高考数学复习：第42讲 空间几何体的表面积与体积

第42讲空间几何体的表面积与体积已知圆锥的表面积等于12π cm2 A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30∘，则该四棱锥的侧面积   A．32 B．48 C．64 D．323圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为   A．6 B．7 C．8 D．9如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AA1=3，点P在棱如图，各条棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD A．4π B．4+2π C．6π D正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球（正六棱柱的顶点都在此球面上）的表面积为．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为．在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD A．5+2π B．4+2π C．5+22π如图，在三棱柱ABC-­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1=AC=2 A．4+42 B．4+43 C．12 D．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1，S2，则有S1现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4．若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为．直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2，E为棱CC1在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120∘（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是 A．9π2 B．7π2 C．5π2已知正三棱柱ABC­-A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱A如图正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为27，点E，F分别为棱B1B，C1已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于2a，若其外接球的半径为R，则aR=把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为   A．103 cm B．10 cm C．102 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1 A．3172 B．210 C．132 D已知A，B，C是球O的球面上三点，且AB=AC=3，BC=33，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，求三棱锥D-ABC埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为   A．5-14 B．5-12 C．5+14已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO A．64π B．48π C．36π D．已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为 A．3 B．32 C．1 D．3如图，在体积为V的圆柱O1O2中，以线段O1O2上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V1，V在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA现有一个半径为3 cm的实心铁球，将其高温融化后铸成一个底面圆半径为3 cm的圆柱状实心铁器（不计损耗），则该圆柱铁器的高为已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45∘，若△SAB的面积为515

答案1.【答案】B【解析】S表所以r2=4，所以2.【答案】A【解析】如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角三角形POE．因为OE=2 cm，∠OPE=30∘，所以斜高PE=OEsin303.【答案】B【解析】设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r．由S=πr+3r⋅3=84π4.【答案】9【解析】因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=3所以点P到平面ABA1的距离即为△ABC即为h=3S△AB三棱锥P-ABA1的体积为：5.【答案】2【解析】VM-A6.【答案】D【解析】因为在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥所以将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB=1，高为BC=2的圆柱减去一个底面半径为AB=1，高为BC-AD=2-1=1的圆锥的组合体，所以几何体的表面积S=π×7.【答案】100π【解析】依题意，该正六棱柱的外接球的球心应是上、下底面中心连线的中点，所以其半径等于42+628.【答案】6π【解析】该圆柱的侧面积为2π×1×2=4π，一个底面圆的面积是所以该圆柱的表面积为4π9.【答案】A【解析】因为在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥所以将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB=1，高为BC=2的圆柱挖去一个底面半径为AB=1，高为BC-AD=2-1=1的圆锥，所以该几何体的表面积S=π×10.【答案】A【解析】连接A1因为AA1⊥底面又AB⊥BC，AA所以BC⊥平面所以直线A1C与侧面AA1B又AA所以A1C=22又AB⊥BC，则AB=2则该三棱柱的侧面积为2211.【答案】3:2【解析】设球的直径为2R，则S112.【答案】4π【解析】由题意知，圆锥的体积为13×π×1则43πr3=4π3故答案为：4π13.【答案】33【解析】由题意得S△又因为E为棱CC1所以EC所以V三棱锥14.【答案】D【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，OA=AB⋅cos所以旋转体的体积为1315.【答案】23【解析】如图，取BC中点O，连接AO．因为正三棱柱ABC-­A1B1所以AC=2，OC=1，则AO=3因为AA所以点D到平面BCC1B1又S△B所以VD16.【答案】9【解析】连接DE，如图，因为正四棱柱ABCD-A1B1C点E，F分别为棱B1B，C1C所以VA所以VA所以四棱锥A1-AEFD的体积17.【答案】12【解析】设长方体ABCD-A1B1C1D1则长方体ABCD-A1B1C由题意可知，三棱锥A1-BCD的底面积为12S因此，三棱锥A1-BCD的体积为18.【答案】32【解析】设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以V119.【答案】144【解析】如图，设四棱锥的外接球的球心为E，半径为R，则OB=OC=22a所以R2=22所以aR20.【答案】B【解析】依题意，在四棱锥S­-ABCD中，所有棱长均为20 cm，连接AC，BD交于点O，连接则SO=AO=BO=CO=DO=102易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10 cm在等腰三角形OAS中，AO=SO=102 cm所以O到SA的距离d=10 cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 所以球心为四棱锥底面ABCD的中心O，所以皮球的半径r=10 cm21.【答案】32【解析】设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为故V122.【答案】2-1【解析】如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接因为△ABC是正三角形，所以AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．因为AB=23所以S△ABC=33，DE=1所以S表因为PD=1，所以三棱锥的体积V=1设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r=323.【答案】C【解析】如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M．又AM=12BC=所以球O的半径R=OA=524.【答案】如图．在△ABC中，因为AB=AC=3，BC=33所以由余弦定理可得cosA=所以sinA=设△ABC外接圆Oʹ的半径为r，则3332=2r设球的半径为R，连接OOʹ，BOʹ，OB，则R2=R2由图可知，当点D到平面ABC的距离为32R时，三棱锥DABC因为S△ABC所以三棱锥D-ABC体积的最大值为1325.【答案】C【解析】如图，设CD=a，PE=b．则PO=P由题意PO2=1化简得4ba2-2⋅26.【答案】A【解析】设圆O1半径为r，球的半径为R得πr所以r=2，由正弦定理可得AB=2rsin所以OO1=AB=23所以OO1⊥所以球O的表面积S=4π故选：A．27.【答案】C【解析】设球O的半径为R，则4πR2设△ABC外接圆半径为r，边长为a，因为△ABC是面积为934所以12a2所以r=2所以球心O到平面ABC的距离d=R28.【答案】13【解析】由题得，V1得V1故答案为：1329.【答案】23【解析】因为正三棱柱ABC-A1B1C1，则又因为AA1=AB=2，则三棱柱各棱长均为则VA30.【答案】4【解析】根据题意V球=V圆锥整理得43解得h=4．31.【答案】π4【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5，借助勾股定理，可知四棱锥的高为5-1=2．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12，故圆柱的体积为32.【答案】10【解析】【分析】推导出VABCD-A1B1C1D1=AB×BC×DD1=120，三棱锥E-BCD的体积：【解析】解：∵长方体ABCD-A1B1C