湖北省武汉市武昌区2025届高三元月调考数学参考答案及评分细则

湖北省武汉市武昌区2025届高三元月调考数学参考答案及评分细则一、选择题（每题5分，共40分）题号12345678答案ABCCBDDA二、多项选择题（每题5分，共15分，全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分）题号91011答案ACBCDACD三、填空题（每题5分，共15分）\boxed{12}\boxed{\dfrac{1}{3}}\boxed{2}四、解答题（共70分，需写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（13分）在\triangleABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，点D为线段AC的中点，满足\sin^2A-2\sinA\sinC+\sin^2C=\sin^2B-\sinA\sinC。（1）求角B；（2）若\triangleABC的面积为\sqrt{3}，b=\sqrt{13}，求中线BD的长。解：（1）因为A+B+C=\pi，所以\sinB=\sin(\pi-(A+C))=\sin(A+C)。由正弦定理\dfrac{a}{\sinA}=\dfrac{b}{\sinB}=\dfrac{c}{\sinC}，将已知等式转化为边的关系：a^2-2ac+c^2=b^2-ac，整理得b^2=a^2+c^2-ac。由余弦定理\cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}，代入得：\cosB=\dfrac{ac}{2ac}=\dfrac{1}{2}，又B\in(0,\pi)，故B=60^\circ。…………（6分）（2）由\triangleABC的面积S=\dfrac{1}{2}ac\sinB=\sqrt{3}，代入B=60^\circ得：\dfrac{1}{2}ac\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}，解得ac=4。由余弦定理b^2=a^2+c^2-ac，得a^2+c^2=b^2+ac=13+4=17。因为BD为中线，所以\overrightarrow{BD}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})，两边平方得：BD^2=\dfrac{1}{4}(a^2+c^2+2ac\cosB)=\dfrac{1}{4}(17+2\times4\times\dfrac{1}{2})=\dfrac{21}{4}，故BD=\dfrac{\sqrt{21}}{2}。…………（13分）16.（15分）在四棱锥F-ABCD中，FA\perp平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD\parallelBC，\angleDAB=90^\circ，CD=2，BC=1。（1）已知G为AF的中点，求证：BG\parallel平面DCF；（2）若直线BF与平面ABCD所成的角为\dfrac{\pi}{4}，二面角C-DF-A的余弦值为\dfrac{2}{3}，求点B到平面DCF的距离。（1）证明：取DF中点K，连接GK、KC。因为G为AF中点，所以KG\parallelAD且KG=\dfrac{1}{2}AD。由直角梯形性质，BC\parallelAD且BC=\dfrac{1}{2}AD，故KG\parallelBC且KG=BC，四边形KGBC为平行四边形，因此KC\parallelBG。又BG\not\subset平面DCF，KC\subset平面DCF，故BG\parallel平面DCF。…………（6分）（2）解：以A为原点，AF、AB、AD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系。由直线BF与平面ABCD所成角为\dfrac{\pi}{4}，得AB=AF，设AB=AF=a(a>0)，则B(0,a,0)、F(a,0,0)、C(1,a,0)、D(2,0,0)。平面DCF的法向量\boldsymbol{n}=(x,y,z)满足\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DC}=-x+ay=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DF}=-2x+az=0\end{cases}，令x=1，得\boldsymbol{n}=(1,\dfrac{1}{a},\dfrac{2}{a})。平面ADF的法向量为\overrightarrow{AB}=(0,a,0)，由二面角余弦值\dfrac{2}{3}得：\left|\dfrac{\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}}{|\boldsymbol{n}|\cdot|\overrightarrow{AB}|}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{4}{a^2}}}=\dfrac{2}{3}，解得a=2，故\boldsymbol{n}=(1,\dfrac{1}{2},1)，\overrightarrow{BF}=(2,-2,0)。点B到平面DCF的距离h=\dfrac{|\overrightarrow{BF}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\dfrac{|2-1+0|}{\sqrt{1+\dfrac{1}{4}+1}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}。…………（15分）17.（15分）已知函数f(x)=\dfrac{e^x(2x-a)}{x-1}(x\neq1)。（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；（2）当x<1时，f(x)<1，求实数a的取值范围。解：（1）当a=1时，f(x)=\dfrac{e^x(2x-1)}{x-1}，求导得：f'(x)=\dfrac{e^x(2x^2-3x)}{(x-1)^2}，令f'(x)=0，解得x=0或x=\dfrac{3}{2}。当x<0或x>\dfrac{3}{2}时，f'(x)>0；当0<x<1或1<x<\dfrac{3}{2}时，f'(x)<0。故f(x)的单调递增区间为(-\infty,0)、(\dfrac{3}{2},+\infty)，单调递减区间为(0,1)、(1,\dfrac{3}{2})。…………（6分）（2）由x<1时f(x)<1，得\dfrac{e^x(2x-a)}{x-1}<1，整理得a<2x-\dfrac{x-1}{e^x}（因x-1<0，不等号方向不变）。令h(x)=2x-\dfrac{x-1}{e^x}(x<1)，求导得h'(x)=2-\dfrac{2-x}{e^x}=\dfrac{2e^x+x-2}{e^x}。令\varphi(x)=2e^x+x-2，其在(-\infty,1)单调递增，且\varphi(0)=0。当x<0时，\varphi(x)<0，h'(x)<0；当0<x<1时，\varphi(x)>0，h'(x)>0。故h(x)_{\min}=h(0)=1，因此a<1。…………（15分）18.（17分）已知椭圆C：\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，焦距为2\sqrt{3}，点A、B分别为C的左、右顶点，点P、Q为C上的两个动点，且分别位于x轴上、下两侧。（1）求椭圆C的方程；（2）若\dfrac{S_1}{S_2}=3（S_1、S_2分别为\triangleAPQ和\triangleBPQ的面积），求证直线PQ过定点，并求出该点的坐标；（3）若\dfrac{S_1}{S_2}=1，设直线AP和直线BQ的斜率分别为k_1、k_2，求\dfrac{k_1}{k_2}的取值范围。解：（1）由题意得\begin{cases}2a=4b\\2c=2\sqrt{3}\\a^2-b^2=c^2\end{cases}，解得a=2，b=1，故椭圆方程为\dfrac{x^2}{4}+y^2=1。…………（4分）（2）由对称性知定点在x轴上，设M(x_0,0)为定点，直线PQ：x=my+x_0。S_1=\dfrac{1}{2}|AM|\cdot|y_1-y_2|，S_2=\dfrac{1}{2}|BM|\cdot|y_1-y_2|，故\dfrac{|AM|}{|BM|}=3。|AM|=x_0+2，|BM|=2-x_0，则\dfrac{x_0+2}{2-x_0}=3，解得x_0=1，定点为(1,0)。…………（8分）（3）由\dfrac{S_1}{S_2}=1得x_0=0，直线PQ：x=my。联立椭圆方程得(m^2+4)y^2-4=0，故y_1+y_2=0，y_1y_2=-\dfrac{4}{m^2+4}。k_1=\dfrac{y_1}{x_1+2}=\dfrac{y_1}{my_1+2}，k_2=\dfrac{y_2}{x_2-2}=\dfrac{-y_1}{-my_1-2}=\dfrac{y_1}{my_1+2}，故\dfrac{k_1}{k_2}=1？（此处原文解析不完整，需结合完整试题补充）…………（17分）19.（17分）有五张背面完全相同的数字卡片，正面分别写着1、2、3、4、5，将它们背面朝上随机放在桌子上，翻开卡片时要求按从小到大的顺序依次翻开，不符合要求则翻回（不计次数），直到所有卡片正面朝上为止。（1）求第三次恰好翻开数字为2的卡片且不再翻回的概率；（2）记X为需要翻开的次数，求X的分布列及数学期望；（3）将卡片数量改为n张，记E_n为平均次数，求证：E_n=2^n-1。解：（1）前两次需翻到1，分两类：①第一次翻1，第二次不翻2，第三次翻2：概率\dfrac{1}{5}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{20}；②第一次翻2（翻回），第二次翻1，第三次翻2：概率\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{4}\times1=\dfrac{1}{20}。总概率P=\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{10}。…