第06讲双曲线及其性质（高效培优讲义）

第06讲双曲线及其性质目录考情探究TOC\o"13"\h\z\u 2知识梳理 3探究核心考点 4考点一双曲线的定义及其应用 4考点二双曲线的标准方程 7考点三双曲线方程的充要条件 10考点四双曲线的焦点、焦距 12考点五双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 14考点六双曲线上两点距离的最值问题 19考点七双曲线上两线段的和差最值问题 23考点八双曲线的渐近线 27考点九求双曲线离心率的值及取值范围 29考点十与双曲线有关的最值、范围问题 37考点十一双曲线的轨迹方程 41考点十二椭圆与双曲线综合 44考点十三双曲线的实际应用 49三阶突破训练 54基础过关 54能力提升 59真题感知 65一、5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2025年全国一卷，第3题，5分求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2025年全国二卷，第11题，6分求双曲线的离心率或离心率的取值范围用定义求向量的数量积已知数量积求模2025年天津卷，第9题，5分求双曲线的离心率或离心率的取值范围抛物线定义的理解根据抛物线方程求焦点或准线2025年北京卷，第3题，4分求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2024年新课标I卷，第12题，5分求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2024年全国甲卷（理数），第5题，5分求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2023年新课标I卷，第16题，5分利用定义解决双曲线中焦点三角形问题求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2023年全国甲卷（文数），第9题，5分根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程圆的弦长与中点弦2023年北京卷，第12题，5分根据离心率求双曲线的标准方程无2023年天津卷，第9题，5分根据a、b、c求双曲线的标准方程

根据双曲线的渐近线求标准方程

求点到直线的距离二、命题规律及备考策略【命题规律】近5年双曲线命题中，“求离心率或其取值范围”是核心高频考点，多以选择题、填空题形式出现（分值46分）；同时涉及利用定义解决焦点三角形问题、根据a,b,c及渐近线求标准方程等考点，且部分题目会与向量数量积、抛物线定义、圆的弦长、点到直线的距离等知识关联，体现出知识点交叉融合的命题特点，注重对双曲线几何性质和综合运算能力的考查。【备考策略】备考时需扎实掌握双曲线的定义、标准方程、几何性质（离心率、a,b,c的关系、渐近线等）。针对“离心率取值范围”这一高频考点开展专项训练，总结利用几何图形性质、不等式（如均值不等式、二次函数值域）、定义法等求解的方法；同时强化双曲线与其他圆锥曲线、平面几何知识综合题的练习，提升知识迁移和综合解题能力。【命题预测】预计未来双曲线命题仍会以“离心率或其取值范围”为考查重点，题型和分值保持稳定。命题将进一步突出综合性，可能在离心率问题中融入更多函数、不等式、向量等知识，或结合实际场景考查双曲线的方程与性质应用，以此检验学生的数学思维和综合分析能力。1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a＞c时，集合P是空集.2.双曲线的标准方程标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形3.双曲线的简单几何性质性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)考点一双曲线的定义及其应用A．1 B．13 C．1或13 D．2或14【答案】B【分析】根据已知条件求出的值，再利用双曲线的定义可得.故选：B.【答案】D【分析】由双曲线的定义即可得出答案.故选：D.跟踪训练1．【多选】（2025·四川攀枝花·模拟预测）圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】ABC【分析】由题设条件线段和垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解.【详解】（1）若为圆内的一定点，P是圆O上一个动点，线段AP的垂直平分线l与（2）若为圆外的一定点，为圆上的一动点，线段的垂直平分线交直线于点，（3）若为圆上的一定点，为圆上的一动点，此时点的轨迹是圆心.综上可得即点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线.故选：ABC【答案】D【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切，故选：D.考点二双曲线的标准方程【答案】D【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解.故选：D【答案】A故选：A.【答案】A【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可.故选：A【答案】C故双曲线浙近线的倾斜角为．故选：C．【答案】A故选：A．【答案】A故选：A.考点三双曲线方程的充要条件A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B故选：B【答案】B【分析】先求出该方程表示双曲线时的的取值范围，再根据必要不充分条件的概念即可找出正确选项．故选：BA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据双曲线的标准方程以及充分条件、必要条件的定义判断即可.故选：AA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.故选：A.A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.故选：BA．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A故选：A考点四双曲线的焦点、焦距A． B． C．3 D．【答案】A故选：A.A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B则双曲线的实轴长为，故B正确.故选：B【答案】B【分析】先由方程求出和的值，进而求出，写出焦点坐标．故选：B.【答案】D【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.故选：D．A． B． C． D．【答案】C故选：C.【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，考查双曲线的性质，属于基础题型.考点五双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题A．24 B．22 C．20 D．18【答案】D故选：DA． B． C． D．【答案】C故选：C.【答案】B故选：B．A． B．1 C． D．【答案】D故选：D【答案】BC所以点到轴的距离为4，错误．故选：BC【答案】BCD对于B选项，由椭圆的定义可知，故选：BCD.【答案】ACD【分析】根据双曲线的定义、标准方程和几何性质，结合选项计算依次判断即可.故选：ACD.考点六双曲线上两点距离的最值问题【详解】又因为双曲线与过原点的直线都关于原点对称，【答案】ABC故选：ABC.A． B． C． D．【答案】B故选：B．【答案】4故答案为：4.考点七双曲线上两线段的和差最值问题【答案】9故答案为：【答案】故答案为：A．4 B．6 C．10 D．14【答案】C故选：C．【详解】设双曲线的左焦点为，连接，.【答案】D如图：故选：D【答案】BCD【分析】根据双曲线的定义结合三角形三边之间的关系逐一分析即可.故C正确；故选：BCD.考点八双曲线的渐近线【答案】2【分析】先根据双曲线方程得到右焦点的坐标及一条渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式求解即可.故答案为：2.A．4 B．2 C． D．【答案】A【分析】根据渐近线的斜率列方程即可得解.故选：A【答案】C【分析】写出双曲线的标准方程，求得，即可求出渐近线方程.故选：C【答案】B故选：B.【答案】A因为焦点到渐近线的距离为，故选：A.考点九求双曲线离心率的值及取值范围【答案】设双曲线C的左焦点为，连接，故答案为：.【答案】C【详解】由题意得⊥，取的中点，连接，故选：C【答案】2【分析】结合题意与三角形的面积公式建立方程，求解离心率即可.故答案为：2A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据双曲线的渐近线的性质，结合双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】如图所示：故选：AA．4 B．2 C． D．【答案】B故选：B【答案】B故选：B【答案】B故选：B.【答案】（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B故选：B.考点十与双曲线有关的最值、范围问题【答案】B故选：B.【答案】D【分析】根据题意作图，利用点到直线的距离公式结合双曲线的渐近线方程计算求解.【详解】故选：D.【答案】C故选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的焦点三角形问题，考查焦点三角形内切圆，解题的关键是根据双曲线的性和圆的切线的性质得到的范围，数形结合的思想的应用.【答案】B故选：B.【答案】B【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线并与双曲线方程联立，求出的纵坐标比值即可得解.故选：B考点十一双曲线的轨迹方程A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点的轨迹方程，求出点的坐标即可得解.故选：A【答案】B所以点在以，为焦点的双曲线上，又点是圆外一点，故选：B【答案】A故选：A.【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.故选：A【答案】B故选：.【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.【答案】B【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案.故选：B考点十二椭圆与双曲线综合【答案】A【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率.【详解】如图：因为点在椭圆上，又在双曲线上，故选：A【答案】C【分析】根据椭圆及双曲线定义，结合等腰直角三角形，计算求解离心率.【详解】故选:C.【答案】B故选：B.【答案】B令线段的垂直平分线与线段的交点为M，则M是线段的中点，故选：B.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C故选：C.考点十三双曲线的实际应用典例1．（2025高三·山东德州·期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（

）【答案】C【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解.【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点.故选：C.【答案】B【详解】由题意可知直线，都过点，如图，令双曲线半焦距为c，故选：B【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a，c的值，根据离心率的定义求解离心率e；②齐次式法，由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.【答案】A【分析】根据给定条件求出双曲线C的渐近线方程，再逐一分析各个选项判断作答.故选：A【答案】B故选：B.【答案】D故选：D．1．（2025·广西·模拟预测）已知双曲线的焦距是虚轴的2倍，则的离心率为（

）．【答案】D故选：DA．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】C故选：A．3 B．6 C．4 D．8【答案】B【分析】根据焦点坐标和渐近线方程列出方程组，求出即可得解.故选：B.【答案】B故选：B.【答案】D故选：D.【答案】B【分析】由双曲线渐近线的斜率的范围，可得到的范围，进而可得到椭圆的离心率的取值范围.故选：BA． B．C． D．【答案】D故选：D.A．10或4 B．13或1 C．10 D．13【答案】D故选：D.【答案】C故选：C【答案】B故选：B.A．直线的一部分 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】A故选：A.【答案】C故选：C【答案】B故选：B.【答案】D故选：DA． B． C． D．【答案】C因为为双曲线右支上任意一点，故选：CA． B．2 C．3 D．4【答案】B故选：B.A．2 B． C．1 D．【答案】D故选：DA． B． C． D．【答案】B故选：B．【答案】A过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛