2026届新高考数学冲刺突破复习函数的对称性与周期性考点突破

复习课2026届新高考数学冲刺突破复习

函数对称性与周期性考点突破判定

(1)(1-2)

(1-1)

函数对称性01PART增量一致平均偏移单边偏移轴对称典例1[2023乙卷

理21.]已知函数.(1)当a=-1时，求

曲线在点

处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线

关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若

在

存在极值，求a的取值范围.多想少算切忌暴力解方程生搬硬套1令由对称性知：三个变量的复杂方程生搬硬套2由对称性知：结构一致性对应相等，可得存在性生搬硬套1令由对称性知：三个变量的复杂方程多想少算由对称性知：定义域关于对称轴对称令得所以由x的任意性，取解得对点训练1已知函数f(x)满足f(4+x)=f(-x),若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图像的交点为（x1,y1),...,(xm,ym)，则所有交点的横坐标之和为（

）A.0B.mC.2mD.4m由此，你能得到什么规律？对称轴x=2对称轴x=2能力提升已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，

则关于x的函数

，

的所有零点之和为（

）A.B.

C.D.变与不变自带轴对称上下平移不影响对比考点局部奇函数最值问题奇函数常数平移b个单位判定

(2)

(2-2)

(2-1)偏移+反转方程形式单边偏移一般形式中心对称典例2[2024Ⅰ卷

18.]已知函数.(1)若b=0时，且

，求a的最小值；(2)证明：曲线

是中心对称图形.(3)若

当且仅当

，求b的取值范围.多想少算切忌暴力解方程法一：令得定义域为故，设对称中心为（1，c)下证得证，对称中心为（1，a)法二：令得定义域为故，设对称中心为（1，c)将原函数图像向左平移1个单位再向下平移a个单位易证：关于原点对称所以

关于(1,a)对称

(1，c)(0，c)判定理解性阅读是关键(1)(2)(4)体会：相反数与倒数的相互性(3)递推法和换元法函数周期问题02PART赋值思想T=|a|T=|2a|T=|a-b|T=2a关于x=a对称换元法用x+a将x换掉x的几何意义：到线x=a的距离.(a,0)中心对称观察：y=f(x+a)为偶函数观察：y=f(x+a)为奇函数总结1.函数y=f(x+a)为奇函数，则图像关于(a,0)中心对称；

对

比典例2[2024Ⅰ卷

18.]已知函数.(2)证明：曲线

是中心对称图形.(1，c)(0，c)奇函数[2021年甲卷文12.]设

是定义域为R的奇函数，且

.若

，则

（）A．

B．

C．

D．[2021年甲卷理12.]

设函数

的定义域为R，

为奇函数，

为偶函数，当

时，

．若

,则

（）A．

B．

C．

D．数形结合简图代数迭代转化转化条件由奇函数，得

，(关于(1,0)中心对称）偶函数，得

，(关于x=2轴对称）

2个方程解2个参数，需找到2个方程.①②（赋值）善用条件由①得a=-2

法一：转化结论自变量向[1,2]靠拢

算具体自变量时,没必要通过周期进行,但思维是一致的.下算周期算周期的体现函数的一般性，迭代难度较大，需要理解性阅读.①②

附加法二：法三：

典例3A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)关键点（观测点）图像过点（1,0）几何法代数法

①当x<0时所以②当x>0时典例3A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)代数法由奇函数有所以所以在进行代换时，要注意单调区间的一致性:f(1)=0=-f(1)=f(-1)思维卡点：

典例3A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)几何法法一法二当x<0时当x>0时对点训练1

变式训练

A.(-∞,-3)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-3,0)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)

A.(-∞,-2)∪(0,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,+∞)C.(-2,0)D.(-1,0)能力提升提示对称美改造的力量令结构为王偶函数，且[0,+∞)上单调递增一切都是最好的安排奇偶性+周期性=对称性规律：1.周期偶函数是轴对称函数；2.周期奇函数是中心对称函数.反之不成立.证明：

为周期函数，则

，得此处T不一定是最小正周期，所以对称轴/对称点不唯一.1.若

为偶函数，

，得得

，所以函数

关于

轴对称.2.若

为奇函数，则

，得得

，所以函数

关于

中心对称

24大致图像示意图，够用就行，但注意细节.680-4-2-6-8周期为8的奇函数，

得关于（4，0）对称.又由

为奇函数得

且

得

得，

关于x=2对称.

（再探[2,6]）

变式2：将“区间[-8,8]”分别改为“区间[-8,16]；[-16,16]；[0,16]”上有6个，8个，4个不同的根，则它们之和分别为多少？变式变式1：将“[0,2]上为增函数”改为“(0,2]上为增函数”图像会有什么变化？注意细节：奇函数在0处的取值情况.变式3：将“(m>0)”分别改为“(m<0)或(m=0)”上有4个不同的根，则它们