，然后在Rt△ODE中利用正弦定义得到sinE=ODOE=35，所以5r＝3（403-r），解得r＝5，从而得到OE=253，接着利用勾股定理计算出DE=20【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBD，∴BC∥OD；（2）解：∵EF为⊙O的切线，∴OD⊥EF，∵OD∥BC，∴EF⊥BC，∴∠BFE＝90°，在Rt△BEF中，∵sinE=BF∴BE=53BF=5∴EF=(设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，OE=403在Rt△ODE中，∵sinE=OD∴5OD＝3OE，即5r＝3（403-解得r＝5，∴OE=25∴DE=(∴DF＝EF﹣DE=323在Rt△ODF中，OF=O∵OD∥BF，∴△ODG∽△FBG，∴OGFG∴OGOF∴OG=513OF【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．25．（6分）（2025•朝阳区二模）科创小组分别用A，B两台装置提取实验物质，当A，B两台装置各自工作tmin时，记录员分别记录了A装置提取的实验物质的体积V1（单位：mL）和B装置提取的实验物质的体积V2（单位：mL），部分数据如下：t/min05102030405060…V1/mL00.51.02.03.04.05.06.0…V2/mL02.12.94.04.85.56.16.6…（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画V1与t，V2与t之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上信息，解决问题：①若A装置比B装置早启动了15min，则A装置启动19或55min时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为1.9或5.5mL（结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，在同一时刻，B装置最多可以比A装置多提取0.5mL实验物质（结果保留小数点后一位）．【考点】一次函数的应用．【专题】函数及其图象；推理能力．【答案】（1）0.5；（2）见解析；（3）①19或55，1.9或5.5；②0.5．【分析】（1）根据当t＝10时，V1＝1.0，当t＝20时，V2＝2.0，V1与t是正比例函数，求出解析式即可；（2）根据画函数图象方法步骤即可；（3）①根据题意将V1图象向上平移1.5个单位，然后观察图象即可；②观察图象即可．【解答】解：（1）∵t＝10时，V1＝1.0，当t＝20时，V2＝2.0，∴V1与t是正比例函数，设V1＝kt，∴1.0＝10k，解得：k＝0.1，∴V1＝0.1t，当t＝5时，V1＝0.1×5＝0.5，故答案为：0.5；（2）如图，（3）①∵A装置比B装置早启动了15min，如图，根据图象可知，A装置启动19或55min时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为1.9或5.5mL，故答案为：19或55，1.9或5.5；②在①的条件下，根据图象可知，在同一时刻，B装置最多可以比A装置多提取0.5mL实验物质，故答案为：0.5．【点评】本题考查了函数的图象与性质，描点法画函数图象，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．26．（6分）（2025•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）上．（1）当a＝1时，求抛物线与x轴交点的坐标；（2）若对于任意的0＜x1＜1，a+2≤x2≤3a+4，总有y1•y2＜0，求a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）抛物线与x轴交点的坐标为（0，0），（2，0）；（2）a的取值范围是12【分析】（1）当a＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x令y＝0，解方程即可求出答案；（2）分情况进行解答即可．【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x，令y＝0，则x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，∴抛物线与x轴交点的坐标为（0，0），（2，0）；（2）由y＝ax2﹣2a2x（a≠0）可知，抛物线的对称轴为x＝a，抛物线与x轴交点的坐标为（0，0），（2a，0）．∵a+2≤x2≤3a+4，∴a≥﹣1．①若a＞0，则当x≥a时，y随x的增大而增大；当x≤a时，y随x的增大而减小．（i）当0＜a＜12时，令x1＝2a则（ii）当12≤a≤1时，则2a≥1，a∴a＜2a＜x2，∴y2＞0，∵0＜x1＜1≤2a，∴y1＜0符合题意．（iii）当1＜a＜2时，则0＜x1＜a，a+2＞2a，∴y1＜0，由a+2＞2a可知a＜2a＜x2．∴y2＞0，符合题意．（iiii）当a≥2时，a+2≤2a＜3a+4．令x2＝2a，则y2＝0，不符合题意．②若﹣1≤a＜0，则当x≥a时，y随x的增大而减小；当x≤a时，y随x的增大而增大．∵a+2＞0，∴a＜0＜x2，∴y2＜0，∵a＜0＜x1，∴y1＜0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是12【点评】此题考查了二次函数的图象和性质、抛物线与坐标轴的交点、二次函数与不等式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．27．（7分）（2025•朝阳区二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，D为射线BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，线段BE与直线AC相交于点F．（1）如图，当DC＝BC时，用等式表示线段BD与CF之间的数量关系，并证明．（2）若对于任意的点D，上一问的结论总成立，写出满足条件的α的值，画出相应的图形，并证明．【考点】几何变换综合题．【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）BD＝2CF，证明见解答；（2）α＝45°，证明见解答，图见解答．【分析】（1）连接DF．由旋转的性质可得AE＝AD，∠DAE＝90°，可证明AC垂直平分BD，得到AB＝AD＝AE，BF＝DF．则∠ABF＝∠ADF＝∠E，证明∠ADF＝∠E，则∠DFE＝∠DAE＝90°．即可证明BD＝2CF．（2）作EG⊥AC于点G，证明△ACD≌△EGA，得到AC＝EG，CD＝GA，再证明AC＝BC，得到BC＝EG，证明△BCF≌△EGF，得到CF＝GF，则CG＝2CF，再证明BD＝CG，即可证明BD＝2CF．【解答】解：（1）BD＝2CF，证明如下：如图，连接DF，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AE＝AD，∠DAE＝90°，∵DC＝BC，∠ACB＝90°，∴AC垂直平分BD，∴AB＝AD＝AE，BF＝DF，∴∠ABD＝∠ADB，∠FBD＝∠FDB，∠ABF＝∠E，∴∠ABF＝∠ADF＝∠E，∴∠ABD﹣∠FBD＝∠ADB﹣∠FDB，∴∠ADF＝∠E，∴∠DFE＝∠DAE＝90°，∴BD＝2CF；（2）α＝45°，证明如下：如图，作EG⊥CA延长线于点G，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AE＝AD，∠DAE＝90°，∴∠GAE+∠CAD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠G＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠D＝∠GAE，∴△ACD≌△EGA（AAS），∴AC＝EG，CD＝GA，∵α＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°，∴AC＝BC，∴BC＝EG，∵∠BCF＝∠G＝90°，∠BFC＝∠EFG，∴△BCF≌△EGF（AAS），∴CF＝GF，∴CG＝2CF，∵BC＝AC，CD＝GA，∴BD＝CG，∴BD＝2CF．【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等，正确作出辅助线是解题的关键．28．（7分）（2025•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙Q和⊙Q外一点P，给出如下定义：若⊙Q的一条弦MN绕点P旋转α得到的线段仍然是⊙Q的一条弦，则称点P是⊙Q的“α﹣旋称点”，此时的MN是⊙Q关于点P的一条“α﹣旋称弦”．（1）如图1，⊙O的半径为2．①在点P1(-1，2)，P2(1，3)，P3(3，3)，P②弦AB的长为2，AB∥y轴．若AB是⊙O关于点C的“90°﹣旋称弦”，直接写出点C的坐标；（2）如图2，A(-2，0)，B(2，0)，C(2，23).若点A，B，C都是⊙Q的“60°﹣旋称点”，且△ABC的边上存在⊙Q关于点【考点】圆的综合题．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）①P1，P3；②(-3，3（2）Q(1【分析】（1）①对于⊙O外任一点P，连接OP，将OP绕点P顺时针旋转45°交⊙O于R、T，其中设弦RT的中点为W，连接OW，将OP绕点P逆时针旋转45°交⊙O于U、V，其中设弦UV的中点为Z，当PW为⊙O的切线时，可求得OP=22，可知2＜OP＜22时，⊙O的一条弦MN绕点P旋转90°得到的线段仍然是⊙O的一条弦，然后分别算出OP1，OP2②取AB与x轴的交点为W，连接OA，延长WA，使得WP＝OW，连接OP，那么可知道△OPW是等腰直角三角形，可算出点P的坐标，由题意可知，当点C落在点P时符合题意，延长WB，使得OW＝WC，同理可算得C(-（2）由题意可知，Q在△ABC内部，A、B、C三点都在⊙Q外部，将AB绕A逆时针旋转30°，将AB绕B顺时针旋转30°，将AC绕A顺时针旋转30°、将AC绕点C逆时针旋转30°，将BC绕B逆时针旋转30°，将BC绕点C顺时针旋转30°，如图所示，其交点有两个，分别为Q和U，当圆心在U点时，根据定义舍去，当圆心在Q点时，∠BCQ＝30°＝∠QAB＝∠CBQ，先求得点Q的坐标，分别以Q为圆心，以QE1，QB为半径画圆，那么当QE1＜r＜QB满足题意．【解答】解：（1）①对于⊙O外任一点P，连接OP，将OP绕点P顺时针旋转45°交⊙O于R、T，其中设弦RT的中点为W，连接OW，将OP绕点P逆时针旋转45°交⊙O于U、V，其中设弦UV的中点为Z，如图所示：当PW为⊙O的切线时，∠OWP＝90°，∠WPO＝45°，OW＝2，∴PW＝2，∴OP=那么当2＜OP＜22时，⊙O的一条弦MN绕点P旋转∵在点P1（﹣1，2），P2（1，3），P3(3，3)，POP1=(-1)2+∴2＜OP∴在点P1（﹣1，2），P2（1，3），P3(3，3)，P4（2，﹣2）中，⊙O的“90°﹣旋称点”可以是故答案为：P1，P3；②取AB与x轴的交点为W，连接OA，延长WA，使得WP＝OW，连接OP，如图所示：∵弦AB的长为2，AB∥y轴，∴AW=∵OA＝2，∠OWA＝90°，∴OW=∵OW=∴P(-若AB是⊙O关于点C的“90°旋称弦”，那么点C与点P点重合时，满足条件；延长WB，使得OW＝WC，同理可算得C(-综上，C点坐标为：(-3，3（2）对于半径为r的⊙Q外任一点P，连接QP，将QP绕点P顺时针旋转30°交⊙Q于R、T，其中设弦RT的中点为W，连接QW，将QP绕点P逆时针旋转30°交⊙Q于U、V，其中设弦UV的中点为Z，如图所示，同（1）①，可求得当r＜QP＜2r时，⊙Q的一条弦MN绕点P旋转60°得到的线段仍然是⊙Q的一条弦；∵A（﹣2，0），B（2，0），C(2，23).若点A，B，C都是⊙Q的“60°﹣旋称点”，且△ABC的边上存在⊙Q关于点A，B，C∴Q在△ABC内部，A、B、C三点都在⊙Q外部；将AB绕A逆时针旋转30°，将AB绕B顺时针旋转30°，将AC绕A顺时针旋转30°、将AC绕点C逆时针旋转30°，将BC绕B逆时针旋转30°，将BC绕点C顺时针旋转30°，如图所示，其交点有两个，分别为Q和U，由题意可知，当圆心在U点时，∠CAU＝∠ACU＝∠ABU＝30°，U点的横坐标在大于0，小于2，∴AU＝CU，∴U在AC的垂直平分线上，过点U作UH1⊥AC于H1，∴UH1=∵A（﹣2，0），B（2，0），C(2∴AC=(2+2)2+(2∴AH∴UH∴AU=不妨设UG1＝a，那么BU＝2a，BG∴AG∵AG∴(4-3∴a=33∵U点的横坐标大于0且小于2，∴a=∴UG∴BU=分别以U为圆心，以UG1、UB为半径画圆，如图所示：∴UH∴AC边上不存在⊙U关于点A，B，C的“60°﹣旋称弦”，故不符合题意；当圆心在Q点时，∠BCQ＝30°＝∠QAB＝∠CBQ，∴CQ＝BQ，∴Q点在BC的垂直平分线上，∵B（2，0），C(2∴Q的纵坐标为3，过点Q作QE1⊥AB于E1，∴QE∵∠QE1A＝90°，∠QAB＝30°，∴AQ=2∴AE∵A（﹣2，0），B（2，0），∴OE1＝AE1﹣OA＝3﹣2＝1，BE1＝OB﹣OE1＝1，∴Q(1，3分别以Q为圆心，以QE1，QB为半径画圆，如图所示：那么当QE1＜r＜QB，即3＜此时AQ=23，满足r＜AQ＜2综上，Q(1【点评】本题考查了“α﹣旋称点”，“α﹣旋称弦”，勾股定理，解直角三角形，垂径定理，等腰三角形的性质，读懂“α﹣旋称点”，“α﹣旋称弦”的定义，作出合适的辅助线利用数形结合的思想是解题的关键．问题也可转化为轴对称进行求解．

考点卡片1．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．2．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．提公因式法与公式法的综合运用先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．5．因式分解的应用1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．3、利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．6．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．7．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．8．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．9．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．10．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．11．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．12．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．13．一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．14．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．15．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x16．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．17．几何体的表面积（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式①圆柱体表面积：2πR2+2πRh（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）②圆锥体表面积：πr2+nπ(r2+h2③长方体表面积：2（ab+ah+bh）（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）18．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．19．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．20．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．21．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．22．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．23．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．24．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．25．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．26．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．27．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．28．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．29．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．30．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．31．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的