数学解题策略

数学解题策略汇报人：数学家一、模式识别学习数学的过程中所累积的知识经验经过加工，会得出具有长久保存价值或基本重要性质的典型结构与重要类型─模式，将其有意识的记忆下来，并做有目的的编码，当遇到一个新的问题时，我们辨识它属于哪一种模式，联想曾解决过的问题，以此为索引，在记忆中提取相对应的方法来解决面对的新问题，这就是模式识别的解题策略。接触到数学问题之后，首先要辨别题目的类型，通过与已有知识经验的联系，不同的问题可能与不同的模式相联系，同一问题也可能与不同模式相联系。模式的形成是每个人在各种类型问题的解决中，根据问题的要求和规则逐渐总结而出的。模式具有规律性，是内化到脑中的知识结构，正确地在新的问题情境中对其识别与辨识是这一种策略运用的前提。对于已知定理、公式的辨识，对于已知解题规律、方法的辨析，与类似问题、较简单问题的类比等均属于模式识别的解题策略的范畴。1.从思维的角度看，模式识别的解题策略体现了思维正向迁移的积极作用。「遇新思陈、推陈出新」的目的是在为当前问题与头脑中已有的知识、经验之间建立联系，借以诱发积极有用的思维。因为解题者所累积的知识和经验是解决问题的依据与借镜。2.在数学教学中，重视「基本问题」的作法是这种策略的重要表现。累积基本问题是提高这种策略效率的捷径。例如在几何上有解题的「基本图形法」，即将一些典型的图形彻底解剖，遇到一个新的图形时，可将其补充成为一个基本图形，或将其拆为几个基本图形，然后在其基本图形的框架内加以解决。要掌握好模式识别的解题策略，应该做到：1.积极累积─要把类型、方法和范例当作一个整体来累积。类型是模式的骨架,范例是模式的血肉,方法是模式的灵魂,三者缺一不可;其中,最容易被忽略的是范例。科学哲学家库恩认为:学生是通过学习范例、通过做习题等活动来掌握一门科学知识及其方法的;没有范例,科学就不能清楚的表达出来,也就无法为人们所掌握;没有范例,人们也就无从按照该门科学的要求去解决任何问题。数学大师陈省身也曾经指出:一个好的数学家与一个蹩脚的数学家之差别,在于前者有很多具体的例子,后者则只有抽象的理论。2.自觉使用─由于数学是一门演绎推理的学科，所以任何一个已被证实的结论都可以成为推断其他结论的依据，而不必事事都回到原始概念或公理上去。因此，化归为基本模式确实是数学解题的一个可靠而有效的策略，解题就是归结于已经解过的题。3.努力突破─波利亚十分重视模式，他在《数学的发现》一书中花了很大的篇幅详细介绍「双轨迹模式」、「笛卡尔模式」、「叠加模式」。但他并没有将模式变为束缚思维的框框，而是当作思维起飞的跑道。事实上，模式只是提供了一个相对稳定的样本，既非万能，也不是一成不变；遇到更艰深的、非常规的问题时，往往需要转化、分解或重组，从而创造出新的模式，最终达到「没有模式就是最好的模式」(即「见山不是山，见水不是水；见山还是山，见水还是水」)的至高境界。二、媒介过渡媒介过渡的解题策略是指在解决问题过程中，通过人为设置中间媒介元素，作为沟通题设与结论的探索桥梁以帮助解题的策略。构造辅助元素方法(如辅助线、角、面、体、函数、模型等)、类比法，设置可当作子目标的一个或多个中间结论的方法，以及从条件与结论出发，正向、逆向推理结合，寻找中途点的方法等均是这一解题策略的具体体现。特别，对于比较复杂的数学问题如果已知条件与结论之间不易找到直接的因果关系，这时可以在已知条件与结论之间设置若干个中间媒介，把问题分成若干个小问题，通过这些小问题的解决，使得原问题得到解决。「向前进」是人类认识事物与进步的自然趋势，数学知识的发展与命题序列的形成也是一个前进的过程。不过这种趋势与进程并不是永远平坦的，要正确反应及把握其过程与规律，就需要通过辩证思维的途径。用联系转化的观点，「以退求进」，即“先足够的退到我们所容易看清楚的地方，认透了、鉆深了，然后再上去”(华罗庚)。反而言之，有些数学问题却需要「先进后退」，通过更一般(但较容易研究的)问题的讨论，来解决特殊的或具体的问题，即以进求退。恰当运用进、退是数学解题的重要策略之一。一个数学问题如果直接下手有困难，即可转而去考虑一个更特殊的问题或更普遍的问题。如同波利亚所言：「你能不能去想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部份？…」三、进退互用「进」，就是把问题从特殊推进到一般，从低维推进到高维，从较具体的推进到较抽象的，…等。通过对一般性问题的解决，而使原问题得到解决。「退」，就是从一般到特殊，从复杂到简单，从抽象到具体，从整体到部分，从高维到低维，从较强的命题到较弱的问题，通过特殊性问题的解决，而使原问题得到解决。进退互用的思维策略不仅是分析和解决问题的有效方法，而且可以从问题的推广、引伸的过程中探索未知。因此，也是发现数学知识、培养创造性思维能力的一般的研究方法。数学归纳法、经验归纳法、类比法、递推法、…等数学方法，就是「进退互用」这一策略的具体表现。解决一般化问题，有时需要先进到更一般化的问题，等发现它的一般规律之后再退回，使原问题获得解决。波利亚曾经指出：“雄心大的计划成功的希望也较大，这看起来似乎矛盾，但当从一个问题过渡到另一个问题，我们常常看到新的雄心大的问题比原问题更容易掌握，较多的问题可能比只有一个问题更容易回答，较复杂的定理可能更容易证明，较普遍的问题可能更容易解决。”希尔伯特也曾说过：「在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的问题不过是一连串有关问题的一个环节。这一策略不仅有利于解决原问题，而且有利于问题的引伸和推广。数学中所采用的对称、拼接、组合、重叠等方法，以及从总体出发解决局部的问题，都是以进求退的具体表现。1.以进求退由于有些数学问题的条件过于特殊或过于具体，反而掩盖了问题的本质特征，增加了解题的难度，此时反倒可以将低维问题转化为高维问题，从一般性、整体性方面去考虑，通过一般性、整体性的问题性质与特征的探讨，而使问题获得解决，这种处理问题的方法就是以进求退的重要方法之一。2.以退求进在解对于目标限制条件较多的问题时,常常故意放弃某些限制条件,先「退」,而解决一个较弱的问题;再逐步调整,「进」而满足原来放弃的条件要求。虽然进退不能分割,“进而有退、退不忘进”,但对解题思路的发现而言,退比进更为重要,善于退、足够的退,退到原始而不失重要性的地方,退到保持特征的最简单情况;先解决简单的情况,先处理特殊的对象,再归纳、联想、发现一般性。取值、极端化、降维、降次、减元等都是以退求进的表现。适当的退有三种意义：(1)提示解题方向─有的题目其结论不明确(如定值问题),经过「退」(取特殊数值、特殊位置、特殊结构)可以找到结论应该是什么(定值的的具体数字或表达式),从而使证明(或计算)有了目标,抓住了解题方向,是解题的重要进展。(2)寻找解题途径─问题经过「退」之后，简单了、容易了；然后，简单情况的处理可能呈现着复杂问题的解决方案，特殊情况的完成可能提供了一般情况的类比基础。譬如一个关于自然数的命题，解决了当n=1,2,3的情形，对任意的n，有时也可以同样解决。(3)直接解决问题─很多数学问题其实是某些结论的特例。事实上，所有数学问题的结论都必定是“已知条件”的“必要条件”。然而得出这些特殊或必要条件，常常就是一个「退」的过程。一个简单化、特殊化、限定或取值的过程。3.进退并用有时交错采用进退的方法,较易解决一些问题,现在只举一个简单的例子加以说明。四、正反相辅解数学问题时，一般是从正面入手，按照习惯的思维途径进行思考,这就是「正向思维」。如果这种思维方式对于特定的数学问题形成了一种较强烈的意识，则就是一种「定向思维」。这种思维方式在思维方向上具有定向性、层次性和聚合性，在思维内容上具有求同性和专注性，人们常常藉助于一些具体的模式和方法先加强这种思维定势，从而使许多数学问题得到解决。然而事物往往是互为因果的，具有双向性与可逆性。

如果从正面着手较复杂或较难，这时就要从辩证思维的观点出发，克服思维定势的消极面，从问题本身或其中某个方面的反面入手去进行思考，采去顺繁则逆、正难则反的思维策略。也就是说，当直接证明不易解决时，就考虑用反证法或逆推法，当正向思维不能凑效时，就采用逆向思维去探索；即顺向推导有困难时就逆向推导，直接证明有困难时就间接证明，正面求解有困难时就反向逆找，探求问题的可能性有困难时就探求不可能性。这种对于某些数学问题，从正面解决有困难，转而向反面寻求问题解答的策略，称为「正反相辅」的解题策略。这一策略需考虑与习惯性思维方向相反的探索方式，寻求问题的反面求解。数学问题的举反例、反证法、反推法、排除法、以及数学定理与公式的逆用等都是此一策略的具体表现。在数学解题中运用「正反相辅」的策略时要注意下列五个方面：(1)定义的可逆性；(2)公式的反向运用；(3)对原问题反向推导，逐步还原；(4)直接证明受阻时，改为反证；(5)对原问题的条件作反向思考。从问题的反方向或否定形式出发常能产生新的观念，它在正向思考受阻时，作用特别明显；但是应当指出它是建立在正向思维的基础上的。一方面它是对正向思维的背逆，另一方面它又离不开对正向思维的使用，所以应该是「正反相辅」。注重整体性与连通性，做到正向思考与逆向思考相结合；综合法与分析法相结合；论证与反例相结合；倒推与顺证相结合。总之，这一策略反应了原因与结果的辩证统一,肯定与否定的辩证统整，有限与无限的辩证统整，证实与证伪的辩证统整.五、分和并用从辩证思维的角度观察，任何事物都具有「一中有多，多中有一」的性质，因而任何事物都可分割或分解。反应在数学解题策略上，就是在解题过程中可以将求解问题分割或分解，转化成一些较小的且易于解决的小问题，在通过相加或合成，使原问题在整体上得到解决，这就是化一为多，以分求和的思想方法。有时也可以反过来，把求解问题纳入到较大的合成问题中，寓分于合，以合求分使原问题迎刃而解。数学解题中常常采用这种分与合相辅相成、转化统一、互寓互用的解题策略叫做分合并用策略。分合并用的主要表现是：综合与单一间的分合、整体与部分间的分合、无限与有限间的分合等。譬如数学中微积分方法就是分与合策略的具体表现。数学解题方法中的枚举法、迭加法