2025年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷

第48页（共48页）2025年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上)1．（2分）（2025•鼓楼区二模）下列计算结果比﹣3小的是（）A．﹣2+（﹣4） B．﹣2﹣（﹣4） C．﹣2×（﹣4） D．﹣2÷（﹣4）2．（2分）（2025•鼓楼区二模）下列说法正确的是（）A．为调查长江现有鱼的种类，采用普查的方式 B．为了解某校1200名学生的课外阅读情况，随机调查了100名女生课外阅读情况 C．为反映某区初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，适合用扇形统计图 D．为了解某校九年级学生睡眠时长，抽取该年级50名学生调查，样本是这50名学生3．（2分）（2025•鼓楼区二模）下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（）A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，184．（2分）（2025•鼓楼区二模）小明买了每袋250克的食品若干袋，营养成分如表所示．通常情况下，人体每日摄入膳食纤维的适宜量是25～35克．若小明今天仅依靠此食品来获取膳食纤维，他需要吃（）营养成分表项目每100克营养量参考值%能量2092千焦25%蛋白质8.9克15%脂肪24.0克40%碳水化合物59.1克20%膳食纤维6.0克24%钠250毫克1.3%A．1袋 B．2袋 C．3袋 D．4袋5．（2分）（2025•鼓楼区二模）格点△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．△A1B1C1和△ABC关于x轴对称，将△ABC向左平移8个单位，再向下平移2个单位得△A2B2C2，再将△A2B2C2绕着点A2按逆时针方向旋转90°后得△A3B3C3．下列说法：①△ABC绕某点旋转一定的角度可得到△A3B3C3；②△A1B1C1绕某点旋转一定的角度可得到△A2B2C2；③△A1B1C1与△A3B3C3关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③6．（2分）（2025•鼓楼区二模）“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）（2025•鼓楼区二模）﹣3的相反数是，﹣3的绝对值是．8．（2分）（2025•鼓楼区二模）化简（3a2）2的结果是．9．（2分）（2025•鼓楼区二模）如果实数a、b满足，那么a、b互为倒数．10．（2分）（2025•鼓楼区二模）因式分解：6a2﹣4a＝．11．（2分）（2025•鼓楼区二模）要说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是假命题，写一个c的值，它可以是．12．（2分）（2025•鼓楼区二模）如图，将一张宽为3的矩形纸片折叠，若∠1＝60°，则折痕EF的长为．13．（2分）（2025•鼓楼区二模）已知点A（2，y1）与点B（m，y2）在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，若y1＜y2，则m14．（2分）（2025•鼓楼区二模）如图，在正多边形中，若∠1＝27°，则∠2＝°．15．（2分）（2025•淮北校级自主招生）如图，平面直角坐标系中，已知点A（1，3），点B（4，0），则△AOB的重心坐标为．16．（2分）（2025•鼓楼区二模）如图，l1∥l2，l1与l2间的距离为2，A、B是l1上两个定点，P是l2上的一个动点，连接PB并延长至点C，使得BC=12PB．若D是l1上方一点，且四边形APCD是平行四边形，则PD的最小值是三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（2025•鼓楼区二模）计算：（1）327（2）（a﹣b）（a+b）+（a+b）2．18．（7分）（2025•鼓楼区二模）（1）解方程：2x（2）若关于x的方程2xx-2+12-x19．（8分）（2025•鼓楼区二模）为购买一台洗衣机，某市场研究小组收集了甲、乙两种功能类似的洗衣机近5周的销售量和用户评分情况，统计结果如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）种洗衣机销售量比较稳定，种洗衣机用户评分中位数较高（填“甲”或“乙”）；（2）你推荐选择哪种洗衣机？请说明理由．20．（8分）（2025•鼓楼区二模）如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为矩形；（2）菱形ABCD满足时，四边形EFGH为正方形．21．（8分）（2025•鼓楼区二模）（1）如图，是两个可以自由转动的转盘，指针位置固定．转盘①被分成4个大小相同的扇形，颜色分别为红、黑、蓝、黄四种颜色；转盘②被分成两个不同的扇形，颜色分别为红、黄两种颜色．同时转动两个转盘，停止后，求指针恰好都落在黄色区域的概率．（2）现有一个不透明的袋子和红、黄两种颜色小球若干个（除颜色外其它均相同），请设计一个与（1）中概率相等的摸球游戏，写出你的设计方案．22．（8分）（2025•鼓楼区二模）根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算BC的长．（精确到0.1m）（参考数据：tan53°≈1.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，18.442≈340，2≈1.4123．（8分）（2025•鼓楼区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC交于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BD＝3，AE＝8，求⊙O的半径．24．（8分）（2025•鼓楼区二模）如图①所示，沪宁高速公路可近似看作一条直线．一辆货车以80km/h的速度从南京出发匀速驶往上海；同时，一列轿车以120km/h的速度从苏州出发匀速驶往上海，停留0.5h后，按照原速度继续开往南京，最终两车同时到达目的地．设货车行驶的时间为th，货车与南京的距离y1km，轿车与南京的距离y2km．（1）在图2中，分别画出和补全y1、y2关于t的函数图象；（2）分别求苏州到上海的距离，南京到上海的距离；（3）若镇江距离南京90km，直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔．25．（9分）（2025•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象对称轴为直线x＝﹣1，点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该二次函数图象上．（1）用含a的代数式表示b；（2）当x1＝﹣4，x2＝5时，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）当x1＝t+8，t≤x2≤t+2时，都有c＞y2＞y1，直接写出t的取值范围．26．（8分）（2025•鼓楼区二模）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）．（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由．（2）判断命题的真假，并说明理由．27．（8分）（2025•鼓楼区二模）【提出问题】过平面内一点P画直线l平分已知△ABC的面积．【发现问题】根据点P与△ABC的位置不同，可以分成点P在△ABC边上、在△ABC内部、在△ABC外部三种情况．（1）当点P在△ABC边上①若点P与顶点A重合，如图①，画出直线l，并简述画法；②若点P在△ABC的边AB上，如图②，小明取BC的中点D，连接PD，…请根据小明的思路画出直线l，并简述画法．【分析问题】（2）当点P在△ABC的内部，如图③，如何画出直线l呢？小红的画法：第一步取BC的中点D；第二步画△ABH∽△PBD；第三步过点P画PI∥BC，交BH于点I；第四步过P、I、H三点的圆交AB于点J；第五步过点P画直线JP，交BC于点K．则JK就是所求的直线l．请说明小红画图的正确性．【解决问题】（3）当点P在△ABC的外部如图④，画出直线l，并简述画法．

2025年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案A．CBBCD一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上)1．（2分）（2025•鼓楼区二模）下列计算结果比﹣3小的是（）A．﹣2+（﹣4） B．﹣2﹣（﹣4） C．﹣2×（﹣4） D．﹣2÷（﹣4）【考点】有理数的混合运算；有理数大小比较．【专题】实数；运算能力．【答案】A．【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．【解答】解：A．∵﹣2+（﹣4）＝﹣6，|﹣6|＝6，|﹣3|＝3，6＞3，∴﹣2+（﹣4）＜﹣3，故符合题意；B．∵﹣2﹣（﹣4）＝2，∴﹣2﹣（﹣4）＞﹣3，故不符合题意；C．∵﹣2×（﹣4）＝8，∴﹣2×（﹣4）＞﹣3，故不符合题意；D．∵﹣2÷（﹣4）=12，∴﹣2÷（﹣4）＞﹣故选：A．【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．2．（2分）（2025•鼓楼区二模）下列说法正确的是（）A．为调查长江现有鱼的种类，采用普查的方式 B．为了解某校1200名学生的课外阅读情况，随机调查了100名女生课外阅读情况 C．为反映某区初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，适合用扇形统计图 D．为了解某校九年级学生睡眠时长，抽取该年级50名学生调查，样本是这50名学生【考点】统计图的选择；全面调查与抽样调查．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】C【分析】根据调查方法的选择，抽样调查的可靠性，扇形统计图的特点以及样本容量逐一分析判断即可．【解答】解：A、为调查长江现有鱼的种类，采取抽样调查的方式，原说法不正确，故选项不符合题意；B、具有代表性的调查方式是从全校学生中随机抽取100名学生进行调查，原说法不正确，故选项不符合题意；C、为反映某区初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，适合用扇形统计图，说法正确，故选项符合题意；D、为了解某校九年级学生睡眠时长，抽取该年级50名学生调查，样本是这50名学生的睡眠时间，原说法不正确，故选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了统计图的选择，全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．3．（2分）（2025•鼓楼区二模）下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（）A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．【解答】解：∵92+122＝152，∴能组成直角三角形，∴选项B中的数据符合题意，选项A，C，D中的数据长度与12不能组成直角三角形，不符号题意，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，熟记直角三角形的判定方法是解题的关键．4．（2分）（2025•鼓楼区二模）小明买了每袋250克的食品若干袋，营养成分如表所示．通常情况下，人体每日摄入膳食纤维的适宜量是25～35克．若小明今天仅依靠此食品来获取膳食纤维，他需要吃（）营养成分表项目每100克营养量参考值%能量2092千焦25%蛋白质8.9克15%脂肪24.0克40%碳水化合物59.1克20%膳食纤维6.0克24%钠250毫克1.3%A．1袋 B．2袋 C．3袋 D．4袋【考点】有理数的混合运算．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】根据表格中的数据，可以计算出每袋中含有的膳食纤维量，然后根据人体每日摄入膳食纤维的适宜量是25～35克，即可计算出小明需要吃几袋．【解答】解：由表可得，每袋含有膳食纤维的量为250÷100×6＝15（g），∵人体每日摄入膳食纤维的适宜量是25～35克，25÷15＝1……10，35÷15＝2……5，∴小明需要吃2袋，故选：B．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的式子．5．（2分）（2025•鼓楼区二模）格点△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．△A1B1C1和△ABC关于x轴对称，将△ABC向左平移8个单位，再向下平移2个单位得△A2B2C2，再将△A2B2C2绕着点A2按逆时针方向旋转90°后得△A3B3C3．下列说法：①△ABC绕某点旋转一定的角度可得到△A3B3C3；②△A1B1C1绕某点旋转一定的角度可得到△A2B2C2；③△A1B1C1与△A3B3C3关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【考点】坐标与图形变化﹣旋转；关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】C【分析】分别作线段AA3，BB3，CC3的垂直平分线，相交于点P，可知△ABC绕点P逆时针旋转90°得到△A3B3C3；分别作线段A1A2，B1B2，C1C2的垂直平分线，没有相交于一点，可知△A1B1C1不能绕某点旋转一定的角度可得到△A2B2C2；结合轴对称的性质可知△A1B1C1与△A3B3C3关于直线l对称，即可得出答案．【解答】解：分别作线段AA3，BB3，CC3的垂直平分线，相交于点P，可知△ABC绕点P逆时针旋转90°得到△A3B3C3，故结论①正确，符合题意；分别作线段A1A2，B1B2，C1C2的垂直平分线，没有相交于一点，可知△A1B1C1不能绕某点旋转一定的角度可得到△A2B2C2，故结论②不正确，不符合题意；如图，可知△A1B1C1与△A3B3C3关于直线l对称，故结论③正确，符合题意．综上所述，所有正确的序号是①③．故选：C．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转、关于x轴、y轴对称的点的坐标、坐标与图形变化﹣对称、坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．6．（2分）（2025•鼓楼区二模）“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（）A． B． C． D．【考点】几何体的展开图．【专题】展开与折叠；空间观念．【答案】D【分析】根据题意和各个选项中的图形，可以判断哪个图形能是三棱柱的展开图．【解答】解：三棱柱的展开图是选项D．故选：D．【点评】本题考查几何体的展开图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）（2025•鼓楼区二模）﹣3的相反数是3，﹣3的绝对值是3．【考点】绝对值；相反数．【答案】见试题解答内容【分析】根据绝对值和相反数的概念进行求解即可．【解答】解：﹣3的相反数为：3，﹣3的绝对值为3．故答案为：3，3．【点评】本题考查了绝对值和相反数的知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念．8．（2分）（2025•鼓楼区二模）化简（3a2）2的结果是9a4．【考点】幂的乘方与积的乘方．【专题】整式；运算能力．【答案】9a4．【分析】根据积的乘方法则进行计算即可．【解答】解：（3a2）2＝32×（a2）2＝9a4，故答案为：9a4．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，能正确运用幂的乘方与积的乘方进行计算是解此题的关键，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn．9．（2分）（2025•鼓楼区二模）如果实数a、b满足ab＝1，那么a、b互为倒数．【考点】实数的性质；倒数．【专题】实数；符号意识．【答案】ab＝1．【分析】根据互为倒数的定义进行解答即可．【解答】解：当ab＝1时，a，b是互为倒数，故答案为：ab＝1．【点评】本题主要考查了实数的性质，解题关键是熟练掌握互为倒数的定义．10．（2分）（2025•鼓楼区二模）因式分解：6a2﹣4a＝2a（3a﹣2）．【考点】因式分解﹣提公因式法．【专题】因式分解；运算能力．【答案】2a（3a﹣2）．【分析】首先确定公因式，然后提取即可．【解答】解：6a2﹣4a＝2a（3a﹣2），故答案为：2a（3a﹣2）．【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．11．（2分）（2025•鼓楼区二模）要说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是假命题，写一个c的值，它可以是﹣2（答案不唯一）．【考点】命题与定理；不等式的性质．【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．【答案】﹣2（答案不唯一）．【分析】根据不等式的性质三、假命题的概念解答．【解答】解：当a＜b，c＝﹣2时，﹣2a＞﹣2b，即ac＞bc，说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是假命题，故答案为：﹣2（答案不唯一）．【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．（2分）（2025•鼓楼区二模）如图，将一张宽为3的矩形纸片折叠，若∠1＝60°，则折痕EF的长为2．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】2．【分析】根据矩形的性质、折叠的性质求出∠1＝∠GEB＝60°，∠GEB＝∠GEF＝60°，根据平角的定义求出∠FEM＝60°，解直角三角形求解即可．【解答】解：如图，过点F作FM⊥BC于点M，∵AD∥BC，∠1＝60°，∴∠1＝∠GEB＝60°，根据折叠的性质得，∠GEB＝∠GEF＝60°，∴∠FEM＝180°﹣60°﹣60°＝60°，在Rt△EFM中，FM=3，sin∠FEM=∴EF＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，熟记折叠的性质、矩形的性质是解题的关键．13．（2分）（2025•鼓楼区二模）已知点A（2，y1）与点B（m，y2）在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，若y1＜y2，则m的取值范围是0【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】0＜m＜2．【分析】先根据题意判断出函数图象所在的象限，再由y1＜y2即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=kx中，k＞∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，∵点A（2，y1）与点B（m，y2）在反比例函数y=kx(k＞0)∴点A（2，y1）在第一象限，∵y1＜y2，∴点B（m，y2）也在第一象限，∴0＜m＜2．故答案为：0＜m＜2．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．14．（2分）（2025•鼓楼区二模）如图，在正多边形中，若∠1＝27°，则∠2＝108°．【考点】多边形内角与外角．【专题】线段、角、相交线与平行线．【答案】108．【分析】根据∠1＝27°，求出∠3=5【解答】解：如图，∵∠1所对的边有3条，∠3所对的边有5条，∴∠3=5∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝108°，故答案为：108．【点评】本题主要考查了正多边形和圆，三角形内角和定理应用，掌握以上性质是解题的关键．15．（2分）（2025•淮北校级自主招生）如图，平面直角坐标系中，已知点A（1，3），点B（4，0），则△AOB的重心坐标为（53，1【考点】三角形的重心；坐标与图形性质．【专题】三角形；运算能力．【答案】（53【分析】分别求出三角形的边OA和OB上中线所在直线的解析式，据此进行计算即可．【解答】解：如图所示，∵点A（1，3），点B（4，0），∴OA的中点M的坐标为（12，32），OB的中点N的坐标为（令直线AN的函数解析式为y＝kx+b，则k+解得k=-3∴直线AN的函数解析式为y＝﹣3x+6．同理可得，直线BM的函数解析式为y=-由﹣3x+6=-3x=5则y＝﹣3×53+6∴△AOB的重心坐标为（53故答案为：（53【点评】本题主要考查了三角形的重心及坐标与图形性质，熟知三角形重心的定义是解题的关键．16．（2分）（2025•鼓楼区二模）如图，l1∥l2，l1与l2间的距离为2，A、B是l1上两个定点，P是l2上的一个动点，连接PB并延长至点C，使得BC=12PB．若D是l1上方一点，且四边形APCD是平行四边形，则PD的最小值是【考点】平行四边形的性质；垂线段最短；平行线之间的距离．【专题】多边形与平行四边形；运算能力．【答案】5．【分析】设AB，PD交于点O．证明OD=32OP，判断出【解答】解：设AB，PD交于点O．∵四边形APCD是平行四边形，∴AD∥PC，AD＝PC，∵BC=12∴PBAD∴OD=32∵当OP⊥AB时，OP的值最小，最小值为2，∴OD的最小值为3，∴PD的最小值为5．故答案为：5．【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线之间的距离，垂线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（2025•鼓楼区二模）计算：（1）327（2）（a﹣b）（a+b）+（a+b）2．【考点】整式的混合运算；实数的运算．【专题】实数；整式；运算能力．【答案】（1）3；（2）2a2+2ab．【分析】（1）利用算术平方根及立方根的定义，二次根式的性质计算后再算加减即可；（2）利用平方差及完全平方公式计算后再合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣4×22＝3﹣22+2＝3；（2）原式＝a2﹣b2+a2+2ab+b2＝2a2+2ab．【点评】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．（7分）（2025•鼓楼区二模）（1）解方程：2x（2）若关于x的方程2xx-2+12-x【考点】解分式方程；分式方程的解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】（1）x＝5；（2）2．【分析】（1）先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可；（2）【解答】解：（1）2x方程两边同时乘（x﹣2），得2x﹣1＝3（x﹣2），去括号，得2x﹣1＝3x﹣6，解得：x＝5，检验：把x＝5代入x﹣2≠0，∴分式方程的解为x＝5；（2）2x方程两边同时乘（x﹣2），得2x﹣1＝a（x﹣2），整理，得（2﹣a）x＝﹣2a+1．当2﹣a≠0时，x=∵分式方程无解，∴x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入x=-2∴﹣2a+1＝4﹣2a，∴1＝4，（矛盾，无解）∴此情况无符合条件的a值．当2﹣a＝0时，即a＝2，则原方程变为2x去分母，得2x﹣1＝2（x﹣2），去括号，得2x﹣1＝2x﹣4，∴﹣1＝﹣4，（矛盾，无解），∴当a＝2时，方程无解．故答案为：2．【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，掌握解分式方程的方法是解题的关键．19．（8分）（2025•鼓楼区二模）为购买一台洗衣机，某市场研究小组收集了甲、乙两种功能类似的洗衣机近5周的销售量和用户评分情况，统计结果如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）甲种洗衣机销售量比较稳定，乙种洗衣机用户评分中位数较高（填“甲”或“乙”）；（2）你推荐选择哪种洗衣机？请说明理由．【考点】方差；中位数．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】（1）甲，乙；（2）推荐选择甲洗衣机，理由见解答．（答案不唯一）．【分析】（1）根据条形统计图判断即可得出甲种洗衣机销售量比较稳定；根据折线统计图可得两种洗衣机用户评分的中位数，再比较大小即可；（2）结合统计图解答即可．【解答】解：（1）由条形统计图可知，甲种洗衣机销售量比较稳定；由折线统计图可知，甲种洗衣机用户评分中位数为7分，乙种洗衣机用户评分中位数为8分，即乙种洗衣机用户评分中位数较高；故答案为：甲，乙；（2）推荐选择甲洗衣机，理由如下：甲种洗衣机销售量比较稳定，且甲种洗衣机用户评分呈现上升趋势，评分总和比乙高，所以推荐选择甲洗衣机．（答案不唯一）．【点评】本题考查折线统计图，条形统计图，中位数，方差，能从统计图中获取信息，明确统计量的意义是解题的关键．20．（8分）（2025•鼓楼区二模）如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为矩形；（2）菱形ABCD满足AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．【考点】中点四边形；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）AC＝BD．【分析】（1）连接FH，EG，AC，BD，根据菱形的性质结合三角形中位线定理推出EG＝FH即可推出结论（2）由AC＝BD可得EF＝EH，从而得出结论．【解答】（1）证明：如图，连接FH，EG，AC，BD，∵四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴AB＝AD，AE∥GD，AE＝GD=12AB，EF=12AC=∴四边形EGDA是平行四边形，四边形EFGH是平行四边形，∴EG＝AD，同理可证FH＝AB，∴EG＝FH，∴四边形EFGH为矩形；（2）解：菱形ABCD满足AC＝BD时，四边形EFGH为正方形，∵AC＝BD，∴EF=1又∵四边形EFGH为矩形，∴四边形EFGH为正方形．故答案为：AC＝BD．【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定，三角形中位线定理，熟记各性质定理是解题的关键．21．（8分）（2025•鼓楼区二模）（1）如图，是两个可以自由转动的转盘，指针位置固定．转盘①被分成4个大小相同的扇形，颜色分别为红、黑、蓝、黄四种颜色；转盘②被分成两个不同的扇形，颜色分别为红、黄两种颜色．同时转动两个转盘，停止后，求指针恰好都落在黄色区域的概率．（2）现有一个不透明的袋子和红、黄两种颜色小球若干个（除颜色外其它均相同），请设计一个与（1）中概率相等的摸球游戏，写出你的设计方案．【考点】几何概率；列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】（1）两个转盘指针恰好都落在黄色区域的概率为16（2）答案见解析．【分析】（1）根据转动两个转盘是两个相互独立的事件，求出每个转盘指针恰好都落在黄色区域的概率，再相乘即可；（2）根据概率的计算公式设计方案即可．【解答】解：（1）转动转盘①指针恰好都落在黄色区域的概率为：P（黄）14转动转盘①指针恰好都落在黄色区域的概率为P（黄）=2同时转动两个转盘指针恰好都落在黄色区域的概率为P=1（2）在袋子中放入1个黄球和5个红球，从中随机摸出一球，则摸到黄球的概率为P（黄）=1【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．22．（8分）（2025•鼓楼区二模）根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算BC的长．（精确到0.1m）（参考数据：tan53°≈1.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，18.442≈340，2≈1.41【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】BC的长约为14.1m．【分析】过点C作CE⊥AD，垂足为E，延长EC交BF于点G，根据题意可得：AH⊥BG，EG＝AH，AE＝GH，然后设CG＝xm，在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE和AE的长，从而可得EG＝AH＝（x+8）m，再在Rt△BCG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而可求出BH的长，最后在Rt△ABH中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算可求出CG和BG的长，最后在Rt△BCG中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：如图：过点C作CE⊥AD，垂足为E，延长EC交BF于点G，由题意得：AH⊥BG，EG＝AH，AE＝GH，设CG＝xm，在Rt△ACE中，∠EAC＝53°，AC＝10m，∴CE＝AC•sin53°≈8（m），AE＝AC•cos53°≈6（m），∴EG＝AH＝CE+CG＝（x+8）m，AE＝GH＝6m，在Rt△BCG中，∠CBG＝45°，∴BG=CGtan45°=∴BH＝BG﹣GH＝（x﹣6）m，在Rt△ABH，AH2+BH2＝AB2，∴（8+x）2+（x﹣6）2＝18.442，解得：x1＝﹣12（舍去），x2＝10，∴CG＝BG＝10m，在Rt△BCG中，BC=CG2+BG∴BC的长约为14.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（8分）（2025•鼓楼区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC交于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BD＝3，AE＝8，求⊙O的半径．【考点】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为4.5．【分析】（1）连接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB＝90°，从而可证DE是⊙O切线．（2）根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD、AD，∵AB是直径，∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAD．∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝∠AED＝90°，∴半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝3，∵DE⊥AC，∴∠CED＝∠ADC＝90°，∵∠C＝∠C，∴ADC∽△DEC，∴CECD∴CE3∴CE＝1或CE＝8（不合题意舍去），∴AB＝AC＝9，∴⊙O的半径为4.5．【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．24．（8分）（2025•鼓楼区二模）如图①所示，沪宁高速公路可近似看作一条直线．一辆货车以80km/h的速度从南京出发匀速驶往上海；同时，一列轿车以120km/h的速度从苏州出发匀速驶往上海，停留0.5h后，按照原速度继续开往南京，最终两车同时到达目的地．设货车行驶的时间为th，货车与南京的距离y1km，轿车与南京的距离y2km．（1）在图2中，分别画出和补全y1、y2关于t的函数图象；（2）分别求苏州到上海的距离，南京到上海的距离；（3）若镇江距离南京90km，直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）见解答；（2）80km，280km；（2）138h【分析】（1）根据题意，别画出和补全y1、y2关于t的函数图象即可；（2）根据路程＝速度×时间求出轿车在最初23h行驶的路程即为苏州到上海的距离，设南京到上海的距离为xkm，根据最终两车同时到达目的地列关于x（3）分别计算两车经过镇江时的时间并求差即可．【解答】解：（1）画出和补全y1、y2关于t的函数图象如图所示：（2）苏州到上海的距离为120×23=80设南京到上海的距离为xkm，根据题意，得x80解得x＝280．∴南京到上海的距离280km．（3）货车经过镇江时的时间为90÷80=98（轿车经过镇江时的时间为76+（280﹣90）÷120=333312-9答：货车和轿车经过镇江的时间间隔为138h【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．25．（9分）（2025•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象对称轴为直线x＝﹣1，点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该二次函数图象上．（1）用含a的代数式表示b；（2）当x1＝﹣4，x2＝5时，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）当x1＝t+8，t≤x2≤t+2时，都有c＞y2＞y1，直接写出t的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】（1）b＝2a；（2）y1＞y2；（3）t的取值范围为﹣5＜t＜﹣4或t＞0．【分析】（1）对称轴为直线x＝﹣1可得-b2a=-1，故b（2）根据开口向下的二次函数图象上的点，距离对称轴越远的点函数值越小，反之越大这一性质，可立即比较出大小；（3）因为x1＝t+8，t≤x2≤t+2，所以x2＜x1，可分为x1、x2居于对称轴同侧或异侧两类情况画出图形分别讨论即可．【解答】解：（1）由对称轴为直线x＝﹣1可得-b2故b＝2a．（2）∵开口向下的二次函数图象上的点，距离对称轴越远的点函数值越小，反之越大，且＞，∴y1＞y2．（3）∵x1＝t+8，t≤x2≤t+2，∴x2＜x1，∵c＞y2＞y1，如图1所示时，故只需满足t＞0即可；当x1、x2如图2所示时，x1的对称点横坐标为﹣t﹣10，∵c＞y2＞y1，∴-t-10＜tt+2综上，t的取值范围为﹣5＜t＜﹣4或t＞0．【点评】本题考查了二次函数的性质，对称轴，增减性，根据题意画出图形分类讨论是解题关键．26．（8分）（2025•鼓楼区二模）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）．（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由．（2）判断命题的真假，并说明理由．【考点】命题与定理；一元二次方程的应用；矩形的性质．【专题】一元二次方程及应用．【答案】（1）成立，矩形B的两边长为9-572，【分析】（1）根据矩形的长和宽表示出新矩形的长和宽，再根据面积的关系列出一元二次方程，进一步求解即可；（2）设矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为2k（m+n），面积为kmn，设矩形B的长为x，则宽为k（m+n）﹣x．再根据面积的关系列出一元二次方程，利用根的判别式求解即可．【解答】解：（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，此时矩形B的周长为18，面积为6，设矩形B的长为x，则宽为9﹣x，根据题意列方程，得：（9﹣x）x＝6，∴x2﹣9x+6＝0，解得：x1=9-∴此时命题成立；（2）若矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为2k（m+n），面积为kmn，设矩形B的长为x，则宽为k（m+n）﹣x．根据题意列方程，得：x[k（m+n）﹣x]＝kmn，即x2﹣k（m+n）x+kmn＝0，根据求根公式得：b2﹣4ac＝k2（m+n）2﹣4kmn＝k[k（m+n）2﹣4mn]，∵k＞1，∴[k（m+n）2﹣4mn]＞（m+n）2﹣4mn，又（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2≥0，∴[k（m+n）2﹣4mn]＞0，∴存在矩形B，∴此命题成立．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及其解法，掌握其性质是解题的关键．27．（8分）（2025•鼓楼区二模）【提出问题】过平面内一点P画直线l平分已知△ABC的面积．【发现问题】根据点P与△ABC的位置不同，可以分成点P在△ABC边上、在△ABC内部、在△ABC外部三种情况．（1）当点P在△ABC边上①若点P与顶点A重合，如图①，画出直线l，并简述画法；②若点P在△ABC的边AB上，如图②，小明取BC的中点D，连接PD，…请根据小明的思路画出直线l，并简述画法．【分析问题】（2）当点P在△ABC的内部，如图③，如何画出直线l呢？小红的画法：第一步取BC的中点D；第二步画△ABH∽△PBD；第三步过点P画PI∥BC，交BH于点I；第四步过P、I、H三点的圆交AB于点J；第五步过点P画直线JP，交BC于点K．则JK就是所求的直线l．请说明小红画图的正确性．【解决问题】（3）当点P在△ABC的外部如图④，画出直线l，并简述画法．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】详见解析．【分析】（1）根据三角形的中线平分三角形的面积即可得解；（2）过点A画直线AM∥PD，交BC于点M，画直线PM，PM就是所求的直线l；（3）连接连接JD、AK、AD．证△JBH∽△PBK，再证△IBD∽△ABK，进而推出S△BAD＝S△BKJ，即可得解；（4）第一步取AB的中点D；第二步画△CBH∽△PBD；第三步过点P画PI∥BA，交HB的延长线于点I；第四步过P、I、H三点的圆交CB于点J；第五步过点P作直线JP，交BA于点K．则JK就是所求的直线l．【解答】解：（1）如图①，画法：取BC中点D，画直线AD，AD就是所求的直线l；（2）如图②，画法：过点A画直线AM∥PD，交BC于点M，画直线PM，PM就是所求的直线l；（3）连接JD、AK、AD．∵△ABH∽△PBD，∴ABBP=BHBD，∠ABH∵∠JHI与∠JPI是同弧IJ所对圆周角，∴∠JHI＝∠JPI．而IP∥BC，∴∠JPI＝∠JKB，∴∠JHI＝∠JKB，又∵∠ABH＝∠PBD，∴△JBH∽△PBK，∴HBBK由ABBP=BH又∵∠JBD＝∠ABK，∴△IBD∽△ABK，∴∠BJD＝∠BAK，∴JD∥AK，∴S△AOJ＝S△DOK，∴S△BAD＝S△BKJ，∵点D是AB中点，∴S△∴S△BKJ=12S（4）如图④，画法：第一步取AB的中点D；第二步画△CBH∽△PBD；第三步过点P画PI∥BA，交HB的延长线于点I；第四步过P、I、H三点的圆交CB于点J；第五步过点P作直线JP，交BA于点K．则JK就是所求的直线l．【点评】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形的中线等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．

考点卡片1．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．2．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）3．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•1a=1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．4．有理数大小比较（1）有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．（2）有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．【规律方法】有理数大小比较的三种方法1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．3．作差比较：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b＝0，则a＝b．5．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．6．实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．7．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．8．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．9．整式的混合运算（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．10．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．11．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．12．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．13．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．14．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．15．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．16．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．17．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．18．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．19．几何体的展开图（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．（2）常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．20．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．21．平行线之间的距离（1）平行线之间的距离从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．（2）平行线间的距离处处相等．22．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）23．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．24．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．25．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=1226．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．27．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．28．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、29．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．30．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．31．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．32．中点四边形瓦里尼翁平行四边形（Varignonparallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．33．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．34．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．35．圆的综合题考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大．36．命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．37．关于x轴、y轴对称的点的坐标（1）关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．（2）关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，