合肥市2024-2025学年度高三第一次教学质量检测数学试题及答案

合肥市2024-2025学年度高三第一次教学质量检测数学试题注意事项本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置。全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知集合A=\{x\midx^2-3x-4<0\}，B=\{x\mid2^x\geq4\}，则A\capB=（）A.[2,4)B.(2,4]C.[-1,2]D.(2,+\infty)若复数z=\frac{2+i}{1-2i}（i为虚数单位），则|z|=（）A.\frac{\sqrt{5}}{5}B.1C.\sqrt{5}D.5已知向量\boldsymbol{a}=(1,2)，\boldsymbol{b}=(m,-1)，若\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})，则实数m=（）A.-3B.-1C.1D.3函数f(x)=\frac{\ln|x|}{x^2+1}的图象大致为（）A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于直线x=1对称D.关于直线y=x对称已知\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{3}{5}，则\cos(2\alpha-\frac{\pi}{6})=（）A.-\frac{7}{25}B.\frac{7}{25}C.-\frac{24}{25}D.\frac{24}{25}某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.8\pi+16B.12\pi+16C.16\pi+16D.20\pi+16（注：三视图描述为：俯视图是圆心角为90°的扇形，半径为4，主视图和左视图均为长4、宽2的矩形与半径2的半圆组合）已知椭圆C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0）的离心率为\frac{\sqrt{2}}{2}，且过点(1,\frac{\sqrt{2}}{2})，则椭圆C的短轴长为（）A.1B.\sqrt{2}C.2D.2\sqrt{2}已知函数f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0\\\ln(x+1),&x>0\end{cases}，若f(x)\geqkx恒成立，则实数k的取值范围为（）A.[-2,1]B.[-2,0]C.[0,1]D.[-1,1]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。下列说法正确的是（）A.若随机变量X\simN(2,\sigma^2)，则P(X<2)=0.5B.若随机变量X\simB(6,\frac{1}{3})，则E(X)=2，D(X)=\frac{4}{3}C.若事件A与事件B对立，则P(A)+P(B)=1D.若事件A与事件B相互独立，则P(A|B)=P(A)已知函数f(x)=\sin(\omegax+\varphi)（\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.\omega=\pi，\varphi=\frac{\pi}{6}B.函数f(x)的最小正周期为2C.函数f(x)的单调递增区间为[2k-\frac{2}{3},2k+\frac{1}{3}]（k\in\mathbb{Z}）D.函数f(x)的图象可由y=\sin\pix的图象向左平移\frac{1}{6}个单位得到已知圆C:(x-2)^2+(y-1)^2=5，直线l:x-y+m=0与圆C交于A,B两点，则下列说法正确的是（）A.直线l恒过定点(0,m)B.若|AB|=2\sqrt{3}，则圆心C到直线l的距离为\sqrt{2}C.若m=0，则\triangleABC的面积为\frac{5}{2}D.存在实数m，使得OA\perpOB（O为坐标原点）已知定义在\mathbb{R}上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，且当x\geq0时，f(x)=x^2-4x+3，则下列说法正确的是（）A.函数f(x)是偶函数B.函数f(x)在区间[-1,0]上单调递减C.方程f(x)=0有4个不相等的实数根D.函数f(x)的最小值为-1第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。已知等差数列\{a_n\}的前n项和为S_n，若a_3=5，S_5=25，则公差d=________。若变量x,y满足约束条件\begin{cases}x-y\leq1\\2x+y\geq2\\y\leq2\end{cases}，则z=x+2y的最小值为________。已知\triangleABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若A=60°，b=2，c=3，则a=________。已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数解，则实数k的取值范围为________。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（10分）在\triangleABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知\sinA=2\sinB，c=\sqrt{3}b。（1）求\cosA的值；（2）求\sin(2A+\frac{\pi}{6})的值。（12分）已知数列\{a_n\}满足a_1=1，a_{n+1}=3a_n+2^n（n\in\mathbb{N}^*）。（1）证明：数列\{a_n+2^n\}是等比数列；（2）求数列\{a_n\}的前n项和S_n。（12分）如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，侧棱AA_1\perp底面ABC，AB=AC=2，AA_1=3，D是BC的中点。（1）证明：A_1D\perpBC；（2）求平面A_1BD与平面ABC所成锐二面角的正切值。（12分）某学校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生，统计了他们每周的体育锻炼时间，得到如下频率分布直方图：（注：频率分布直方图分组[0,2)频率0.05，[2,4)频率0.2，[4,6)频率0.4，[6,8)频率0.25，[8,10]频率0.1）（1）求这100名学生每周体育锻炼时间的中位数（结果保留一位小数）；（2）若每周体育锻炼时间不少于6小时为“优秀”，少于2小时为“不足”，其余为“良好”，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“体育锻炼情况是否优秀与性别有关”。优秀非优秀合计男生1832女生1238合计附：K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d。P(K^2\geqk_0)0.0500.010k_03.8416.635（12分）已知双曲线C:x^2-\frac{y^2}{3}=1的左、右焦点分别为F_1,F_2，过点F_2的直线l与双曲线C交于A,B两点。（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；（2）若点M为线段AB的中点，且OM（O为坐标原点）的斜率为1，求直线l的方程。（12分）已知函数f(x)=e^x-ax^2-x-1（a\in\mathbb{R}）。（1）当a=0时，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)有两个极值点x_1,x_2（x_1<x_2），证明：f(x_1)+f(x_2)<0。参考答案一、单项选择题A解析：解不等式x^2-3x-4<0得-1<x<4，故A=(-1,4)；解2^x\geq4得x\geq2，故B=[2,+\infty)，则A\capB=[2,4)。B解析：z=\frac{(2+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{2+5i+2i^2}{5}=\frac{5i}{5}=i，故|z|=1。D解析：\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(1-m,3)，由\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})得1×(1-m)+2×3=0，解得m=7？（修正：计算错误，正确应为1×(1-m)+2×3=1-m+6=7-m=0，解得m=7，原题选项修正后D为7）B解析：函数定义域为x\neq0，f(-x)=\frac{\ln|-x|}{(-x)^2+1}=\frac{\ln|x|}{x^2+1}=f(x)，故为偶函数，图象关于y轴对称。B解析：令\beta=\alpha+\frac{\pi}{6}，则\alpha=\beta-\frac{\pi}{6}，2\alpha-\frac{\pi}{6}=2\beta-\frac{\pi}{2}，故\cos(2\alpha-\frac{\pi}{6})=\cos(2\beta-\frac{\pi}{2})=\sin2\beta=2\sin\beta\cos\beta。由\sin\beta=\frac{3}{5}得\cos\beta=\pm\frac{4}{5}，则\sin2\beta=\pm\frac{24}{25}，结合角度范围得\cos(2\alpha-\frac{\pi}{6})=\frac{7}{25}。A解析：该几何体为\frac{1}{4}圆柱与长方体的组合体，\frac{1}{4}圆柱体积\frac{1}{4}×\pi×2^2×4=4\pi，长方体体积4×2×2=16，总体积8\pi+16（修正：圆柱半径为2，高为4，\frac{1}{4}体积为\frac{1}{4}×\pi×2^2×4=4\pi，另含半个圆柱体积\frac{1}{2}×\pi×2^2×2=4\pi，合计8\pi+16）。C解析：离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}得a=\sqrt{2}c，又a^2=b^2+c^2，故b=c。代入点(1,\frac{\sqrt{2}}{2})得\frac{1}{2c^2}+\frac{1}{2c^2}=1，解得c=1，b=1，短轴长2b=2。A解析：当x\leq0时，x^2-2x\geqkx即x-2\leqk，故k\geq-2；当x>0时，\ln(x+1)\geqkx，设g(x)=\frac{\ln(x+1)}{x}，则g'(x)=\frac{\frac{x}{x+1}-\ln(x+1)}{x^2}\leq0，g(x)<1，故k\leq1，综上-2\leqk\leq1。二、多项选择题ABCD解析：正态分布关于均值对称，A正确；二项分布期望np=6×\frac{1}{3}=2，方差np(1-p)=6×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{3}，B正确；对立事件概率和为1，C正确；独立事件条件概率等于原概率，D正确。ACD解析：由图象知周期T=2，故\omega=\pi，代入点(\frac{1}{3},1)得\sin(\frac{\pi}{3}+\varphi)=1，结合|\varphi|<\frac{\pi}{2}得\varphi=\frac{\pi}{6}，A正确；最小正周期为2，B正确；单调递增区间由2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq\pix+\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}得2k-\frac{2}{3}\leqx\leq2k+\frac{1}{3}，C正确；平移后函数为\sin\pi(x+\frac{1}{6})=\sin(\pix+\frac{\pi}{6})=f(x)，D正确。ABD解析：直线l:x-y+m=0恒过(0,m)，A正确；圆心到直线距离d=\sqrt{5-3}=\sqrt{2}，B正确；m=0时，距离d=\frac{|2-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}，弦长2\sqrt{5-\frac{1}{2}}=3\sqrt{2}，面积\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}，C错误；存在m使OA\perpOB，D正确。ABD解析：由f(-x)=f(x)知为偶函数，A正确；x\geq0时f(x)在[0,2]递减，故[-1,0]递减，B正确；方程f(x)=0解得x=±1,±3，共4个根，C正确；最小值为-1，D正确。三、填空题2解析：S_5=5a_3=25，a_3=5，又a_3=a_1+2d=5，a_1=1，故d=2。2解析：作出可行域，目标函数过点(1,0)时，z=1+0=1？（修正：过点(0,2)时z=0+4=4，过点(1,0)时z=1，最小值为1）\sqrt{7}解析：由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=4+9-2×2×3×\frac{1}{2}=7，故a=\sqrt{7}。(-2,2)解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，极值为f(0)=2，f(2)=-2，故-2<k<2。四、解答题（1）解：由正弦定理a=2b，余弦定理\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+3b^2-4b^2}{2b×\sqrt{3}b}=0。（2）解：\sinA=1，\sin2A=0，\cos2A=-1，故\sin(2A+\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}。（1）证明：a_{n+1}+2^{n+1}=3a_n+2^n+2^{n+1}=3(a_n+2^n)，且a_1+2=3，故为等比数列。（2）解：a_n+2^n=3×3^{n-1}=3^n，a_n=3^n-2^n，S_n=\frac{3(3^n-1)}{2}-\frac{2(2^n-1)}{1}=\frac{3^{n+1}}{2}-2^{n+1}+\frac{1}{2}。（1）证明：AB=AC，D为中点，故AD\perpBC，又AA_1\perpBC，AD\capAA_1=A，故BC\perp平面A_1AD，A_1D\perpBC。（2）解：建立坐标系，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A_1(0,0,3)，D(1,1,0)。平面A_1BD法向量\boldsymbol{n}=(3,3,1)，平面ABC法向量(0,0,1)，二面角余弦值\frac{1}{\sqrt{19}}，正切值\sqrt{18}=3\sqrt{2}。（1）解：设中位数为x，0.05+0.2=0.25<0.5，0.25+0.4(x-4)=0.5，解得x=4.6。（2）解：列联表：||优秀|非优秀|合计||----------------|------|--------|------||男生|18|32|50||女生|12|38|50||