专题01 不等式能成立及恒成立的八大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册（学生版）

专题01不等式能成立及恒成立的八大题型题型一：上恒成立问题 2题型二：给定区间内恒成立问题 3题型三：恒成立综合性问题 4题型四：上能成立问题 6题型五：给定区间内能成立问题 7题型六：能成立综合性问题 8题型七：能成立及恒成立综合问题 10题型八：双变量问题 11【方法指导】一、高中数学中不等式恒成立问题的解决办法主要有：1.

分离参数法：将参数与变量分离，转化为求函数最值。 2.

函数最值法：直接构造函数，求其最值，使不等式与最值比较（如f(x)≥0恒成立即f(x)最小值≥0）。3.

数形结合法：转化为函数图像位置关系，如一方图像恒在另一方上方（如f(x)图像恒在g(x)上方），简化分析。4.

判别式法：针对二次不等式，用判别式判断解集情况。5.

变量替换法：换元简化不等式，再用上述方法求解。二、高中数学中不等式能成立问题的解决办法主要有：1.

分离参数法：分离参数与变量，转化为求函数最值。2.

函数法：构造函数，利用函数值域判断是否存在满足条件的解。3.

数形结合法：将不等式转化为函数图像关系，通过图像交点等分析。4.

等价转化法：转化为对应方程有解或区间内存在值满足条件。题型一：上恒成立问题不等式上恒成立求参数的取值范围问题的策略简单不等式相关的用不等式性质及基本不等式.一元二次不等式：用开口方向和判别式判断．（3）分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过求出f(x)的最值，即得参数的范围．1．（24-25高一上·福建泉州·期中）（多选）若，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．2．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）（多选）设，，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．3．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是.4．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是．5．已知关于x的一元二次方程对任意的实数a均有实数根，则实数m的取值范围是．6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，（且）恒成立，则实数a的取值范围是.题型二：给定区间内恒成立问题不等式定区间内恒成立求参数的取值范围问题的策略（1）简单不等式相关的用不等式性质及基本不等式。（2）分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过求出f(x)的最值，即得参数的范围．8．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．10．（2025高一上·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是．11．（2025高一·全国·专题练习）（1）设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是；（2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是.12．（25-26高三上·福建龙岩·阶段练习）已知二次函数．(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．(2)解关于的不等式（其中）．题型三：恒成立综合性问题不等式恒成立求参数的取值范围问题之特别注意解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．13.（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．已知函数的定义域和值域都为，则（

）A． B．C． D．不存在15．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象恒过原点B．若，则是增函数C．若的定义域为，则的取值范围为D．若的值域为，则的取值范围为16．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若的定义域为，则实数的取值范围为；（2）若函数的值域为，则实数的取值范围为．17．（2025高一·全国·专题练习）（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为．（2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为．18．（24-25高二下·江苏南京·期末）不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合．(1)求集合；(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．19．（2025高一·全国·专题练习）已知函数．(1)若的定义域为，求实数的取值范围；(2)若的值域为，求实数的取值范围．20．已知，使；不等式对一切恒成立.如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围.21．已知函数．(1)当时，求该函数的值域；(2)若对于恒成立，求的取值范围．题型四：上能成立问题不等式能成立问题的解题技巧：（1）优先用分离参数法，将参数与变量分离，转化为“参数与函数最值比较”，如存在x使f(x)＞a成立，即a＜f(x)最大值.（2）直接构造函数，分析其值域，若值域与不等式范围有交集则成立.（3）注意与恒成立问题的区别，能成立关注“存在性”，常与最值、值域相关联.22．已知函数．若关于x的方程有解，则a的取值范围为．23．已知函数．(1)当时，解关于的不等式；(2)若在上有解，求实数的取值范围．24．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数.(1)当时，求的值域；(2)若最小值为，求m的值；(3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围．题型五：给定区间内能成立问题不等式能成立问题的解题技巧：（1）优先用分离参数法，将参数与变量分离，转化为“参数与函数最值比较”，如存在x使f(x)＞a成立，即a＜f(x)最大值.（2）直接构造函数，分析其值域，若值域与不等式范围有交集则成立.（3）复杂问题可结合数形结合，将不等式转化为两函数图像关系，通过交点或位置判断存在性.（4）注意与恒成立问题的区别，能成立关注“存在性”，常与最值、值域相关联.（25-26高一上·全国·单元测试）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是．26．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是．27．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围.28．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知当时，有解，则实数的取值范围是．题型六：能成立综合问题不等式能成立问题的解题技巧：（1）对于对数函数与二次函数复合的函数最值问题，通常采用换元法将对数函数转化为新变量，转化为二次函数在给定区间上的最值问题求解.（2）对于不等式有解求参数范围问题，常通过参变分离将参数与变量分离，转化为求函数最值问题，再结合函数单调性等性质求解.29．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．30．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数．(1)求函数的定义域；(2)若不等式有解，求实数的取值范围．31．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上：(1)有解，求的范围；(2)有一解，求的范围；(3)有两不同解，求的范围；(4)无解，求的范围．32．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上：(1)有解，求的范围；(2)有一解，求的范围；(3)有两不同解，求的范围；(4)无解，求的范围．33．已知，函数的最大值为4，最小值为0.(1)求的值(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围.题型七：能成立及恒成立综合问题不等式能成立及恒成立问题：一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．34．（2025高三·天津·专题练习）设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根.（1）则的取值范围是；（2）在此条件下，使有解，则的取值范围为.35.（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数且.(1)若的图象经过点，求不等式的解集；(2)若存在x，使得，求a的取值范围.题型八：双变量问题双变量问题的解题技巧主要有1.

消元法：利用已知等量关系消去一个变量，转化为单变量问题求解。2.

分离变量法：将两变量分置于等式或不等式两侧，转化为两个函数的最值比较。3.

换元法：设比值（如t=x₁/x₂）、和差（如t=x₁+x₂）等，将双变量化为单变量t的函数。4.

构造函数法：构造含双变量的新函数（如差值函数），研究其单调性或最值。5.

利用对称性：若变量对称，可假设x₁≥x₂简化讨论，减少运算量。36．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．37．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是.38．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足对任意的实数a，b，都有，且当时，．若对所有的恒成立，则实数的取值范围为．39．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在，使得，则的取值范围为．40．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是.41．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)函数，若存在，使得成立，求实数的取值范