4.6 角中常用数学思想（八大题型）（举一反三）（教师版）

专题4.6角中常用数学思想【八大题型】 【沪科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1方程思想之用角的和差列方程】 1【题型2方程思想之用平角、周角列方程】 5【题型3整体思想之设单角参数求角度】 10【题型4整体思想之设双角参数求角度】 18【题型5分类讨论思想之按角的内外部分类】 25【题型6分类讨论思想之按顺逆时针分类】 29【题型7分类讨论思想之n等分角】 39【题型8数形结合求角度】 44知识点1：角的和差列方程结论:∠ABE=∠ABC+∠CBD+∠DBE.【题型1方程思想之用角的和差列方程】【例1】（23-24七年级·山东淄博·期中）已知点O是直线AB上的一点，OC，OE，OF是三条射线，∠COE(1)当∠AOC①若射线OC，OE，OF在直线AB的同侧（图1），②根据①中的结果，猜想∠BOE和∠COF的数量关系是③当OC与OE，OF在直线AB两旁时（如图2），设∠COF=x，请通过计算，用x(2)当∠AOC>90°，OC与OE，OF在直线AB两旁时（如图3），上述∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照【答案】(1)①50°；②∠BOE=2∠COF(2)∠BOE【分析】（1）①根据已知角的度数求出∠EOF，∠AOE，再根据平角定义求出∠BOE的度数即可；②由①中求出的结果即可求解；③根据已知角的度数表示出∠EOF，（2）依据前面③的方法表示出∠EOF，∠AOE，表示出∠BOE，可得本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确认图是解题的关键．【详解】（1）解：①∵∠COE=90°，∴∠EOF∵OF是∠AOE∴∠AOE=2∠∴∠BOE②由①中的结果可得∠BOE故答案为：∠BOE③②中的关系仍然成立，理由如下：∵∠COE=90°，∴∠EOF∵OF是∠AOE∴∠AOE∴∠BOE即∠BOE（2）解：不成立，∠BOE和∠COF的数量关系为证明：设∠COF∵∠COE=90°，∴∠EOF∵OF是∠AOE∴∠AOE∴∠BOE即∠BOE【变式1-1】（23-24七年级·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若∠COB=3∠AOD，OE为∠AOD的角平分线，则A．45° B．60° C．65° D．67.5°【答案】D【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设∠AOD=x，则∠COB=3x，得到∠BOC=180°-x【详解】解：设∠AOD=x由题意可知，∠AOB∴∠BOC∴180°-解得，x=45°∴∠AOD∵OE为∠AOD∴∠DOE∴∠故选：D．【变式1-2】（23-24七年级·重庆开州·期末）如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠CODA．40° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】设∠COB=2∠AOC=2x，则∠AOB=3x，根据角平分线的定义可以推出【详解】解：∵∠COB=2∠AOC，OD平分∠∴设∠COB=2∠AOC∴∠∴∠COD∴0.5x解得：x=40°∴∠AOD故选：C．【点睛】本题考查的是角度计算，涉及到角平分线的定义以及方程思想，熟练掌握角平分线的定义并灵活运用是解答本题的关键．【变式1-3】（23-24七年级·甘肃庆阳·期末）如图，∠AOB:∠BOC:∠COD=2:3:4，射线OM，ON分别平分∠AOB，∠A．14° B．28° C．42° D．56°【答案】B【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差倍分，设未知数，列出一元一次方程，是解题的关键．首先设设∠AOB=2x°，则∠BOC【详解】解：∵∠AOB设∠AOB=2x°，则∵射线OM、ON分别平分∠AOB，∠∴∠BOM=1又∵∠MON∴x+3x+2∴∠AOB故选：B．知识点2：用平角、周角列方程条件:A,B,C三点共线结论:∠ABD+∠DBC=180°条件:已知射线OA,OB,OC.结论:∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°【题型2方程思想之用平角、周角列方程】【例2】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，OF平分∠BOD，∠BOF:∠A．45° B．55° C．60° D．65°【答案】C【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键；根据∠BOF:∠BOC=1:4，设∠BOF【详解】解：设∠BOF=x∵OF平分∠BOD∴∠BOD因为∠BOD∴2x解得：x=30所以∠BOF∵OE⊥∴∠EOF∴∠BOE故选：C．【变式2-1】（23-24七年级·江苏南京·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠【答案】132【分析】此题考查了角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义，准确识图，理解角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义是解决问题的关键．设∠AOE=α，∠BOF=β，根据∠AOE+∠BOF=66°，得β=66°-α，再根据角平分线的定义得∠DOB【详解】解：设∠AOE=α∵∠AOE∴α+∴β=66°-∵OF平分∠BOD∴∠DOF∴∠DOB∵OE⊥∴∠EOD∵∠AOE∴α+90°+2∴α+2∴α+2解得：α=42°即∠AOE∴∠AOD∴∠BOC故答案为：132．【变式2-2】（23-24七年级·湖北恩施·期末）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC=180°【答案】115°或【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得∠BOE的度数是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：OM在AC上方，或OM在AC下方，先依据已知条件求得∠BOE的度数，再根据【详解】解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若OM在AC上方，∵OD平分∠BOC∴∠COD∵4∠BOE∴∠AOB=4∠BOE设∠BOE=α，则∠∵∠AOC∴∠AOE即3α解得α=25°∴∠BOE又∵OM∴∠MOB∴∠MOE②如图2所示，若OM在AC下方，同理可得，∠BOE又∵OM∴∠MOB∴∠MOE综上所述，∠MOE的度数为115°或65°故答案为：115°或65°．【变式2-3】（23-24七年级·安徽蚌埠·期末）如图，直线AB,CD相交于点O,∠AOC=∠BOD，∠EOF=∠COG=90°,OA平分∠A．45° B．60° C．72°或45° D．40°或60°【答案】C【分析】设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或12x°【详解】解：设∠DOE=x°，射线OD将∠BOE分成了角度数之比为2:1当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD=12x°，∠AOC=∠BOD∵OA平分∠COF∴∠AOC=∠AOF=∵∠EOF=∠∴12x+12解得，x=45；∠COF=2∠AOC=45°；当∠BOD:∠DOE=2:1时，∠BOD=2x°，∠AOC=∠同理，∠AOC=∠2x+2x+90+x=180，解得：x=18，∠COF=2∠AOC=72°；故选：C．【点睛】本题考查了角的运算、角的度量和角平分线，解题关键是根据角度比设未知数，表示出其他角，然后根据平角列方程，注意分类讨论．【题型3整体思想之设单角参数求角度】【例3】（23-24七年级·福建福州·期末）已知∠AOB=120°，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠(1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则∠MON(2)如图②，若∠COD=40°，∠AOC(3)如图③，在∠AOB内，若∠COD=α(4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（0<∠AOC<180°，0<∠BOD<180°【答案】(1)80(2)80(3)(60+(4)∠MON=120°-【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOC=∠COD=∠DOB=1（2）根据角平分线的定义得到∠MOC=12∠AOC，∠DON（3）与（2）一样得到∠AOC+∠DOB=120°-α（4）反向延长OA、OB得到OA'、OB'，然后分类讨论：当OD、OC在∠AOB'内部；当OD、OC在当OD、OC在∠A'OB内部，可计算得到∠MON=60°+12α；当【详解】（1）解：∵OC、OD是∠∴∠AOC∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠∴∠MOC=1∴∠MON故答案为80；（2）解：∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠∴∠MOC=1∴∠MOC∵∠AOB=120°，∴∠∴∠MOC∴∠MON故答案为80；（3）解：∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠∴∠MOC=12∠AOC∴∠MOC+∠DON=1∵∠AOB=120°，∠COD=α，∴∠AOC+∠DOB=120°-α，∴∠MOC+∠DON=60°-1∴∠MON=60°-1故答案为(60+1（4）解：反向延长OA、OB得到OA'、OB'，如图，当OD、OC在∠AOB'内部，设∠AOD=x，则∠AOC=α+x，∴∠MOC=12∠AOC=∴∠MON=∠BOC-∠COD-∠BON=120°+α+x-1当OD、OC在∠A'OB'内部，可计算得到∠MON=120°-1当OD、OC在∠A'OB内部，可计算得到∠MON=60°+1当OD、OC在∠A'OB'内部，可计算得到∠MON=120°-1【点睛】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．【变式3-1】（23-24七年级·四川成都·开学考试）已知∠AOB=110°，∠COD=40°．OE平分∠AOC(1)如图①，当OB，OC重合时，求(2)当∠COD从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0<t<10）；在旋转过程中∠【答案】(1)35°；(2)不变，∠AOE【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键．∠AOE-∠BOF的值是定值，（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE=1（2）首先由题意可得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得出【详解】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠∴∠AOE=1∴∠AOE（2）解：∠AOE由题意：∠BOC则∠AOC=∠AOB∵OE平分∠AOC，OF平分∠∴∠AOE∠BOF∠AOE∴∠AOE-∠BOF【变式3-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE，OF分别平分∠AOD，∠BOD．(1)如图1，当OA，OC重合时，求∠EOF的度数；(2)若将∠COD的从图1的位置绕点O顺时针旋转，旋转角∠AOC＝α，且0°＜α＜90°.①如图2，试判断∠BOF与∠COE之间满足的数量关系并说明理由.②在∠COD旋转过程中，请直接写出∠BOE，∠COF，∠AOC之间的数量关系.【答案】(1)∠EOF=50°；(2)①∠BOF+∠COE＝90°；理由见解析；②∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝30°.【分析】(1)由题意得出∠AOD＝∠COD＝40°，∠BOD＝∠AOB+∠COD＝140°，由角平分线定义得出∠EOD＝12∠AOD＝20°，∠DOF＝12∠BOD＝(2)①由角平分线定义得出∠EOD＝∠AOE＝12∠AOD＝20°+12α，∠BOF＝12∠BOD＝70°+12α，求出∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝20°②由①得∠EOD＝∠AOE＝20°+12α，∠DOF＝∠BOF＝70°+12当∠AOC＜40°时，求出∠COF＝∠DOF﹣∠COD＝30°+12α，∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝∠AOB+∠COD+α﹣∠EOD＝120°+12当40°＜∠AOC＜90°时，求出∠COF＝∠DOF+∠DOC＝150°﹣12α，∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝120°+12【详解】解：(1)∵OA，OC重合，∴∠AOD＝∠COD＝40°，∠BOD＝∠AOB+∠COD＝100°+40°＝140°，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD＝12∠AOD＝12×40°＝20°，∠DOF＝12∠BOD＝12∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝70°﹣20°＝50°；(2)①∠BOF+∠COE＝90°；理由如下：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD＝∠AOE＝12∠AOD＝12(40°+α)＝20°+12α，∠BOF＝12∠BOD＝12(∠AOB+∠COD+α)＝12∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝20°+12α﹣α＝20°﹣12∴∠BOF+∠COE＝70°+12α+20°﹣12α＝②由①得：∠EOD＝∠AOE＝20°+12α，∠DOF＝∠BOF＝70°+12当∠AOC＜40°时，如图2所示：∠COF＝∠DOF﹣∠COD＝70°+12α﹣40°＝30°+12∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝∠AOB+∠COD+α﹣∠EOD＝100°+40°+α﹣(20°+12α)＝120°+12∴∠BOE+∠COF﹣∠AOC＝120°+12α+30°+12α﹣α＝当40°＜∠AOC＜90°时，如图3所示：∠COF＝∠DOF+∠DOC＝12(360°﹣140°﹣α)+40°＝150°﹣12∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝140°+α﹣(20°+12α)＝120°+1∴∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝150°﹣12α+α﹣(120°+12α综上所述，∠BOE，∠COF，∠AOC之间的数量关系为∠BOE+∠COF﹣∠AOC＝150°或∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝30°.

【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知角度的和差关系及角平分线的性质.【变式3-3】（23-24七年级·江苏泰州·期末）（1）将一副直角三角板ABC，ADE按如图1所示位置摆放，∠BAC=45°，∠EAD=60°．分别作∠BAE，∠CAD的平分线（2）将三角板ADE从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，AM、AN仍然是∠BAE，∠CAD的平分线．试求（3）将三角板ADE从图1位置开始绕点A顺时针旋转α°0°<α<360°，AM、AN仍然是∠BAE【答案】（1）∠MAN=52.5°；（2）∠MAN=52.5°；（3）当【分析】本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算．找准角度之间的和差关系，是解题的关键．（1）结合角平分线的定义以及∠MAN（2）设∠BAD=x°，则∠CAD（3）分0°<α<120°，120°≤α【详解】解：（1）∵AM、AN分别平分∠BAE、∠∴∠MAE=1∴∠===52.5°；（2）设∠BAD=x°，则∵AM、AN分别平分∠BAE、∠∴∠BAM∠DAN∴∠=∠=1（3）∠MAN当0°<α如图，设∠CAE=x°，则∵AM、AN分别平分∠BAE、∠∴∠MAE=1∴∠=∠MAE当120°≤α设∠BAN=x∵AM、AN分别平分∠BAE、∠∴∠BAM∠BAD∴∠=360°-=210-2∠BAE∴∠BAM∴∠MAN当135°<α<360°时，如图2，综上所述，当120°≤α≤135°时，【题型4整体思想之设双角参数求角度】【例4】（23-24七年级·河南驻马店·期末）如图，O为直线AC上一点，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC的内部，∠BOE=1A．70° B．72° C．75° D．80°【答案】B【分析】本题考查求角度，涉及角平分线性质、角度和差倍分关系、解方程等知识，由角平分线定义及题中条件，设∠AOD=∠BOD=α【详解】解：∵OD是∠AOB∴∠AOD∵∠BOE∴∠DOE=∠BOD设∠AOD=∠BOD=α∴α+β∴由①-②得β=36°，即∠故选：B．【变式4-1】（23-24七年级·福建龙岩·期末）学习千万条，思考第一条。请你用本学期所学知识探究以下问题：（1）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC①如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC=150°，若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线②如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON=2∠NOC（2）已知点A、O、B不在同一条直线上，∠AOB=α,∠BOC=β，OM平分【答案】（1）①射线OC表示的方向为北偏东60°；②45°；（2）∠MON为a+β2或a【分析】（1）①根据∠MOC=∠AOC-∠AOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向；②根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（2）分射线OC在∠AOB内部和外部两种情况讨论即可．【详解】（1）∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，∴射线OC表示的方向为北偏东60°；（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，∴3∠NOC+∠NOC＝90°，∴4∠NOC＝90°，∴∠BON＝2∠NOC＝45°，∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°；Ⅱ、①如图1：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠AOM＝∠BOM＝12∠AOB＝12α，∠CON＝∠BON＝12∠COB＝∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝a+β②如图2，∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝a-③如图3，∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝β-α∴∠MON为a+β2或a【点睛】此题考查了角的计算，余角和补角，本题难度较大，关键是熟练掌握角的和差倍分关系．【变式4-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知，∠AOB＝3∠COD，∠COD＝α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∠COD绕着点O顺时针旋转．(1)若α＝45°．①如图1，当∠COD旋转到OC与OB重合时，求∠EOF的度数；②如图2，当∠COD从图1的位置开始绕着点O顺时针旋转n°，其中0＜n＜45，求∠EOF的度数；(2)若0°＜α＜60°，∠COD从图3的位置（OC与OB重合）开始绕着点O顺时针旋转一周，则∠BOF的度数为．【答案】(1)①90°；②90°(2)2α或180°−2α．【分析】（1）①由α＝45°，OC与OB重合，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，可得∠EOC＝67.5°，∠BOF＝22.5°，即得∠EOF＝∠EOC＋∠BOF＝90°；②根据∠COD从图1的位置开始绕着点O顺时针旋转n°，其中0＜n＜45，可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝135°＋n°，∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝n°＋45°，而OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，可得∠EOC，∠DOF，根据∠COF＝∠COD−∠DOF，即得∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝90°；（2）设∠COD从图3的位置（OC与OB重合）开始绕着点O顺时针旋转，旋转角度数是x，分三种情况：①当∠AOB＋x≤180°时，根据∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝3α＋x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，可得∠EOC，∠DOF，即得∠COF＝∠DOF−∠COD，故∠EOF＝∠EOC−∠COF＝2α，②当∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD≤180°时，由∠AOC＝360°−（∠AOB＋∠BOC）＝360°−3α−x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，同理可得∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝180°−2α，③当∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD＞180°时，同理可得∠EOF＝∠DOF−∠DOE＝2α．【详解】（1）解：①∵α＝45°，∴∠COD＝45°，∠AOB＝3α＝135°，∵OC与OB重合，∴∠BOD＝45°，∠AOC＝135°，∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝67.5°，∠BOF＝12∠BOD＝∴∠EOF＝∠EOC＋∠BOF＝90°；②∵∠COD从图1的位置开始绕着点O顺时针旋转n°，其中0＜n＜45，∴∠BOC＝n°，∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝135°＋n°，∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝n°＋45°，∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝67.5°＋12n°，∠DOF＝12∠BOD＝12n∴∠COF＝∠COD−∠DOF＝45°−（12n°＋22.5°）＝22.5°−12n∴∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝67.5°＋12n°＋22.5°−12n°＝（2）设∠COD从图3的位置（OC与OB重合）开始绕着点O顺时针旋转，旋转角度数是x，①当∠AOB＋x≤180°时，如图：∵∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝3α＋x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝32α+12x，12∴∠COF＝∠DOF−∠COD＝12x+12∴∠EOF＝∠EOC−∠COF＝32②当∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD≤180°时，如图：∵∠AOC＝360°−（∠AOB＋∠BOC）＝360°−3α−x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝180°-12x-32α，∠∴∠COF＝∠DOF−∠COD＝1∴∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝180°-③当∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD＞180°时，如图：∵∠AOC＝360°−（∠AOB＋∠BOC）＝360°−3α−x，∠BOD＝360°−（∠BOC＋COD）＝360°−x−α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝180°−180°-32α-∠BOD＝180°-1∴∠DOE＝∠EOC−∠COD＝180°-3∴∠EOF＝∠DOF−∠DOE＝180°-1综上所述，∠EOF为2α或180°−2α．故答案为：2α或180°−2α．【点睛】本题考查运动的角，解题的关键是分类画出图形，数形结合，利用角平分线及角的和差解决问题．【变式4-3】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）已知射线OB，OC在∠AOD内部，其中OB为∠AOC的三等分线，OE，OF分别平分∠BOD和【答案】84°或42°【分析】本题主要考查了角平分线和角三等分线的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．OB为∠AOC的三等分线，设∠AOC=3x，则∠BOC=x或2x，再由OF平分∠COD，设【详解】解：∵OB为∠AOC的三等分线，设∠AOC=3x，则∠∵OF平分∠COD，设∠COD=2则∠BOD=∠BOC∵OE平分∠BOD∴∠DOE=∠BOE∴∠EOF=∠DOE∵∠EOF∴x=28°或14°∴∠AOC=3x故答案为：84°或42°．知识点3：按角的内外部分类条件:已知∠AOB,射线OC,∠AOB>∠AOC.结论:当OC在∠AOB内部时,∠BOC1=∠AOB-∠AOC1；当OC在∠AOB外部时,∠BOC2=∠AOB+∠AOC2【题型5分类讨论思想之按角的内外部分类】【例5】（23-24七年级·浙江台州·期末）已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD=13∠COD，OE平分∠A．516α或18α B．516α或16α C【答案】A【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当OD位于∠BOC内部时和当OD位于∠【详解】解：如图1，当OD位于∠BOC∵∠AOB=α，OC∴∠COB∵∠BOD∴∠BOD=1∵OE平分∠COD∴∠EOD∴∠BOE如图2，当OD位于∠BOC∵∠AOB=α，OC∴∠COB∵∠BOD∴∠BOD=1∵OE平分∠COD∴∠EOD∴∠BOE综上可知∠BOE=516故选：A．【变式5-1】（23-24七年级·江苏南京·期末）以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=27°，则∠AOC=．【答案】15°或135°．【分析】分射线OC在∠AOB的内部和外部两种情况进行讨论求解即可．【详解】分两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC=5x，∠BOC=4x，∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=27°，∴5x+4x=27，解得：x=3，∴∠AOC=15°；②如图2，当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC=5x，∠BOC=4x，∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，又∠AOB=27°，∴5x=27+4x，解得：x=27∴∠AOC=135°，故答案为15°或135°．【点睛】考查了角的计算．属于基础题，关键是分两种情况进行讨论．【变式5-2】（23-24七年级·山西运城·期末）已知点A，O，B依次在同一直线上，射线OC平分∠AOB，∠COD=20°，OE平分∠BOD，则A．50° B．35° C．55° D．55°或35°【答案】D【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的定义，角的和差，熟练掌握相关知识是解答本题的关键，由角平分线的定义得∠BOC为平角的一半，即90°，然后分OD在∠BOC内部和外部两种情况，分别求出∠BOD【详解】∵点A，O，B依次在同一直线上，∴∠∵射线OC平分∠AOB∴∠当OD在∠BOC内部时，如图1，∵OE平分∠∴∠∴∠当OD在∠BOC外部时，如图2，∵OE平分∠∴∠∴∠∴∠COE的度数是55°或故选：D．【变式5-3】（23-24七年级·重庆渝中·开学考试）已知∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线，过点O作射线OD，若∠AOD=3∠A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90°【答案】C【分析】分当OD在∠AOB内部时，当OD在∠AOB外部时，分别求出【详解】解：如图1所示，当OD在∠AOB∵∠AOB=120°，∴∠BOD∵OC为∠AOB∴∠BOC∴∠COD如图2所示，当OD在∠AOB∵∠AOB=120°，∴∠BOD∵OC为∠AOB∴∠BOC∴∠COD综上所述，∠COD的角度是30度或120故选C．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．知识点4：按顺逆时针分类条件:已知∠AOB,射线OC,∠AOB<∠AOC.结论:(1)∠BOC1=∠AOC1-∠AOB；(2)∠BOC2=∠AOB+∠AOC2；(3)∠AOC3+∠BOC3+∠AOB=360°．【题型6分类讨论思想之按顺逆时针分类】【例6】（23-24七年级·福建泉州·期末）如图，∠AOB=100°，射线OC以2°/s的速度从OA位置出发，射线OD以10°/s的速度从OB位置出发，设两条射线同时绕点(1)当t=10时，求∠(2)若0≤t①当三条射线OA、OC、OD构成的三个度数大于0°的角中，有两个角相等，求此时t的值；②在射线OD，OC转动过程中，射线OE始终在∠BOD内部，且OF平分∠AOC，当∠EOF【答案】(1)∠(2)①t=253s或【分析】（1）根据题意求得OD与OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度数；（2）①分三种情况，列出方程，解方程即可得到答案；②先证明OD运动至∠AOB外部．由∠AOB=∠AOE+∠BOE=100°，∠EOF=∠AOE+∠AOF=110°【详解】（1）解：依题意，当t=10s时，射线OD运动的度数为∵∠AOB∴此时OD与OA重合，射线OC运动的度数为2t即∠AOC∴当t=10s时，（2）①若0≤t（i）如图1，当∠DOA=∠COA∴t=253（ii）如图2，当∠AOD=∠COD∴t=1009（iii）如图3，当∠AOC=∠COD∴t=503综上所得t=253②如图4，∵0≤t∴0°≤2t≤30°，∴∠AOC最大度数为30°，∠BOD最大度数为∵∠AOB∴当∠EOF=110°时，∴∠AOC>20°，即∴OD运动至∠AOB此时，∠AOB=∠AOE∴∠AOF∵OF平分∠AOC∴∠AOF∴∠BOE又∠AOD∴∠BOE【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的计算、图形的旋转、角之间计算、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是找到等量关系列方程．【变式6-1】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．(1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；(2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．(3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值．【答案】(1)∠AOD+∠BOC=170°(2)∠MON的大小为65°(3)t的值为5或11或1689【分析】（1）∠AOD+∠BOC可化为∠AOB+∠COD，计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠AON=12AOD，∠BOM=12∠BOC，进而得到∠MON=∠AOB-12(∠AOD+∠（3）根据射线的运动可知，需要分四种情况：当OC未到达OB时，分两种情况；当OC到达OB后返回时，分两种情况；分别画出图形列方程解答．【详解】（1）解：∵∠AOB＝150°，∠COD＝20°．∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=170°；（2）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，∴∠AON=12AOD，∠BOM=12∠∴∠MON=∠AOB-∠AON-∠BOM=∠AOB-12(∠AOD+∠BOC)=150°-85°=65°（3）当OC未到达OB时，分两种情况：①如图：此时30t+20-10t=120，解得t=5；②如图：360-30t-20+10t=120，解得t=11；当OC到达OB后返回时，分两种情况：①如图：此时30t-360-（300-15t-20）=120，解得t=168②如图：此时（720-30t）-20+（300-15t）=120，解得t=195综上，t的值为5或11或1689或【点睛】此题考查了角的旋转，角平分线的计算，解题的关键是掌握相关概念，能用含t的代数式表示旋转角的度数．【变式6-2】（23-24七年级·广东佛山·期末）已知：∠（1）如图1，∠AOC（2）如图2，直线MN平分∠AOD，直线MN平分∠（3）若∠BOD=150°，∠BOE【答案】（1）∠AOC=∠BOD，见解析；（2）直线MN平分∠BOC，见解析；（3【分析】（1）根据角的和差关系可得结论；（2）根据角平分线的定义求解即可；（3）分OE在∠AOB【详解】解：（1）∠AOC∵∠∴∠即∠（2）直线MN平分∠BOC∵∠AOB+∠又∵∠∴∠∵直线MN平分∠∴∠∴∠即直线MN平分∠BOC（3）∵∠BOD=150°∴∠AOD=70°①当OE在∠AOB∠COE②当OE在∠AOB∠COE综上所述，∠COE的度数为150°或110°【点睛】本题考查了解度的计算，角平分线的定义，正确识别图形是解题的关键．【变式6-3】（23-24七年级·贵州遵义·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠COD=12∠AOB，则称∠请根据以上信息，解决下面的问题：(1)如图①，∠AOB=50°，∠BOD=10°．若∠COD是∠AOB的“(2)如图②，已知∠AOB=60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α0<α<60°至∠COD，即∠COD=∠AOB=60°，其中∠AOC(3)把一块含60°的三角板COD按如图③方式放置，使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合．如图④，将三角板COD绕顶点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线OA，OB，OC，OD构成“内半角”时，请直接写出t的值．【答案】(1)15°(2)20°(3)t的值为103或【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算：（1）根据题意算出∠COD的度数，利用∠AOC=∠（2）根据旋转性质可推出∠AOC=∠BOD=α和∠COD=∠AOB=60°，然后可用含有α的式子表示∠（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有两种，分别画出图形，求出对应t值即可．【详解】（1）解：∵∠COD是∠AOB的内半角，∴∠COD∴∠AOC故答案为：15°；（2）解：∵∠AOC∴∠AOD∵∠COB是∠∴∠AOD=2∠COB解得：α=20°∴α的值为20°；（3）解：①如图所示，此时∠COB是∠由旋转性质可知：∠AOC∴∠AOD∵∠COB是∠∴∠AOD=2∠COB解得：t=②如图所示，此时∠BOC是∠由旋转性质可得：∠AOC∴∠AOD∵∠BOC是∠∴∠AOD=2∠BOC解得：t=30综上所述：当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，知识点5：按顺逆时针分类条件:∠AOC=∠BOC结论:∠AOC1=12∠AOB或∠AOC2=180°-12条件:∠AOC=1n结论:∠AOC1=1n+1∠AOB或∠AOC2【题型7分类讨论思想之n等分角】【例7】（23-24七年级·浙江湖州·期末）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设A．94x或3x或92x B．94x或3x或9x C．94x【答案】C【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．【详解】解：如图：射线OP是∠MON∠MOP=2∠NOP则∠QOP=2x∴∠MON如图：射线OP是∠MON∠MOP=2∠NOP则∠QOP=1∴∠MON如图：射线OP是∠MON∠NOP=2∠MOP则∠QOP=1∴∠MON如图：射线OP是∠MON∠NOP=2∠MOP则∠QOP=2x∴∠MON综上，∠MON为94x或9故选：C．【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．【变式7-1】（23-24七年级·河南新乡·期末）如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1:2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．如图②，若∠MON=120°，射线OP为【答案】40°,60°,80°【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：∠MON∠MON=2∠NOP时，∠【详解】解：由题意，分以下四种情况：①当∠MON=2∠MOP时，射线OP是∠MON的∵∠MON∴∠MOP②当∠MON=2∠NOP时，射线OP是∠MON的∵∠MON∴∠NOP∴∠MOP③当∠MOP=2∠NOP时，射线OP是∠MON的∵∠MON=120°，∴∠MOP解得∠MOP④当∠NOP=2∠MOP时，射线OP是∠MON的∵∠MON=120°，∴∠MOP解得∠MOP综上，∠MOP的度数为60°或80°或40°故答案为：60°或80°或40°．【变式7-2】（23-24七年级·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP=4∠NOP，则OP为∠MON【问题再现】（1）若∠AOB=60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP①若∠AOC=120°，求②若∠AOC=α【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．已知∠MON=90°，且OM，ON所在射线恰好分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（【答案】（1）40°；（2）①135°；②不变，见解析；（3）90°【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算．（1）根据题意可得：∠BOP=2∠AOP（2）①由题意可得：∠COP=3∠AOP，∠COQ=3∠BOQ，根据②不变，根据题意得出∠COP=3（3）设∠MOC=α，则∠NOC=90°-α，根据题意得出∠COM=3∠AOM【详解】解：（1）因为∠AOB=60°，OP为∠AOB所以∠BOP=2∠AOP所以∠AOP所以∠BOP（2）①因为OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP所以∠COP=3∠AOP因为∠AOC所以∠BOC所以∠AOP=30°，所以∠COP=90°，所以∠POQ②不变．理由如下：因为OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP所以∠COP=3所以∠=3（3）设∠MOC因为∠MON所以∠NOC因为OM，ON所在射线恰好分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，所以∠COM=3∠AOM因为∠AOM所以13所以α=67.5°所以∠MOC=67.5°，所以∠AOC【变式7-3】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）定义：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是(1)如图1，若∠AOB=90°，且射线OC是∠AOB的“妙分线”(2)如图2，若∠MPN=60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转，同时，射线PM绕点P以每秒3°的速度顺时针旋转，当PQ与PN成180°时，射线PQ，射线PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线PQ是∠MPN的“【答案】(1)60°或30°或45°；(2)当t为203或12或20时，射线PQ是∠MPN的“【分析】本题考查了本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，妙分线定义；（1）根据妙分线定义即可求解；（2）分3种情况：当∠MPQ=2∠NPQ时，当∠【详解】（1）解：∵∠AOB=90°，且射线OC在∠AOB的“∴∠AOC=2∠BOC或∠∴∠AOC=60°或30°或（2）解：根据题意得：当∠MPQ4t解得t=当∠MPN4t解得t=12当2∠MPQ4t解得t=20故当t为203或12或20时，射线PQ是∠MPN的“妙分线【题型8数形结合求角度】【例8】（23-24七年级·广东佛山·期末）数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来从而实现优化解题途径的目的．请你利用“数形结合”的思想解决以下的问题：（1）如图1：射线OC是∠AOB的平分线，这时有数量关系：∠AOB（2）如图2：∠AOB被射线OP分成了两部分，这时有数量关系：∠AOB（3）如图3：直线AB上有一点M，射线MN从射线MA开始绕着点M顺时针旋转，直到与射线MB重合才停止．①请直接回答∠AMN与∠②∠AMN与∠【答案】（1）2∠AOC（答案不唯一）；（2）∠AOP+∠BOP；（3）①∠AMN逐渐增大，【分析】（1）根据角平分线定义容易得出结论；（2）根据图形解答；（3）①由射线MN从射线MA开始绕着点M顺时针旋转可知∠AMN逐渐增大，∠BMN逐渐减小；②由∠【详解】解：（1）∵射线OC是∠AOB∴∠AOB故答案为：2∠AOC（或2∠（2）由图可知，∠AOB故答案为：∠AOP（3）①∠AMN逐渐增大，∠②∠AMN证明：∵∠AMB=180°，∴∠AMN【点睛】本题考查了角平分线定义，角的有关计算，注意利用数形结合的思想．【变式8-1】（23-24七年级·山东济宁·期末）材料阅读角是一种基本的几何图像，如图1角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．钟面上的时针与分针给我们以角的形象．如果把图2作为钟表的起始状态，对于一个任意时刻时针与分针的夹角度数可以用下面的方法确定．因为时针绕钟面转一圈（360°）需要12小时，所以时针每小时转过30°．如图3中05:00时针就转过30×5=150°．因为分针绕钟面转一圈（360°）需要60分钟，所以分针每分钟转过6°．如图4中00:28分针就转过6×28=168°．再如图5中6:40时针转过的度数为30×6+4060=200°，分针转过的度数记为6×40=240°，此时，分针转过的度数大于时针转过的度数，所以知识应用请使用上述方法，求出7:20时针与分针的夹角．拓广探索张老师某周六上午7点多去菜市场买菜，走时发现家中钟表时钟与分针的夹角是直角，买菜回到家发现钟表时针与分针的夹角还是直角，可以确定的是张老师家的钟表没有故障，走时正常，且回家时间还没到上午8点，请利用上述材料所建立数学模型列方程，求出张老师约7点多少分出门买菜？约7点多少分回到家？（结果用四舍五入法精确到分．）【答案】知识应用：100°；拓广探索：张老师约7点22分出门买菜，约7点55分回到家【分析】知识应用：根据题干中的思路先求出时针转过的度数，然后再求出分针转过的度数，然后让大的度数减小的度数即可得出答案；拓广探索：根据材料可以确定张老师出门时时针转过的角度比分针转过的角度多90°，而张老师回家时分针转过的角度比时针转过的角度多90°，据此可列出两个方程，分别解方程即可．【详解】知识应用：解:7:20