2025年度初中数学竞赛模拟试卷及解析

2025年度初中数学竞赛模拟试卷及解析一、选择题（每题5分，共30分）1.若\(a\)，\(b\)为实数，且\(\verta+1\vert+\sqrt{b1}=0\)，则\((ab)^{2025}\)的值是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(1\)D.\(\pm1\)解析：因为绝对值一定是非负的，即\(\verta+1\vert\geq0\)，算术平方根也是非负的，即\(\sqrt{b1}\geq0\)。而\(\verta+1\vert+\sqrt{b1}=0\)，根据非负数的性质，几个非负数的和为\(0\)，则这几个非负数都为\(0\)。所以\(a+1=0\)，解得\(a=1\)；\(b1=0\)，解得\(b=1\)。那么\(ab=(1)\times1=1\)，所以\((ab)^{2025}=(1)^{2025}=1\)，答案选C。2.已知二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象如图所示，有下列5个结论：①\(abc\gt0\)；②\(b\lta+c\)；③\(4a+2b+c\gt0\)；④\(2c\lt3b\)；⑤\(a+b\gtm(am+b)\)（\(m\neq1\)的实数）。其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个解析：①由抛物线开口向下得\(a\lt0\)，对称轴\(x=\frac{b}{2a}\gt0\)，则\(b\gt0\)，抛物线与\(y\)轴正半轴相交，所以\(c\gt0\)，那么\(abc\lt0\)，故①错误。②当\(x=1\)时，\(y=ab+c\lt0\)，移项可得\(b\gta+c\)，故②错误。③当\(x=2\)时，\(y=4a+2b+c\gt0\)，故③正确。④由对称轴\(x=\frac{b}{2a}=1\)，得\(a=\frac{b}{2}\)，当\(x=1\)时，\(y=ab+c\lt0\)，把\(a=\frac{b}{2}\)代入\(ab+c\lt0\)，可得\(\frac{b}{2}b+c\lt0\)，两边同时乘以\(2\)得\(3b+2c\lt0\)，即\(2c\lt3b\)，故④正确。⑤当\(x=1\)时，\(y\)有最大值\(a+b+c\)，当\(x=m\)（\(m\neq1\)）时，\(y=am^{2}+bm+c\)，所以\(a+b+c\gtam^{2}+bm+c\)，移项可得\(a+b\gtm(am+b)\)，故⑤正确。所以正确的结论有③④⑤，共3个，答案选B。3.若关于\(x\)的分式方程\(\frac{xa}{x1}\frac{3}{x}=1\)无解，则\(a\)的值为（）A.\(1\)B.\(0\)C.\(2\)D.\(1\)或\(2\)解析：方程\(\frac{xa}{x1}\frac{3}{x}=1\)两边同乘\(x(x1)\)去分母得：\(x(xa)3(x1)=x(x1)\)，展开式子得\(x^{2}ax3x+3=x^{2}x\)，移项合并同类项得\((a2)x=3\)。当\(a2=0\)，即\(a=2\)时，方程\((a2)x=3\)无解，此时原分式方程也无解。当\(a2\neq0\)时，\(x=\frac{3}{a+2}\)，若原分式方程无解，则\(x(x1)=0\)，即\(x=0\)或\(x=1\)。当\(x=0\)时，\(\frac{3}{a+2}=0\)，此方程无解；当\(x=1\)时，\(\frac{3}{a+2}=1\)，解得\(a=1\)。综上，\(a\)的值为\(1\)或\(2\)，答案选D。4.如图，在\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=BC\)，\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分线，\(DE\perpAB\)于点\(E\)，若\(AB=10cm\)，则\(\triangleDBE\)的周长为（）A.\(10cm\)B.\(8cm\)C.\(6cm\)D.\(9cm\)解析：因为\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分线，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(DE\perpAB\)，根据角平分线的性质可得\(CD=DE\)。又因为\(AC=BC\)，\(\angleC=90^{\circ}\)，所以\(\angleB=45^{\circ}\)，在\(\triangleBDE\)中，\(\angleB=45^{\circ}\)，\(\angleBED=90^{\circ}\)，则\(\triangleBDE\)是等腰直角三角形，所以\(BE=DE\)。\(AC=AE\)（全等三角形对应边相等，\(\triangleACD\cong\triangleAED\)），\(\triangleDBE\)的周长\(=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm\)，答案选A。5.已知\(x_{1}\)，\(x_{2}\)是一元二次方程\(x^{2}2x1=0\)的两实数根，则\(\frac{1}{2x_{1}+1}+\frac{1}{2x_{2}+1}\)的值是（）A.\(6\)B.\(4\)C.\(2\)D.\(1\)解析：由韦达定理可知，对于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），若\(x_{1}\)，\(x_{2}\)是其两根，则\(x_{1}+x_{2}=\frac{b}{a}\)，\(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)。对于方程\(x^{2}2x1=0\)，\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=1\)，所以\(x_{1}+x_{2}=2\)，\(x_{1}x_{2}=1\)。\(\frac{1}{2x_{1}+1}+\frac{1}{2x_{2}+1}=\frac{2x_{2}+1+2x_{1}+1}{(2x_{1}+1)(2x_{2}+1)}=\frac{2(x_{1}+x_{2})+2}{4x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2}+1}\)，把\(x_{1}+x_{2}=2\)，\(x_{1}x_{2}=1\)代入上式得：\(\frac{2\times2+2}{4\times(1)+2\times2+1}=\frac{4+2}{4+4+1}=6\)，答案选A。6.如图，在矩形\(ABCD\)中，\(AB=3\)，\(BC=4\)，点\(P\)在\(BC\)边上运动，连接\(DP\)，过点\(A\)作\(AE\perpDP\)，垂足为\(E\)，设\(DP=x\)，\(AE=y\)，则能反映\(y\)与\(x\)之间函数关系的大致图象是（）解析：连接\(AP\)，根据矩形面积的不同表示方法来建立\(x\)与\(y\)的关系。矩形\(ABCD\)的面积\(S=AB\timesBC=3\times4=12\)。\(\triangleADP\)的面积\(S_{\triangleADP}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=6\)（因为\(\triangleADP\)的面积是矩形\(ABCD\)面积的一半）。又因为\(S_{\triangleADP}=\frac{1}{2}DP\cdotAE\)，已知\(DP=x\)，\(AE=y\)，所以\(\frac{1}{2}xy=6\)，即\(y=\frac{12}{x}(x\gt3)\)，这是一个反比例函数，且\(x\)的取值范围是\(x\gt3\)，其图象是反比例函数\(y=\frac{12}{x}\)在\(x\gt3\)的部分，答案是反比例函数在第一象限且\(x\gt3\)的那一段图象。二、填空题（每题5分，共30分）1.分解因式：\(x^{3}4x^{2}y+4xy^{2}=\)______。解析：先提取公因式\(x\)，得到\(x(x^{2}4xy+4y^{2})\)，再根据完全平方公式\(a^{2}2ab+b^{2}=(ab)^{2}\)，其中\(a=x\)，\(b=2y\)，所以\(x^{2}4xy+4y^{2}=(x2y)^{2}\)，则原式分解因式的结果为\(x(x2y)^{2}\)。2.若\(\sqrt{x2y+9}\)与\(\vertxy3\vert\)互为相反数，则\(x+y\)的值为______。解析：因为\(\sqrt{x2y+9}\)与\(\vertxy3\vert\)互为相反数，所以\(\sqrt{x2y+9}+\vertxy3\vert=0\)。根据非负数的性质，可得\(\begin{cases}x2y+9=0\\xy3=0\end{cases}\)，用第二个方程\(xy3=0\)减去第一个方程\(x2y+9=0\)，得\((xy3)(x2y+9)=0\)，展开括号\(xy3x+2y9=0\)，合并同类项得\(y12=0\)，解得\(y=12\)。把\(y=12\)代入\(xy3=0\)，得\(x123=0\)，解得\(x=15\)。所以\(x+y=15+12=27\)。3.如图，在\(\odotO\)中，弦\(AB\)与\(CD\)相交于点\(E\)，\(\angleC=35^{\circ}\)，\(\angleB=45^{\circ}\)，则\(\angleAED\)的度数为______。解析：在\(\triangleBEC\)中，根据三角形内角和定理，\(\angleBEC=180^{\circ}\angleB\angleC\)。已知\(\angleC=35^{\circ}\)，\(\angleB=45^{\circ}\)，则\(\angleBEC=180^{\circ}45^{\circ}35^{\circ}=100^{\circ}\)。因为\(\angleAED\)与\(\angleBEC\)是对顶角，对顶角相等，所以\(\angleAED=\angleBEC=100^{\circ}\)。4.已知\(a\)，\(b\)是方程\(x^{2}x3=0\)的两个根，则代数式\(2a^{3}+b^{2}+3a^{2}11ab+5\)的值为______。解析：因为\(a\)是方程\(x^{2}x3=0\)的根，所以\(a^{2}a3=0\)，即\(a^{2}=a+3\)，\(a^{3}=a\cdota^{2}=a(a+3)=a^{2}+3a=(a+3)+3a=4a+3\)。因为\(b\)是方程\(x^{2}x3=0\)的根，所以\(b^{2}b3=0\)，即\(b^{2}=b+3\)。将\(a^{3}=4a+3\)，\(a^{2}=a+3\)，\(b^{2}=b+3\)代入\(2a^{3}+b^{2}+3a^{2}11ab+5\)得：\(2(4a+3)+(b+3)+3(a+3)11ab+5\)\(=8a+6+b+3+3a+911ab+5\)\(=(8a+3a11a)+(bb)+(6+3+9+5)=23\)。5.如图，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，以点\(C\)为圆心，\(r\)为半径作圆。当\(r=\)______时，\(\odotC\)与\(AB\)相切。解析：过点\(C\)作\(CD\perpAB\)于点\(D\)，当\(\odotC\)与\(AB\)相切时，\(CD\)的长就是半径\(r\)。根据勾股定理可得\(AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10\)。再根据三角形面积公式\(S=\frac{1}{2}AC\cdotBC=\frac{1}{2}AB\cdotCD\)，即\(\frac{1}{2}\times6\times8=\frac{1}{2}\times10\timesr\)，解得\(r=4.8\)。6.已知一组数据\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的方差为\(2\)，若数据\(ax_{1}+b\)，\(ax_{2}+b\)，\(\cdots\)，\(ax_{n}+b\)（\(a\gt0\)）的方差为\(8\)，则\(a\)的值为______。解析：根据方差的性质，若一组数据\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的方差为\(s^{2}\)，那么数据\(ax_{1}+b\)，\(ax_{2}+b\)，\(\cdots\)，\(ax_{n}+b\)的方差为\(a^{2}s^{2}\)。已知数据\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的方差\(s^{2}=2\)，数据\(ax_{1}+b\)，\(ax_{2}+b\)，\(\cdots\)，\(ax_{n}+b\)的方差为\(8\)，则\(a^{2}\times2=8\)，因为\(a\gt0\)，所以\(a^{2}=4\)，解得\(a=2\)。三、解答题（每题20分，共40分）1.已知关于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}(m+3)x+m+2=0\)。（1）求证：无论\(m\)取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时\(m\)的值。解析：（1）证明：对于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），其判别式\(\Delta=b^{2}4ac\)。在方程\(x^{2}(m+3)x+m+2=0\)中，\(a=1\)，\(b=(m+3)\)，\(c=m+2\)，则\(\Delta=[(m+3)]^{2}4\times1\times(m+2)=m^{2}+6m+94m8=m^{2}+2m+1=(m+1)^{2}\)。因为任何数的平方都大于等于\(0\)，即\((m+1)^{2}\geq0\)，所以无论\(m\)取何值，方程总有两个实数根。（2）根据韦达定理，\(x_{1}+x_{2}=m+3\)，\(x_{1}x_{2}=m+2\)。①当\(x_{1}=x_{2}\)时，\(\Delta=(m+1)^{2}=0\)，解得\(m=1\)。②当\(x_{1}=x_{2}\)时，\(x_{1}+x_{2}=m+3=0\)，解得\(m=3\)，此时方程为\(x^{2}1=0\)，两根为\(x_{1}=1\)，\(x_{2}=1\)，满足条件。综上，\(m\)的值为\(1\)或\(3\)。2.如图，在平面直角坐标系中，直线\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）与双曲线\(y=\frac{m}{x}\)（\(m\neq0\)）相交于\(A(2,1)\)，\(B(1,n)\)两点。（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若点\(P\)在\(x\)轴上，且\(S_{\triangleAOP}=2S_{\triangleAOB}\)，求点\(P\)的坐标。解析：（1）把\(A(2,1)\)代