专题05一元二次方程（全国通.用）（第02期）（解析版）-2025年中考数学真题分类汇编

专题05一元二次方程考点概览考点1一元二次方程的解考点2解一元二次方程考点3根的判别式考点4根与系数的关系考点5一元二次方程的应用考点1一元二次方程的解1．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为．【答案】【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．【详解】解：将代入原方程得：，解得：，故答案为：．2．（2025·四川达州·中考真题）已知关于的方程的一个根是，则的值为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解．【详解】解：∵关于的方程的一个根是，∴解得：，故答案为：．考点2解一元二次方程3．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的根是．【答案】，【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；根据题意，先移项，然后利用直接开平方法即可求解．【详解】解：，，故答案为：，．4．（2025·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：；（2）解不等式组：．【答案】（1），；（2）【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式组的解法．（1）把方程化为，再进一步解方程即可．（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．【详解】解：（1），方程移项得：，配方得：，即，开方得：，解得：，．（2），由①得：，由②得：，则不等式组的解集为．考点3根的判别式5．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得：，故选：．6．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．只有一个实数根【答案】C【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况．【详解】解：对于方程，其判别式为：由于，则，因此．故判别式恒为负数，方程无实数根，故选：C．7．（2025·甘肃兰州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】解：对于方程，其判别式为，∵方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得．故选：D．8．（2025·四川巴中·中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则．【答案】4【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实根，可得，即可解答，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实根，，解得，故答案为：4．9．（2025·西藏·中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则．【答案】/【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式．根据一元二次方程根的判别式和题意得出，进行计算即可．【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，，，解得：．故答案为：．10．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，故答案为：．11．（2025·青海西宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴且，∴且，∴k的值可以为（答案不唯一）；故答案为：（答案不唯一）．12．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．【答案】【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，即，解得：．故答案为：．13．（2025·江苏常州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数．【答案】1【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，即，解得．故答案为：1．14．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”．（1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是（填番号）；①；②；③．（2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为．【答案】③【分析】本题考查新定义问题，理解“单位圆点”的定义．是解题的关键．“单位圆点”∶若点满足，则称点P为“单位圆点”．（1）对于函数图象上是否存在“单位圆点”，可联立函数解析式与单位圆方程，根据方程是否有解来判断．（2）对于一次函数，同样联立方程，根据方程有解的条件求出m的取值范围．【详解】解：（1）①联立，整理得：，则，则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”．②联立，整理得：，令，则方程变为，即，则，则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”．③联立，整理得：，则，∵恒成立，∴，解得：，当时，，则点满足，即函数的图象上存在“单位圆点”．故答案为：③（2）联立，整理得：，则，解得：，故答案为：考点4根与系数的关系15．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，．【详解】解：∵和是方程的两个根，∴，，∴，故选：C16．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可．【详解】解：，，，∴a、b的值为1，，∴，故答案为：．17．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则．根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解．【详解】解：∵方程的两个根分别是，∴，，∴，，∴，故答案为：．考点5一元二次方程的应用18．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）．(1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？(2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？【答案】(1)三边长分别为(2)三边长分别为【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键．（1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可；（2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可．【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长，则解得：，当时，（不符合题意，舍去）当时，（符合题意）三边长分别为：．（2）解：设矩形围栏的面积为．则有当时．有最大值当时，（符合题意）三边长分别为：．19．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：方案一方案二如图1，围成一个面积为的矩形花圃．如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？【答案】(1)15米；(2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键．（1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解．（2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值．【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，根据题意得，解得答：与墙垂直的边的长度为15米；（2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为，根据题意得∴∵，∴当时，有最大值363，答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．20．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可．【详解】解：设小路的宽度为，由题意得，，整理得，解得或（舍去），答：小路的宽度为．21．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)3元(3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键；（1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案；（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解；（3）设该款巴