数列的概念-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1数列的概念(1)一、数列的概念与分类问题1

观察以下几列数：①王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高得：75，87，96，103，110，116，

120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.②战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2027,2027，…，2027；④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…；⑤

的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数实例①中的第五个数的意义是什么？能否和其他的数交换位置？你能找到上述例子中的数的共同点和不同点吗？

共同点：都是按照确定的顺序进行排列的数．不同点：

1、从项数上来看：①③项数有限(有穷数列)，②④⑤项数无限（无穷数列）；

2、从项的变化上来看：

①从第二项起，每一项都大于它的前一项（递增数列）

②从第二项起，每一项都小于它的前一项（递减数列）

③项没有发生变化，

（常数列）

④呈现周期性的变化

（周期数列）

⑤从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.（摆动数列）一、数列的概念与分类

2、数列的一般形式是

a1，a2，a3，…，an，….(n∈N*)简记作{an}.思考

：{an}与an的意思一样吗？

{an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，….；

an表示数列{an}中的第n项.1、定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示······第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示，其中第1项也叫做首项.分类标准名称定义按项的个数有穷数列项数______的数列无穷数列项数______的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都______它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都______它的前一项的数列常数列各项都______的数列有限

无限大于小于相等一、数列的概念与分类二、数列与函数的关系由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:序号123···n

···项

a1

a2

a3···an

···所以数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,···,n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an

，记为an=f(n).也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2),···,f(n),···就是数列{an}.另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么f(1)，f(2),···,f(n),···构成了一个数列{f(n)}.数列是自变量为离散的数的函数.三、数列表示方法和性质1、表示方法：表格、图像、解析式(通项公式)2、单调性:递增数列：递减数列：对任意n∈N*，总有an+1>an(或an+1-an>0).对任意n∈N*，总有an+1<an(或an+1-an<0).从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.3、通项公式：表示数列的第n项an与它的序号n之间的对应关系的式子。即an=f(n)，n∈N+题型一、数列的概念与分类例1下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….变式、

下列叙述正确的是(

)A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}D.同一个数在数列中不可能重复出现题型一、数列的概念与分类题型二、由数列的前几项求通项公式例2写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(3)0,1,0,1；(4)9,99,999,9999.根据数列的前几项求通项公式的解题思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号.(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.题型二、由数列的前几项求通项公式跟踪训练2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(3)7,77,777,7777.题型二、由数列的前几项求通项公式题型三、通项公式的应用例3、已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出此数列的第4项和第6项；(2)－49是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？

68是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？(3)数列中的最小项是多少？它是第几项？例4、已知数列{an}的通项公式an=

，判断此数列的单调性题型四、数列的单调性判断与应用变式1、已知数列{an}的通项公式为an=n²+λn，若数列{an}为递增数列，则λ的取值范围是

。题型四、数列的单调性判断与应用变式2、已知数列{an}满足：