2025年上学期高一数学周测（第四周）

2025年上学期高一数学周测（第四周）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+a-1=0}，若A∪B=A，则实数a的值为（）A.2B.3C.2或3D.1或2函数f(x)=√(x-1)+1/(x-2)的定义域是（）A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是（）A.y=1/xB.y=2-xC.y=x²-2xD.y=ln(x+1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x²-2x，则f(-1)=（）A.-3B.-1C.1D.3函数f(x)=x³-3x的单调递减区间是（）A.(-∞,-1)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x²-2x，则f(g(2))的值为（）A.3B.5C.7D.9若函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图像经过点(0,1)，(1,3)，(2,7)，则a+b+c=（）A.3B.5C.7D.9已知函数f(x)=log₂(x+1)，若f(a)=3，则a的值为（）A.7B.8C.9D.10函数f(x)=sinx+cosx的最大值是（）A.1B.√2C.2D.2√2已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a在向量b方向上的投影为（）A.11/5B.12/5C.13/5D.14/5已知函数f(x)=x²-2x+3，x∈[0,3]，则函数f(x)的值域是（）A.[2,6]B.[3,6]C.[2,3]D.[2,7]若函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则函数f(x)的最小值是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知函数f(x)=x³+2x-1，则f'(1)=________。已知函数f(x)是周期为4的周期函数，当x∈[0,4)时，f(x)=x²，则f(5)=________。已知向量a=(2,3)，b=(m,4)，若a⊥b，则m=________。函数f(x)=x²-4x+5在区间[1,t]上的最大值为5，最小值为2，则t的取值范围是________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知集合A={x|x²-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}，求A∩B和A∪B。（本小题满分12分）已知函数f(x)=x²-2ax+1(a∈R)。（1）若函数f(x)在区间[1,2]上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为-3，求实数a的值。（本小题满分12分）已知函数f(x)=logₐ(x+1)，g(x)=logₐ(1-x)(a>0且a≠1)。（1）求函数h(x)=f(x)+g(x)的定义域；（2）判断函数h(x)的奇偶性，并说明理由；（3）若f(2)=1，求h(x)的值域。（本小题满分12分）已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1。（1）求函数f(x)的导数f'(x)；（2）求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（3）求函数f(x)的极值。（本小题满分12分）某公司生产一种产品，每件产品的成本为40元，销售单价为60元，公司为了促销，决定当一次性购买该产品超过10件时，每多购买一件，销售单价就降低0.5元，但销售单价最低不能低于50元。（1）设一次性购买该产品x件，销售单价为y元，求y关于x的函数关系式；（2）设一次性购买该产品x件，公司获得的利润为W元，求W关于x的函数关系式；（3）一次性购买该产品多少件时，公司获得的利润最大？最大利润是多少？（本小题满分12分）已知函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)的图像经过点(0,0)，且在x=1处取得极大值2，在x=3处取得极小值。（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)在区间[-2,4]上的最大值和最小值；（3）若函数g(x)=f(x)-k在区间[-2,4]上有三个零点，求实数k的取值范围。参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）C2.C3.D4.C5.B6.B7.C8.A9.B10.C11.A12.C二、填空题（每小题5分，共20分）514.115.-616.[2,3]三、解答题（共70分）解：（1）由x²-4x+3<0，得1<x<3，所以A=(1,3)。……2分由2x-3>0，得x>3/2，所以B=(3/2,+∞)。……4分所以A∩B=(3/2,3)，A∪B=(1,+∞)。……10分解：（1）函数f(x)=x²-2ax+1的对称轴为x=a。……2分因为函数f(x)在区间[1,2]上是单调函数，所以a≤1或a≥2，即实数a的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞)。……5分（2）当a≤1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，所以f(x)min=f(1)=1-2a+1=2-2a=-3，解得a=5/2（舍去）。……7分当1<a<2时，函数f(x)在区间[1,a]上单调递减，在区间[a,2]上单调递增，所以f(x)min=f(a)=a²-2a²+1=-a²+1=-3，解得a=2或a=-2（舍去）。……9分当a≥2时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，所以f(x)min=f(2)=4-4a+1=5-4a=-3，解得a=2。……11分综上，实数a的值为2。……12分解：（1）要使函数h(x)=f(x)+g(x)有意义，需满足：x+1>0，1-x>0，解得-1<x<1，所以函数h(x)的定义域为(-1,1)。……4分（2）函数h(x)是偶函数。理由如下：……5分因为函数h(x)的定义域为(-1,1)，关于原点对称，……6分且h(-x)=f(-x)+g(-x)=logₐ(-x+1)+logₐ(1+x)=h(x)，所以函数h(x)是偶函数。……8分（3）因为f(2)=logₐ3=1，所以a=3。……9分所以h(x)=log₃(x+1)+log₃(1-x)=log₃(1-x²)。……10分因为x∈(-1,1)，所以1-x²∈(0,1]，所以log₃(1-x²)∈(-∞,0]，即h(x)的值域为(-∞,0]。……12分解：（1）f'(x)=3x²-6x+2。……3分（2）因为f(1)=1-3+2+1=1，f'(1)=3-6+2=-1，……5分所以函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1)，即y=-x+2。……7分（3）令f'(x)=3x²-6x+2=0，解得x=1±√3/3。……9分当x<1-√3/3或x>1+√3/3时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当1-√3/3<x<1+√3/3时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减。……10分所以当x=1-√3/3时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(1-√3/3)=……；当x=1+√3/3时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(1+√3/3)=……。……12分解：（1）当0<x≤10时，y=60；……1分当x>10时，y=60-0.5(x-10)=65-0.5x。令65-0.5x≥50，解得x≤30。……3分所以y关于x的函数关系式为：y={60,0<x≤10且x∈N*{65-0.5x,10<x≤30且x∈N*{50,x>30且x∈N*……5分（2）当0<x≤10时，W=(60-40)x=20x；……6分当10<x≤30时，W=(65-0.5x-40)x=-0.5x²+25x；……7分当x>30时，W=(50-40)x=10x。……8分所以W关于x的函数关系式为：W={20x,0<x≤10且x∈N*{-0.5x²+25x,10<x≤30且x∈N*{10x,x>30且x∈N*……9分（3）当0<x≤10时，W=20x单调递增，所以当x=10时，Wmax=200；……10分当10<x≤30时，W=-0.5x²+25x=-0.5(x-25)²+312.5，所以当x=25时，Wmax=312.5；……11分当x>30时，W=10x单调递增，所以W<10×30=300<312.5。综上，一次性购买该产品25件时，公司获得的利润最大，最大利润是312.5元。……12分解：（1）因为函数f(x)的图像经过点(0,0)，所以d=0。……1分f'(x)=3ax²+2bx+c。因为函数f(x)在x=1处取得极大值2，在x=3处取得极小值，所以f'(1)=3a+2b+c=0，f'(3)=27a+6b+c=0，f(1)=a+b+c=2。……3分解得a=1/2，b=-6，c=9/2。所以函数f(x)的解析式为f(x)=1/2x³-6x²+9/2x。……5分（2）由（1）知f'(x)=3/2x²-12x+9/2=3/2(x-1)(x-3)。……6分令f'(x)=0，得x=1或x=3。当x∈[-2,1)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(3,4]时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增。……8分f(-2)=-25，f(1)=2，f(3)=-9/2，f(4)