高二拓展阿氏圆的应用举例讲义-高二上学期数学人教A版选择性

(引入)已知正方形ABCD的边长为2，点M在以C为圆心，1为半径的圆上，则2|MB|+|MD|的最小值为()A.152 B.15 C.172 答案D解析依题意，以点C为原点，直线CB，CD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，D(0，2)，如图，取点E0，12，设M'(x，y当|M'D|=2|M'E|时，x=2x2化简整理得x2+y2=1，即点M'的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，而点M在以C为圆心，1为半径的圆上，因此|MD|=2|ME|，显然点B在圆C：x2+y2=1外，则2|MB|+|MD|=2|MB|+2|ME|=2(|MB|+|ME|)≥2|BE|，当且仅当M为线段BE与圆C的交点时取等号，而|BE|=22+1所以2|MB|+|MD|的最小值为2|BE|=17.(拓展)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A，B为两定点，动点P满足PA＝λPB.则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证：设AB＝2m(m＞0)，PA＝λPB，以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－m,0)，B(m,0)．又设P(x，y)，则由PA＝λPB得eq\r(x＋m2＋y2)＝λeq\r(x－m2＋y2)，两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；当λ＞1时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(λ2＋1,λ2－1)m))2＋y2＝eq\f(4λ2m2,λ2－12)，轨迹为以点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋1,λ2－1)m，0))为圆心，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2λm,λ2－1)))为半径的圆．2．CM⊥CN.3．当λ＞1时，点B在圆O内；当0＜λ＜1时，点A在圆O内．练习1：满足条件AB＝2，AC＝eq\r(2)BC的△ABC的面积的最大值是________．答案2eq\r(2)解析以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由AC＝eq\r(2)BC，得eq\r(x＋12＋y2)＝eq\r(2)·eq\r(x－12＋y2).平方化简整理得y2＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8≤8.∴|y|≤2eq\r(2)，则S△ABC＝eq\f(1,2)×2|y|≤2eq\r(2)，∴S△ABC的最大值是2eq\r(2).练习2．在△ABC中，边BC的中点为D，若AB＝2，BC＝eq\r(2)AD，则△ABC的面积的最大值是________．答案4eq\r(2)解析以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，由BD＝CD，BC＝eq\r(2)AD知，AD＝eq\r(2)BD，D的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为(x－3)2＋y2＝8，设C(x，y)，得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)，\f(y,2)))，所以点C的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)－3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＝8，即(x－5)2＋y2＝32.所以S△ABC＝eq\f(1,2)×2|y|＝|y|≤eq\r(32)＝4eq\r(2)，故S△ABC的最大值是4eq\r(2).练习3．如图，在等腰△ABC中，已知AB＝AC，B(－1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积等于________．答案4π解析因为AB＝2AD，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x－3)2＋y2＝4(y≠0)．设C(x，y)，由AC边的中点为D(2,0)，知A(4－x，－y)，所以C的轨迹方程为(4－x－3)2＋