2024年广东省高考数学一轮复习第5章第1讲：平面向量的概念及线性运算（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第5章第1讲：平面向量的

概念及线性运算

【考试要求】1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运

算，并理解其几何意义及向量共线的含义3了解向量线性运算的性质及其几何意义.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小称为向量的长度(或模).

(2)零向量：长度为2的向量，记作I

⑶单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量，规定：零向量与任息向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算法则(或几何意义)运算律

纥

交换律：a~\-b=b±a；

加法三角形法则

结合律：(。+力)+c=a+(b+c)

a

平行四边形法则

减法a-b=a+(—b)

几何意义

|加|=回回，当2>0时，加的方向与a

的方向相同;

数乘

当z<0时,〃的方向与a的方向相反;

Ma+b尸应土独

当2=()时，xa=0

3.向量共线定理

向晟〃(。#0)与h共线的充要条件是：存在唯---个实数人使b=ka.

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【常用结论】

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向

量，即耳彳2+而3+不彳4+…无”特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量

和为零向量.

2.若产为线段AB的中点，。为平面内任意一点，则5?=；（夕+m）.

3.若A,B,。是平面内不共线的三点，则函+成+正=00户为△ABC的重心，AP=j（AB

+AC）.

4.对于任意两个向量4都有同一例Wkr!如这⑷+囹.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“义”）

（1）间与向是否相等，与。，力的方向无关.（J）

（2）若向量〃与b同向，且⑷>|力|,则a>b.（X）

（3）若向量篇与向量6b是共线向量，则A,B,C,。四点在一条直线上.（X）

（4）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.（V）

【教材改编题】

1.（多选）下列命题正确的是（）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于。

C.若“，力都为非零向量，则使方端=。成立的条件是。与力反向共线

D.若a—b>b=c,则a—c

答案BCD

解析A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；

B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0,故B正确；

C项，因为合与由都是单位向量，所以只有当裾与日是相反向量，即。与力是反向共线时才

成立，故C正确；

D项，由向量相等的定义知D正确.

2.下列各式化简结果正确的是（）

A.AB^-AC=BC

B.AM+MB+B（）+dM=AM

C.AB+«C-AC=O

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D.AB-AD-DC=BC

答案B

3.已知。与》是两个不共线的向量，且向量〃+我与一法一3°）共线，则7=

答案-1

解析由题意知存在AWR,

使得。+乃=和一（。一30],

T,

所以解得

x=~y

-探究核心题型

题型一平面向量的基本概念

例1（i）（多选）下列说法中正确的是（）

A.单位向量都相等

B.任一向量与它的相反向量不相等

C.若同=仍|,则。与力的长度相等，与方向无关

D.若。与力是相反向量，则同=步|

答案CD

解析对于A,单位向量方向不同时并不相等，A错误；

对于B,0的相反向量为0,B错误；

对于C,⑷=|例，则。与力的长度相等，与方向无关，C正确；

对于D,相反向量是长度相等，方向相反的向量，D正确.

（2）（2023・福州模拟）如图,在正△48C中，£>,E,尸均为所在边的中点,则以下向量和危相

等的是（）

A.EFB.FBC.DFD.ED

答案D

解析VEF,FB,而与丘:方向不同，・•・际，曲,5?与危均不相等;

•・•丽与丘7方向相同，长度相等，：,ED=FC.

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思维升华平行向量有关概念的四个关注点

(1)非零向量的平行具有传递性.

⑵共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.

(4忘是与。同方向的单位向量.

跟踪训练1(1)(多选)下列命题中正确的是()

A.向量B的长度与向量法的长度相等

B.向量〃与力平行，则〃与力的方向相同或相反

C.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

D.两个终点相同的向量，一定是共线向量

答案AC

解析对于A,向量脑与向量函的长度相等，方向相反，故A正确；

对于B,向量。与。平行，且。或b为零向量时，不满足条件，故B错误;

对于C,两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故C正确；

对于D,两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D错误.

(2)如图所示，0是正六边形人BCOE户的中心，则与正相等的向量为()

A.函B.CDC.ADD.6D

答案D

解析A,B选项均与证万向不同，C选项与比长度不相等，D选项与反:方向相同，长度相

等.

题型二平面向量的线性运算

命题点1向量加、减法的几何意义

例2(2022・济南模拟)已知单位向量€\,02，…，^2022♦则⑶+e?+…+e2023|的最大值是

，最小值是.

答案20230

解析当单位向量右，02,…，C2O23方向相同时，

|ei+e2H----卜也0231取得最大值，

\e\-\-C2-\---------h<?2O23l=ki|+kzlH---------HG023I

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二2023；

当单位向量Cl,€2,…，佻023量尾相连时,

e\+e2-\----F02023=0,

所以旧+&2+…+e2023l的最小值为0.

命题点2向量的线性运算

例3（2022.新高考全国I）在△A8C中，点。在边48上，8O=2DA.记3=/〃，CD=n,则

为等于（）

A.3m~2nB.—2/n+3n

C.3m+2/iD.2〃?+3〃

答案B

解析因为8O=2D4,所以施=3屐），所以而=&+箭?=3+3屐）=3+3（而一2）=

-2之+32=-2机+3〃.故选B.

命题点3根据向量线性运算求参数

例4（2023・大连模拟）在A/WC中，府）=2而,AE=2EC,P为线段。石上的动点，若布=2诵

+"/，九〃£R,则％+4等于（）

23

-C-2

A.32D.

答案B

解析如图所示，由题意知,

AE=^AC,AD=|AB,

设丽=赤，

所以崩=病+汾=病+/这

=AD-\-x(AE-Ab)

=.vAE+(l-v)Ab

=|AAC+G(】—

22

所以A=T(1—x),

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22?

所以4+4=yH~*l—x)=，.

思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略

(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.

(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.

跟踪训练2(1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线面成的星星图形，有许多国家的国旗

设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图，在正五角星中，每个角的角尖为36。，

则下列说法正确的是()

A.而+万=0^.AB//FE

C.AF+FG=2HGD.AF=AB+AJ

答案D

解析A项，由图可知CH与〃)相交，所以人与历不是相反向量，故A错误;

B项，油与5％共线，助与互不共线，所以前与而不共线，故B错误；

C项，AF+FG=AG^2HG,故C错误；

D项，连接BF,JF,由五角星的性质可得四边形为平行四边形，

根据平行四边形法则可得"=前+节，故D正确.

(2)尸是AABC所在平面上一点，满足茂+通+元=2Q,△ABC的面积是多,△附8的面

积是鲂，贝4()

A.Si=452B.SI=3S2

C.St=2S?D.S\=S?

答案B

解析,・,成+崩+元=2逼=2(崩+而)，

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/.3AP=BC,

・,・崩〃正并且方向一样，

设A/与6c的距离为h,

「SZJMB=习APM,S△他c=j|3q•力,

又|就］=3|/I，

；・S△出8=；S△A8C，S\=3S?.

(3)在△ABC中，P是BC上一点，若加=2正,崩=•+〃/，则22+"=

答案|

解析在△48C中，BP=2PCt

-*-*-*-*2--►2一-*1-2f

则4P=AB+BP=A〃+产=48+§(4(7—/1加=铲8+铲C,

又亦=2篇+痴"且赢，/不共线，

124

---

333

题型三共线定理及其应用

例5已知O,A,8是不共线的三点，且方=,疝\+〃为(〃?，〃£R).

(1)若〃?+〃=1,求证：A,P,4三点共线；

(2)若4,P,B三点共线,求证：m+〃=l.

证明(1)若加+〃=1,则而=〃?豆+(1—〃。加，0P=[!n-\~(\-m)]0Pf

故fnOP+(\-m)OP=mdA-\-(\-m)OB,

即m(0P-dA)=(\-m)(dB-0P)f

mAP=(\-m)PB,即/，而共线，

又崩，而有公共点P,

则4,P,B三点共线.

(2)若A,P,3三点共线，则存在实数九使得崩=2成，

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—>•―►—►—>

/A

变形得成一届（加一亦），即（团办励+扇，OP==ll~-}~7~^又赤

=21+=2°^12।X°1।X1।X

="iOA+〃O8,■普1,故m4-n=l.

思维升华利用共线向量定理解题的策略

{\)a//b0a=MSW0)是判断两个向量共线的主要依据.

⑵若a与b不共线且Aa=ub,则A=//=0.

(3)若51=7油+〃次(2,〃为常数)，则A,B,。三点共线的充要条件是/l+"=l.

跟踪训练3(1)若。，力是两个不共线的向量，已知荻=。-2儿的=2°+姑，PQ=3a-b,

若M,N,Q三点共线，则A等于()

A.-1B.1C.1D.2

答案B

解析由题意知，

NQ=PQ-PN=a-(k-\-\)bt

因为M,N,Q三点共线，故存在实数九

使得加=/应,

即a-2b=，“一(%+1)句,

整理得(1一力〃=[2—4+1)股,

1—2=0,

因为向量。，力不共线,

2—孙+1）=0,

解得2=1,k=1.

(2)如图，△48C中，点M是BC的中点，点N满足病二神,AM与CN交于点D,病=7届,

则2等于()

A.|

B4C,5D6

答案C

解析在△A8C中，因为点M是8c的中点，所以病=:矗+吴?,则病=痴衣=去诵十冠,

-*2——32-A-*

又于是得4/）=yAN+54C,

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7；；4

因为点D,共线，见有玄+；=解得％

C,N•1,J

课时精练

e基础保分练

1.化简2m—35）-3（。+力）的结果为（）

A.a+4bB.~a~9b

C.2。+8D.a-3b

答案B

解析2（Q—3b）—3（〃+力）=2a—6b—3。-3b=—a—9b.

2.（多选）下列命题中，正确的是（）

A.若a〃b,b//c,则a〃c

B.在△A6C中，A5+5C+G4-0

C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反

D.如果非零向量0,〃的方向相同或相反，那么的方向与。，力之一的方向一定相同

答案BC

解析对于A选项，。平行于任何向量，若5=0,满足。〃b,b//c,但不一定满足。〃c,

故A错误；

对于B选项，首尾顺次相接，正确；

对于C选项，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（大小相等，方向相反），

故C正确；

对于D选项，当a+b=0时，零向量的方向是任意的，故D错误.

3.设a,b是平面内两个向量,“同=|0+例”是“|例=0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当。=一3时，\a-\-b\=—\b-\-b=刎=同，推不出版|=0；

当步1=0时，b=0,则|。+引=|。+0|=同，

故"⑷=|a+b|"是“步|=0”的必要不充分条件.

4.已知向量。和力不共线，向量B=a+〃也BC=5a+3b,诙=一34+34若A,B,D

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三点共线，则机等于（）

A.3B.2C.1D.-2

答案A

解析因为4,B,。三点共线，

所以存在实数九使得应）=派,

肪=证+讶＞=2。+6。，

所以2〃+6b=ia+ni/.b,

2=x,

所以，解得〃?=3.

6=wA,

5.在边长为1的正方形ABC。中，设施=〃，AD=b,AC=c,则|。一力+c|等于（）

A.IB.2C.3D.4

答案B

解析因为四边形4As是边长为1的正方形，

AB=a,AD—b,AC=c,

所以°一办+。=而一病+正=花一病+（b+病）=2前，

又历8|=1,所以M+c|=|2A8|=2.

6.如图，BC,DE是半径为1的圆0的两条直径，BF=2FO,且危=［而+〃译:,贝I」2+4

等于（）

A.1B.2

C.3D.4

答案D

解析•.•无'=用+仇'=42=4乂；（历+崩）=2历+2荏，

••z=/z=2»••人+"=4.

7.已知向量白，C2是两个不共线的向量，。=2的一02与。=%+〃2共线，则2等于（）

A.2B.-2C.-3D.^

答案C

解析因为。=24一e?与。=6+北2共线，所以履=5，AWO,

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所以k（2ei—。2）=6|+也.

因为向量约，。2是两个不共线的向量,

2k=\,解得z=-1.

所以

—2=2,

8.已知△480中，OA=OB=1,ZAOB=^若OC与线段AB交于点P,且满足沆1=/.—+

〃协，|次］=小，则2+〃的最大值为（）

2

A.gB.1C.小D.2

答案D

解析•・•线段OC与线段A8交于点P,设无=工况。21）,

则瓦即丽=彳后+£油，

又,.,P,A,3三点共线，则海=1，即2+/=乂

•：OA=OB=\t，当P为A8中点时|办|最小，此时x最大,

又乙408=1，故此时|5>|=坐，又因为|沆1=小，

：.0C=20P,

即x=2,即入+"的最大值为2.

9.设向量°,力不平行，向量与。+3）平行，则实数f的值为

答案I

解析:•向量/。+力与。+3〃平行，

・•・存在实数女使得幻+6=岚。+36）,

化为（，—攵）〃+（1—3k）b=0,

•:向量。，力不平行，

t—k=O,解得•t=k=g.

10.已知△ABC的重心为G,经过点G的直线交AB于D,交AC于E,若而=2祐,AE=pAC,

则兄=---------

答案3

解析如图，设尸为8c的中点，

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A

则后=汕=/赢+充）,

又诵，泰，AC=-AE,

•\AG=jjAb-\-j^AEt

又G,D,E三点共线，

0+E叫+》.

R综合提升练

11.己知平面上不共线的四点。，A,8,C,若后一4a+3沆=0,则网等于（）

IC4I

B.^号D.g

A3

答案B

解析由后一4协+3历=0,得届一协=3（协一％,即成=3油,

■»,»>4，>

所以CA=CB+8A=1R4,

所以|—4B|3=f/A|,即\A怨B\得3

|CA|

12.已知M为△48C的重心，。为8c的中点，则下列等式成立的是（）

A.\MA\=\MB\=\MQ

B必+凝+证=0

c.威=与防十;访

JJ

D.SGMBC=RS~\BC

答案D

解析如图，M为△ABC的重心，则麻+麻+证=0,A错误，B错误;

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A

-►-►-►—►I-A

BM=BD+DM=BD+^DA

=丽+/游一而）=gd+|防，C错误；

由OA/=gAZ）得SdMBC=qS&ABC,D正确.

13.设P,Q为aABC内的两点，旦不=菰+水，而=/+水，贝UZVIBP的面积与

△ABQ的面积之比为（）

A4R843

A，5B55DJO

答案D

解析如图，设病=各互加=家乙

.,・崩=扬+］就=病+病，

由平行四边形法则知N0〃A4

・•・A/WP的面积与4ABe妁面积之比为1

同理，由通=拗+|流，可得AAB。的面积与△ABC的面积之比为|,

I?3

・•・△A8P的面积与△ABQ的面积之比为§：5=75-

14.（2023・丽江模拟）在△48C中，点。在线段AC上，且满足的=会前），点。为线段B。

上任怠一点，若实数x,y满足感=疝；十）而；，则:十:的最小值为.

答案4+2小

解析由题意知点。满足疝=领?，故检=工赢+）元=.葡+3）篇），由点Q,B,。三点

共线可得x+3y=l,x>0,）>0,则5+"=（《+/）。+3），）=4+,+修4+2小，当且仅当§=

,即尸夸二尸直沪时等号成立.

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q拓展冲刺练

15.（多选）设点M是△AAC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A.若丽/=；证，则俞=