2025年上学期高一数学章节小测（第十三章）

2025年上学期高一数学章节小测（第十三章）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）下列命题中正确的是（）A.经过三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.四边形一定是平面图形D.不共面的四点中，任意三点不共线已知空间中两条直线a，b，以及平面α，β，下列说法正确的是（）A.若a//α，b//α，则a//bB.若a⊥α，b⊥α，则a//bC.若a//α，a//β，则α//βD.若α⊥β，a⊂α，则a⊥β在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，与棱AA₁垂直的棱共有（）A.4条B.6条C.8条D.12条已知直线l与平面α所成的角为30°，则直线l与平面α内所有直线所成角的最小值是（）A.0°B.30°C.60°D.90°下列条件中，能判定两个平面平行的是（）A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，则三棱锥P-ABC的体积为（）A.1/6B.1/3C.1/2D.1已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点P∈l，给出下列四个结论：①过P与l垂直的直线在α内；②过P与β垂直的直线在α内；③过P与l垂直的直线必与α垂直；④过P与β垂直的直线必与l垂直。其中正确的是（）A.①②B.②③C.②④D.③④如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱BC，C₁D₁的中点，则直线EF与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（）A.√2/2B.√3/3C.√5/5D.√6/6已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，则该三棱柱的外接球的表面积为（）A.4πB.8πC.12πD.16π在四面体ABCD中，AB=CD=√2，AC=BD=√3，AD=BC=√5，则四面体ABCD的体积为（）A.√2/3B.√3/3C.2/3D.1已知直线m，n和平面α，β，γ，下列条件中能推出α//β的是（）A.m⊂α，n⊂β，m//nB.m⊂α，n⊂α，m//β，n//βC.α⊥γ，β⊥γD.m⊥α，m⊥β如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2，D是A₁B₁的中点，则异面直线CD与A₁C所成角的余弦值为（）A.√10/10B.√10/5C.3√10/10D.√5/5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于平面xOy的对称点的坐标是________。已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为________弧度。如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是棱DD₁的中点，则三棱锥M-ABC的体积为________。给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内。其中真命题的序号是________。（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分）（本小题满分10分）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点。（1）求证：BD₁//平面ACE；（2）若正方体的棱长为2，求三棱锥E-ABC的体积。（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2。（1）求证：平面PAB⊥平面PBC；（2）求点A到平面PBC的距离。（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，∠BAD=60°。（1）求证：BD⊥PC；（2）求二面角P-BC-A的正切值。（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，D是A₁B₁的中点。（1）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；（2）求异面直线AC₁与CD所成角的余弦值。（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC=2√2。（1）求证：PA⊥平面PBC；（2）求三棱锥P-ABC的表面积。（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=4，E是PD的中点。（1）求证：AE//平面PBC；（2）在线段BC上是否存在一点F，使得平面AEF⊥平面PCD？若存在，求出BF的长；若不存在，请说明理由。参考答案及评分标准一、选择题D2.B3.C4.B5.D6.A7.C8.C9.C10.A11.D12.A二、填空题(1,2,-3)14.π15.4/316.③三、解答题（1）证明：连接BD交AC于O，连接OE。∵ABCD是正方形，∴O是BD的中点。∵E是DD₁的中点，∴OE//BD₁。∵OE⊂平面ACE，BD₁⊄平面ACE，∴BD₁//平面ACE。（5分）（2）解：V_E-ABC=1/3×S_△ABC×ED=1/3×(1/2×2×2)×1=2/3。（10分）（1）证明：∵PA⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴PA⊥BC。∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB。∵BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC。（6分）（2）解：设点A到平面PBC的距离为h。∵V_A-PBC=V_P-ABC，∴1/3×S_△PBC×h=1/3×S_△ABC×PA。在Rt△PAB中，PB=√(PA²+AB²)=2√2。在Rt△PBC中，S_△PBC=1/2×PB×BC=1/2×2√2×2=2√2。在Rt△ABC中，S_△ABC=1/2×AB×BC=1/2×2×2=2。∴1/3×2√2×h=1/3×2×2，解得h=√2。即点A到平面PBC的距离为√2。（12分）（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD。在△ABD中，AB=AD=2，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=AD=2。∵ABCD是平行四边形，∴ABCD是菱形，∴AC⊥BD。∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC。∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC。（6分）（2）解：过A作AH⊥BC于H，连接PH。∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC。∵AH⊥BC，PA∩AH=A，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥PH。∴∠PHA是二面角P-BC-A的平面角。在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，∴AH=AB×sin60°=2×√3/2=√3。在Rt△PAH中，tan∠PHA=PA/AH=2/√3=2√3/3。即二面角P-BC-A的正切值为2√3/3。（12分）（1）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴A₁C₁=B₁C₁=2，∠A₁C₁B₁=90°。∵D是A₁B₁的中点，∴C₁D⊥A₁B₁。∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁D⊂平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥C₁D。∵A₁B₁∩AA₁=A₁，∴C₁D⊥平面A₁ABB₁。∵CD//C₁D，∴CD⊥平面A₁ABB₁。（6分）（2）解：连接AC₁，BC₁。∵AC₁//BC₁，∴∠BC₁D是异面直线AC₁与CD所成的角。在Rt△C₁DB₁中，C₁D=√(C₁B₁²-B₁D²)=√(4-2)=√2。在Rt△BC₁D中，BC₁=√(BC²+CC₁²)=√(4+4)=2√2，BD=√(BB₁²+B₁D²)=√(4+2)=√6。∴cos∠BC₁D=(C₁D²+BC₁²-BD²)/(2×C₁D×BC₁)=(2+8-6)/(2×√2×2√2)=4/8=1/2。即异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为1/2。（12分）（1）证明：取BC中点D，连接PD，AD。∵PB=PC=2，BC=2√2，∴PD⊥BC，PD=√(PB²-BD²)=√(4-2)=√2。∵AB=AC=BC=2√2，∴AD=√(AB²-BD²)=√(8-2)=√6。∵PA=2，∴PA²+PD²=4+2=6=AD²，∴PA⊥PD。∵PA²+PB²=4+4=8=AB²，∴PA⊥PB。∵PD∩PB=P，∴PA⊥平面PBC。（6分）（2）解：S_△PAB=S_△PAC=1/2×PA×PB=1/2×2×2=2。S_△PBC=1/2×BC×PD=1/2×2√2×√2=2。S_△ABC=√3/4×(2√2)²=√3/4×8=2√3。∴三棱锥P-ABC的表面积S=2+2+2+2√3=6+2√3。（12分）（1）证明：取PC中点F，连接EF，BF。∵E是PD的中点，F是PC的中点，∴EF//CD，EF=1/2CD。∵ABCD是矩形，∴AB//CD，AB=CD。∵F是BC的中点，∴BF//AB，BF=1/2AB。∴EF//BF，EF=BF，∴四边形BEFC是平行四边形，∴BE//CF。∵BE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC，∴BE//平面PBC。（6分）（2）解：存在点F，使得平面AEF⊥平面PCD，此时BF=1。理由如下：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)。设F(4,t,0)，0≤t≤2。则AE=(0,1,1)，AF=(4,t,0)。设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，则{n·AE=y+z=0,{n·AF=4x+ty=0。令y=1，则z=-1，x=-t/4，∴n=(-t/4,1,-1)。平面PCD的法向量m=(0,1,1)。∵平面AEF⊥平面PCD，∴n·m=0+1-1=0，恒成立。∴无论t取何值，平面AEF⊥平面PCD。当t=1时，F(4,1,0)，此时BF=1。∴在线段BC上存