2026届新高考数学冲刺突破复习 导数与函数的极值、最值

2026届新高考数学冲刺突破复习

导数与函数的极值、最值知识清单1.函数的极值函数极值反映的是函数局部的性质取得极值的条件极值极值点函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都________f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值a叫做函数y=f(x)的极小值点f′(a)＝0在点x＝a附近的左侧______，右侧______函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都________f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值b叫做函数y＝f(x)的极大值点f′(b)＝0在点x＝b附近的左侧______，右侧______极大值点和极小值点统称为极值点小f′(x)<0f′(x)>0大f′(x)>0f′(x)<0知识清单2.函数的最值反映的是函数整体的性质(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条__________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的________；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值___________比较，其中最大的一个是__________，最小的一个是__________．连续不断极值f(a)，f(b)最大值最小值知识清单【常用结论】1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．3．有极值的函数一定不是单调函数．4．如果函数f(x)在(a，b)上只有一个极值，那么这个极值就是相应的最值．热点命题——1.利用导数求函数的极值考向1根据函数图象判断极值例1．(1)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(

)A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点方法归纳：导函数y＝f′(x)的图象与x轴上的穿根交点为原函数f(x)的极值点，再根据交点左右的值的正负判断是极大值还是极小值，交点左负右正为极小值，左正右负为极大值.C热点命题——1.利用导数求函数的极值例1．(2)(多选)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x)的图象如图，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(

)A．在(－∞，1)上单调递减B．在x＝1处取得极小值C．f′(－1)＝0D．f(x)在x＝2处取得极小值ACD热点命题——1.利用导数求函数的极值考向2求函数极值例2(多选)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(

)A．x＝3是f(x)的极小值点

B．当0<x<1时，f(x)<f(x2)C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x)解析：对于A，因为函数f(x)的定义域为R，而f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，易知当x∈(1，3)时，f′(x)<0，当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故x＝3是函数f(x)的极小值点，故A正确；热点命题——1.利用导数求函数的极值考向2求函数极值例2(多选)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(

)A．x＝3是f(x)的极小值点

B．当0<x<1时，f(x)<f(x2)C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x)解析：对于B，当0<x<1时，x－x2＝x(1－x)>0，所以1>x>x2>0，而由上可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)>f(x2)，故B错误；对于C，当1<x<2时，1<2x－1<3，而由上可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减，所以f(1)>f(2x－1)>f(3)，即－4<f(2x－1)<0，故C正确；对于D，当－1<x<0时，f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)>0，所以f(2－x)>f(x)，故D正确．热点命题——1.利用导数求函数的极值

热点命题——1.利用导数求函数的极值

热点命题——1.利用导数求函数的极值

方法归纳：对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．对于判断极值的问题中，不仅要求导函数的零点，还需分析零点左右两边的符号.热点命题——1.利用导数求函数的极值

热点命题——1.利用导数求函数的极值

方法归纳：含参函数导函数含有多个零点时，不仅要分析零点的大小，若定义域有限制，还需考虑零点是否在定义域内.热点命题——2.利用导数求函数的最值考向1求函数的最值例4(1)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为______．

方法归纳：绝对值函数常转化为分段函数研究其性质.热点命题——2.利用导数求函数的最值跟踪训练2

(1)M，N分别为曲线y＝ex＋2x与直线y＝3x－1上的点，则|MN|的最小值为________．

方法归纳：曲线上的点到直线上的点的最短距离（曲线与直线没有公共点），为曲线上与直线平行的切线到该直线的距离.热点命题——2.利用导数求函数的最值考向2由函数的最值求参数例5已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx，a∈R．若f(x)在[1，e]上的最小值为－2a，求a的取值范围．

根据给定的范围进行讨论热点命题——2.利用导数求函数的最值考向2由函数的最值求参数例