整式的乘法课件人教版八年级数学上册

16.2整式的乘法课时1单项式与单项式相乘第十六章

整式的乘法01掌握单项式与单项式相乘的运算法则，知道单项式与单项式相乘的实质是幂的运算.02能够灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.

光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?根据乘法的意义，地球与太阳的距离约是

(3×105)×(5×102)km如何计算呢？

活动1：小组合作讨论，完成以下问题.问题1：怎样计算(3×105)×(5×102)？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？任务：单项式与单项式相乘的运算法则.(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=1.5×108.

乘法交换律、结合律

同底数幂的乘法问题2：如果将上式中的数字改为字母，比如ac5

·bc2，怎样计算这个式子？ac5

·bc2=(a·b)·(c5·c2)

乘法交换律、结合律

同底数幂的乘法=ab·c5+2

=abc7.

活动1：小组合作讨论，完成以下问题.问题3：参照问题2，计算下列算式：(1)(－2x2yz)·3xy(2)(－2x)3·5xy(1)(－2x2yz)·3xy=(－2×3)·(x2·x)

·(y·y)·z

=－6x3y2z(2)(－2x)3·5xy=(－8x3)·5xy

=－40x4y思考：根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式？单项式乘单项式的法则：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.注意：单项式乘以单项式的结果仍是单项式.例

计算：(1)

3xy2·2y3；

(2)(

5a2b)(

3a)；

(3)(2x)3

·(-5xy2)；

(4)

(-3x2y)2·(-xy3)2解：(1)

原式=(3×2)x·(y2·y3)=6x2y5.(2)原式=

[(

5)

(

3)](a2·a)·b=15a3b(3)原式=8x3·(-5xy2)=[8×(-5)](x3·

x)·y2=-40x4y2(4)

原式=9x4y2·x2y6

=9(x4·x2)(y2·y6)=9x6y8注意：有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.计算:(1)

3x2·5x3

；

(2)4y·(－2xy2)；(3)

(－3x)2

·4x2

；

(4)4x2y·(－xy2)3.解：(1)原式=(3×5)(x2·x3)=15x5；

(2)原式=[4×(－2)](y·y2)·x=－8xy3；

(3)原式=9x2·4x2=(9×4)(x2·x2)=36x4；(4)原式=4x2y·(－x3y6)=[4×(－1)](x2·x3)(y·y6)=－4x5y7单项式与单项式相乘注意实质上是转化为有理数的乘法与同底数幂的乘法(1)单项式乘以单项式的结果仍是单项式；(2)不要漏乘只在一个单项式里含有的字母法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.1.下列计算中，正确的是(

B

)A.5a3·3a2＝15a6B.2x2·5x3＝10x5C.3x2·2x2＝6x2D.5y3·3y5＝15y152.下列各式正确的是(

D

)A.2x＋3x＝5x2B.b3·b3＝2b3C.2x4·x4＝2x16D.(a5)2＝a10BD3.计算：(1)(3x)2·2x＝

⁠；(2)(2x2)3·3x2＝

⁠；(3)(－2a2)3·(－4a)＝

⁠；(4)(－3a2b)2·(－2a2)＝

⁠.18x3

24x8

32a7

－18a6b2

4.计算：(1)(－2x2y3)2＋x3y4·(－3xy2)；解：原式＝4x4y6－3x4y6

＝x4y6.(2)(2a2b)3－a4b·(－3ab)2.解：原式＝8a6b3－a4b·9a2b2

＝8a6b3－9a6b3

＝－a6b3.

A.2B.30C.－15D.15

A.

(x－y)7B.2(x－y)7C.(y－x)7D.4(y－x)7DB16.2整式的乘法课时2单项式与多项式相乘第十六章

整式的乘法01能根据乘法分配律探究单项式与多项式相乘的运算法则.02能够灵活地进行单项式与多项式相乘的运算.活动1：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长pm，宽bm的长方形绿地，向两边分别加宽am和cm，如图所示.请你根据图中所给的条件求出大草坪的面积.cbap任务：单项式与多项式相乘的运算法则.方法一：如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为_____、_____、_____.

那么大草坪的面积的面积可表示为：____________.

方法二：如果把它看成一个大长方形，那么它的面积可表示为

.

papbpcp(a+b+c)pcbapa+pb+pc思考1：两种不同的表示方法之间有什么关系？大长方形面积与三个小长方形面积的和相等，即p(a+b+c)=pa+pb+pc思考2：如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系？p(a+b+c)=pa+pb+pc这是一个单项式与多项式相乘的问题，可以用乘法对加法的分配律进行计算.p(a

b

c)pa

pb

pc单项式多项式×根据乘法的分配律完成下列计算步骤.

试一试：ab(a2+b3+ac)=

+

+

.

=a3b+ab4+a2bc

ab·ac

ab·a2

ab·b3

属于哪种相乘的形式？单项式乘单项式单项式乘多项式的法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.p(a+b+c)=pa+pb+pc单项式与多项式相乘乘法分配律转化单项式与单项式相乘注意：非零单项式乘以多项式的结果仍是多项式.=(-4×3)(x2·x)+(-4x2)=-12x3-4x2解：(1)

原式=(-4x2)(3x)+(-4x2)×1

例

计算：(1)(-4x2)·(3x+

1)；

(3)(x-3y)·(xy2)2；(4)x(y-z)-y(z-x)+z(x-y).

注意：有乘方运算，先算乘方，再乘除，最后加减.注意系数符号(3)原式=(x-3y)·x2y4

=

x·x2y4+

(-3y)·x2y4

=x3y4-3x2y5

(4)原式=

xy+x(-z)+(-y)z+(-y)(-x)+zx+z(-y)=xy-xz-yz+

yx+zx-zy=2xy-2yz例

计算：(1)(-4x2)·(3x+

1)；

(3)(x-3y)·(xy2)2；(4)x(y-z)-y(z-x)+z(x-y).(1)(－4x)·(2x2+3x－1)；解：(1)原式=(－4x)·(2x2)=－8x3－12x2+4x；+(－4x)·3x+(－4x)·(－1)(2)原式(2)计算:单项式与多项式相乘注意实质上是转化为单项式乘单项式(1)非零单项式乘以多项式的结果是多项式；(2)有乘方运算，先算乘方，再乘除，最后加减.法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.(1)4(a－b+1)=___________________；4a－4b+4(2)3x(2x－y2)=___________________；6x2－3xy2(3)(2x－5y+6z)(－3x)=___________________；－6x2+15xy－18xz(4)(－2a2)2(－a－2b+c)=___________________.－4a5－8a4b+4a4c1.计算2.计算：－2x2·(xy+y2)－5x(x2y－xy2).解：原式=(－2x2)·xy+(－2x2)·y2+(－5x)·x2y+(－5x)·(－xy2)=－2x3y+(－2x2y2)+(－5x3y)+5x2y2=－7x3y+3x2y2.注意：（1）将2x2与5x前面的“-”看成性质符号；（2）单项式与多项式相乘的结果中，应将同类项合并.

3.已知x2－4x－1＝0，则代数式x(x－4)＋1的值为(

A

)A.2B.1C.0D.－14.如果m2＋m＝5，那么代数式m(m－2)＋(m＋2)2的值为(

A

)A.14B.9C.－1D.－6AA住宅用地人民广场商业用地3a3a+2b2a-b4a5.如图，一块长方形地用来建造住宅，广场和商厦，求这块地的面积.解：4a[(3a+2b)+(2a－b)]=4a(5a+b)=4a·5a+4a·b=20a2+4ab答：这块地的面积为20a2+4ab.16.2整式的乘法课时3多项式与多项式相乘第十六章

整式的乘法01探索并掌握多项式乘以多项式的运算法则.02能运用多项式与多项式相乘的法则进行简单的运算.任务一：多项式乘以多项式的运算法则.活动：为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长am，宽pm的长方形绿地，加长了bm，加宽了q

m.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?和同伴交流.paqb①扩大后的绿地可以看成四个小的长方形.②扩大后的绿地可以看成两个稍大的长方形.③扩大后的绿地可以直接看成一个大的长方形.a(p+q)+b(p+q)p(a+b)+q(a+b)(a+b)(p+q)ap+aq+bp+bqpaqbapbqbpaq沿紫线分开：沿红线分开：想一想：下面四个式子都是扩大后的绿地面积，根据上节课积累的探究经验，说说四种不同的表示方法之间有什么关系？a(p+q)+b(p+q)p(a+b)+q(a+b)(a+b)(p+q)ap+aq+bp+bq(a+b)(p+q)

a(p+q)+b(p+q)ap+aq+bp+bq多项式乘多项式单项式乘多项式单项式乘单项式

p(a+b)+q(a+b)/(p

q)看成一个整体多项式乘多项式的法则：

多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq多项式与多项式相乘乘法分配律转化单项式与单项式相乘活动：如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的居住环境，小区准备在一个长为(4a+3b)米，宽为(2a+3b)米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．和同伴交流，完成以下问题.任务二：多项式与多项式相乘的法则的简单运算.4a+3b2a+3bbb问题1：用字母a和b表示剩余草坪的面积.解：(4a+3b)(2a+3b)-b(2a+3b)-b(4a+3b)=8a2+6ab+12ab+9b2-2ab-3b2-4ab-3b2+b2=8a2+12ab+4b2（平方米）4a+3b2a+3bbb4a+3b2a+3bbb问题2：有没有别的方法计算更简单呢？(4a+3b-b)(2a+3b-b)=(4a+2b)(2a+2b)=8a2+12ab+4b2（平方米）活动：如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的居住环境，小区准备在一个长为(4a+3b)米，宽为(2a+3b)米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．和同伴交流，完成以下问题.问题3：当a=2，b=1时，剩余草坪的面积是多少？当a=2，b=1,8a2+12ab+4b2=8×4+12×2×1+4×1=60（平方米）例

完成以下计算，说说多项式与多项式相乘应该注意什么？(1)(a+3)(a-2)；(3)(x-8y)(x-y)；(2)(3x+1)(x+2)；解：(1)原式=a·a+a·(-2)+3·a+3×(-2)(2)原式=3x·x+3x·2+1·x+1×2=a2+a-6；=3x2+6x+x+2=a2-2a+3a-6(3)原式=x2-xy-8xy+8y2=x2-9xy+8y2；(4)(a+b)(a2-ab+b2).=3x2+7x+2；(4)原式=a·a2-a·ab+ab2+b·a2-b·ab+b·b2=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3.(1)必须做到不重复，不漏乘;(2)符号问题：确定积中每一项的符号;(3)最后结果应化成最简形式.多项式与多项式相乘应注意的几个问题:已知ax2＋2bx＋2(a≠0)与x－1的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．解：(ax2＋2bx＋2)(x－1)＝ax3－ax2＋2bx2－2bx＋2x－2，∵积不含x2的项，也不含x的项，－a＋2b=0－2b＋2=0∴解得a=2b=1多项式乘多项式运算法则注意事项多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.(1)不要漏乘；(2)正确确认各部分的符号；

(3)结果需要化为最简形式.实质上是转化为单项式乘单项式1.下列多项式相乘的结果为x2

+3x﹣18的是()A.(x-2)(x+9)

B.(x+2)(x﹣9)C.(x+3(x﹣6)

D.(x﹣3(x+6)Dccab2.有一长方形耕地，其中长为a，宽为b，现要在该耕地上种植两块防风带，如图所示的绿色部分，其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四边形，则剩余耕地面积为（）

BA、bc-ab+ac+c2

B、ab-bc-ac+c2C、a2+ab+bc-acD、b2-bc+a2-ab3.化简求值：(2x+5y)(2x-5y)－(x+5y)(4x-5y)，其中x=3,y=-1.解：(2x+5y)(2x-5y)－(x+5y)(4x-5y)=4x2-10xy+10xy－25y2－(4x2-5xy+20xy－25y2)=4x2-10xy+10xy－25y2－4x2+5xy－20xy+25y2)=－15xy当x=3,y=-1时，原式=-15×3×(-1)=454.如图，某市有一块长为(2a＋b)米，宽为(a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像.(1)求绿化的面积是多少平方米？解：(1)绿化的面积是(2a＋b)(a＋b)－a2＝2a2＋3ab＋b2－a2＝a2＋3ab＋b2.(2)若a＝3，b＝2，请求出绿化面积.(2)当a＝3，b＝2时，原式＝9＋3×2×3＋4＝31(平方米).16.2整式的乘法课时4整式的除法第十六章

整式的乘法01理解同底数幂的除法法则及零指数幂的性质.02理解单项式除以单项式，多项式除以单项式的运算法则.03能够熟练运用以上的法则进行整式的除法运算.

我国研制的第一台“银河”巨型计算机，它的运算速度为108次/秒.而最先进的光子计算机，它的运算速度将达到1011次/秒，那么光子计算机运算速度是“银河”计算机运算速度的多少倍呢？列式：1011÷108如何计算呢？任务一：同底数幂的除法法则及其运算.活动1：计算下列各式，对比并思考两边等式之间的关系，你能发现什么规律？和同伴交流.1.根据同底数幂的乘法法则填空:（1）2（）·28=214

（2）5（）·53=55

（3）m（）·m5=m7

6222.根据除法是乘法的逆运算填空：（1）214÷28=（

）（2）55÷53=（

）（3）m7÷m5=（

）2652m2规律：同底数幂相除，底数不变，指数相减.

验证二：验证一：因为am-n·an=am-n+n=am,所以am÷an=am-n.1.根据除法的意义计算：am÷am=()2.am÷am=a()-(

)=a(

)

1mm0可以得出：a0=1(a≠0)问题2：完成下列填空，你有什么发现？问题1：试猜想：am÷an=?(m,n都是正整数,且m>n)同底数幂相除的法则：am

÷an=am-n

(a≠0，m，n都是正整数，且m>n)即同底数幂相除，底数不变，指数相减.规定：a0=1(a≠0)即：任何不等于0的数的0次幂都等于1.（1）x8÷x2

；（2）

a4÷a

； （3）(ab)5÷(ab)2；（4）(-a)7÷(-a)5

（5）(-b)5÷(-b)2.解:(1)x8÷x2=x8-2=x6；

(2)a4÷a=a4-1=a3；

(3)(ab)5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3；

(4)(-a)7÷(-a)5=(-a)7-5=(-a)2=a2；

(5)(-b)5÷(-b)2=(-b)5-2=(-b)3=-b3.计算:(1)计算下列各式，你能得出什么结论？和同伴交流.

a8÷a2÷a3

(-x)9÷(-x)5÷(-x)4解：原式=a8-2÷a3=a8-2-3原式=(-x)9-5÷(-x)4=a3=(-x)9-5-4=(-x)0=1小结：由同底数幂相除的法则，可以推出：am÷an÷aq=am-n-q(a≠0，m，n，q都是正整数，并且m＞n+q).

活动2：根据同底数幂相除的法则解答下列问题.(2)已知：xa=4，xb=9，求：①xa-b；②x3a-2b.分析：因为xa÷xb=xa-b，所以xa-b=xa÷xb.①∵xa=4，xb=9∴xa-b=xa÷xb解：②∵xa=4，xb=9，∴x3a=(xa)3=64,x2b=(xb)2=81∴x3a-2b=x3a÷x2b小结：可逆用同底数幂相除的法则进行求值：

am-n=am÷an(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n).

活动2：根据同底数幂相除的法则解答下列问题.已知xa=2，xb=3，求x2a-b的值.解：∵xa=2，∴x2a=(xa)2=4.又∵xb=3，∴x2a-b=x2a÷xb

=4÷3=任务二：单项式除以单项式的法则及其运算.活动1：观察并计算下列两个算式，你发现了什么？和同伴交流.（1）4a2x3·3ab2=

;（2）12a3b2x3

÷3ab2=

.12a3b2x3

4a2x3

解法2：原式=4a2x3·3ab2÷3ab2=4a2x3.理解：上面的商式4a2x3的系数4=12÷3；a的指数2=3-1，b的指数0=2-2，而b0=1，x的指数3=3-0.解法1：

计算12a3b2x3÷3ab2相当于求(

)﹒3ab2=12a3b2x3.由（1）可知括号里应填4a2x3.思考：仔细观察上述单项式除以单项式计算过程，回答以下几个问题：(被除式的系数)÷(除式的系数)写在商里面作因式(被除式的指数)-(除式的指数)2.商式的系数＝1.单项式除以单项式，其结果(商式)仍是4.被除式里单独有的幂＝3.(同底数幂)商的指数＝一个单项式;你能用语言描述单项式与单项式相除的运算法则吗？

;

.

;

;12a3b2x3

÷3ab2=

.4a2x3

单项式除以单项式的法则：单项式相除,把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式.底数不变，指数相减.保留在商里作为因式.被除式的系数除式的系数商式＝系数

•

同底的幂

•被除式里单独有的幂下列计算是否正确？错误的应怎样改正？（1）4a8÷2a2=2a4()（2）10a3÷5a2=5a

()（3）(-9x5)÷(-3x)

=-3x4()（4）12a3b

÷4a2=3a

()××××不要遗漏被除数单独出现的字母3ab3x4负负得正2a系数应相除2a6指数应相减活动2：已知一幅长方形油画的长为(a+b),宽为m，和同伴交流，回答以下问题.问题1：求这幅油画的面积.问题2：若已知油画的面积为(am+bm),宽为m，如何求它的长？(am+bm)÷m(a+b)m=am+bm问题3：如何计算(am+bm)÷m？你能发现什么规律？计算(am+bm)÷m就是