第三章圆锥曲线的方程（思维导图知识清单四大易错点总结）（人教A版选择性）（原卷版）

第三章圆锥曲线的方程（思维导图+知识清单+四大易错点总结）【人教A版】3.1椭圆【知识点1椭圆的标准方程】1．椭圆的定义作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.2．椭圆的标准方程椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：椭圆在坐标系中的位置标准方程焦点坐标F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)a,b,c的关系3．椭圆方程的求解(1)用定义法求椭圆的标准方程(2)用待定系数法求椭圆的标准方程①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点【知识点2椭圆的焦点三角形】1．椭圆的焦点三角形(1)焦点三角形的概念设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.(2)焦点三角形的常用公式①焦点三角形的周长L=2a+2c.【知识点3椭圆的简单几何性质】1．椭圆的范围(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里.(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1≥0，故≤1，即a≤x≤a；=1≥0，故≤1，即b≤y≤b.2．椭圆的对称性(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以x代替x，以y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.3．椭圆的顶点与长轴、短轴(1)顶点令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a.这说明A1(a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.(2)长轴、短轴4．椭圆的离心率(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.(2)离心率的范围：0<e<1.(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.5．求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.3.2双曲线【知识点1双曲线的标准方程】1．双曲线的定义作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：双曲线在坐标系中的位置标准方程焦点坐标F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)a,b,c的关系3．双曲线方程的求解(1)用定义法求双曲线的标准方程(2)用待定系数法求双曲线的标准方程用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定【知识点2双曲线的简单几何性质】1．双曲线的简单几何性质双曲线的一些几何性质：图形标准方程范围x≥a或x≤a,y∈Ry≥a或y≤a,x∈R对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)半轴长实半轴长为a,虚半轴长为b离心率渐近线方程2．双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.(2)双曲线离心率的范围：e>1.(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.3．双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.3.3抛物线【知识点1抛物线的标准方程】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)3．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.4．与抛物线有关的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.【知识点2抛物线的简单几何性质】1．抛物线的几何性质抛物线的简单几何性质：标准方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)图形顶点(0,0)(0,0)轴对称轴y=0对称轴x=0焦点准线离心率e=1e=1开口开口向右开口向左开口向上开口向下焦半径范围x≥0x≤0y≥0y≤02．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.3.4直线与椭圆的位置关系【知识点1直线与椭圆的位置关系】1．点与椭圆的位置关系(1)点与椭圆的位置关系：2．直线与椭圆的位置关系(1)直线与椭圆的三种位置关系类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点；Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点；Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点.【知识点2弦长与“中点弦”问题】1．弦长问题(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.2．“中点弦问题”(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.中点轨迹问题的常用方法.(2)弦的中点与直线的斜率的关系3.5直线与双曲线的位置关系【知识点1直线与双曲线的位置关系】1．直线与双曲线的位置关系(1)研究直线与双曲线的位置关系：Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件Δ>0③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件Δ>0【知识点2弦长与“中点弦”问题】1．弦长问题②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.④双曲线的通径：过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于.2．“中点弦问题”“设而不求”法解决中点弦问题：①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.3．双曲线的第二定义平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.3.6直线与抛物线的位置关系【知识点1直线与抛物线的位置关系】1．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系：(2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点.②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.【知识点2抛物线的弦长与焦点弦问题】1．弦长问题2．抛物线的焦点弦问题标准方程弦长公式y2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=2px(p>0)|AB|=p(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=2py(p>0)|AB|=p(y1+y2)【知识点3抛物线的切线】1．抛物线的切线【易错点1根据方程表示椭圆求参数问题】【注】：椭圆方程中分母应注意考虑a≠b的情况.【典例1】（2425高二上·天津红桥·阶段练习）已知曲线x22−m+y2A．(−1,2) B．−1,12∪12,2【跟踪训练1.1】（2425高二上·陕西汉中·期末）“1<m<6”是“方程x2m−1+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【跟踪训练1.2】（2425高二上·山东青岛·期末）已知方程x23−m+y2m−1=1A．(−∞,1) B．(1,2) C．(2,3) 【跟踪训练1.3】（2526高二上·河北保定·阶段练习）若曲线x2m−1−y2m−3=1【跟踪训练1.4】（2025高二上·全国·专题练习）已知方程x2m＋9(1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围；(2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；(3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围.【易错点2根据方程表示双曲线求参数问题】易错点分析：忽略了曲线方程表示双曲线方程时，双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上.【注】：注意题干中所给曲线方程的精确条件.【典例2】（2425高二上·四川成都·阶段练习）已知方程x22+m−y2A．−2,1 B．(1,+∞) C．−2,−1【跟踪训练2.1】（2425高二上·湖北孝感·阶段练习）设m为实数，若方程x23−m+y2m+2=1A．−2<m<3 B．m>3 C．12<m<3 【跟踪训练2.2】（2425高二上·重庆·阶段练习）已知方程x2m+2+y2A．3,+∞ B．−2,3 C．−∞,−2【跟踪训练2.3】（2425高二上·全国·课后作业）已知方程mx22−m+y2m−3【跟踪训练2.4】（2425高二上·全国·课后作业）已知x21−k−(1)方程表示双曲线？(2)方程表示焦点在x轴上的双曲线？【易错点3抛物线方程没有标准化】易错点分析：在抛物线的非标准方程中，直接利用公式求焦点或准线方程导致结果错误.【注】抛物线问题要先化为标准方程.【典例3】（2526高二上·云南昭通·阶段练习）抛物线方程为y=1A．x=−116 B．y=−116 C．【跟踪训练3.1】（2425高二下·广东·期末）已知抛物线y=2x2A．14 B．12 C．1 【跟踪训练3.2】（2425高二上·陕西宝鸡·期末）抛物线x2−10y=0的焦点到准线的距离是（A．52 B．5 C．152【跟踪训练3.3】（2425高二上·浙江绍兴·期末）抛物线y=x22【跟踪训练3.4】（2425高二·全国·课后作业）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.(1)y2(2)x2(3)x2(4)x+y(5)y=2x(6)4y【易错点4设直线方程时忽略了直线的斜率是否存在】易错点分析：设直线的点斜式或斜截式方程时直接假设直线斜率存在，忽略了直线斜率不存在的情况.【注】：设直线方程既要考虑斜率存