广东省八校联盟2025-2026学年高三上学期质量检测（二）数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省八校联盟2025-2026学年高三上学期质量检测（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数11−2i（A．23 B．25 C．152．已知集合A=−1,0A．−1,3 B．−1,23．已知角α的终边经过点P−2,1，则A．12 B．−12 C．44．已知a=5,b=2,−4，若aA．10 B．-10 C．15 D．5．已知抛物线y=18x2上的点P到其焦点的距离为4，若点PA．（7,498） B．（56．若正四棱台上、下底面的面积分别为1，16，高为2，则此四棱台的体积与表面积的数值之比为（

）A．1445 B．13 C．7157．某单位国庆期间有4天假期，现安排甲、乙、丙3人值班，每人至少值班一天，每天只安排一人值班，且甲不安排在第一天值班的安排方法共有（

）A．20种 B．36种 C．24种 D．18种8．如果数列an对任意的n∈N*,an+2−aA．63 B．64 C．65 D．66二、多选题9．记△ABC的内角A,B,CA．sinB．aC．△ABD．△A10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数y=x称为高斯函数，其中x∈R，用x表示不超过x的最大整数，例如−2.1A．fB．fxC．fx为RD．y=fx11．双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线被双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一焦点．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为53，左、右焦点分别为F1−c,0,FA．双曲线C的方程为xB．若PF1⊥C．点T的坐标为9D．若x0=三、填空题12．一组数据xi,yii=1,13．已知M是圆O:x2+y2=a2a>0上的动点，点N满足MN=14．若函数fx=exa四、解答题15．已知函数f(x)=（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）求f(16．某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球．(1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率；(2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为X，求X的分布列与数学期望．17．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥(1)证明：平面PBC⊥(2)若BC=2，CD=3，PA=AB=4，（i）求DO与平面P（ii）设PH=λPD，N为PC的中点且H，A，O18．已知函数fx(1)求函数gx(2)求函数fx(3)证明：fx19．已知椭圆Γ:x2(1)求椭圆Γ的方程；(2)按下面方法进行操作：过点Anan,00<an<1,n∈N*作两条互相垂直且不与坐标轴重合的直线ln与l′n，直线ln交椭圆Γ于Cn,Dn两点，直线（i）若an为等比数列，证明：b（ii）若an=1答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广东省八校联盟2025-2026学年高三上学期质量检测（二）数学试题》参考答案题号12345678910答案BADBCBCABCABD题号11答案ACD1．B【分析】将复数11−2i（i【详解】因为11所以复数11−2i（故选：B.2．A【分析】根据题意，求得B=x|0≤【详解】由函数y=−x2+解得0≤x≤2，所以B=因为A=−1故选：A.3．D【分析】根据任意角正切的定义求得tanα，根据二倍角的正切公式求得tan【详解】因为角α的终边经过点P−2,所以tan2故选：D.4．B【分析】由向量数量积定义及乘法分配律，结合模长坐标运算公式计算即可.【详解】因为b=2,因为a=5，a与b的夹角为所以a⋅则2a故选：B5．C【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再由抛物线的定义可得点的坐标.【详解】将抛物线y=18x2化为标准方程为x设抛物线上一点Px0,18x02，x0故选：C.6．B【分析】结合题意求出四棱台的体积和表面积，进而得到比值即可.【详解】因为正四棱台上、下底的面积分别为1，16，所以上、下底面的正方形边长分别为1和4，因为高为2，所以斜高为52，所以四棱台的体积为2由四棱台的表面积公式得表面积为1+故此四棱台的体积与表面积的数值之比为1442故选：B.7．C【分析】分甲值一天班和甲值两天班两种情况，结合甲不安排在第一天值班分类讨论求解即可.【详解】若甲值一天班且甲不安排在第一天值班，则甲有C3则剩下三天安排乙、丙2人值班，则其中有一人需安排值两天班，则乙、丙2人有C3此时甲、乙、丙3人共有3×若甲值两天班且甲不安排在第一天值班，先从乙、丙2人中选择一人安排在第一天值班，则有C2再安排乙、丙2人中剩下的一人与甲值剩下三天班且甲值两天班，有C32=3综上，共有18+故选：C8．A【分析】通过新定义得到ak−a【详解】因为数列an为“速增数列”，a1=1，所以对∀n∈N*，所以ak−a所以a3相加得ak所以ak≥kk+当k=63时，当k=64时，故正整数k的最大值为63.故选：A9．BC【分析】根据正弦定理、余弦定理解三角形即可得到有关结论.【详解】由正弦定理可得：bsin由余弦定理可得：c2=a2+由正弦定理可得：2R=csinC因为b<c<a，所以角A为最大角，由余弦定理有cosA故选：BC.10．ABD【分析】A选项，由定义计算；B选项，取特殊值可判断，C选项，利用解析式判断单调性；D选项，由函数图象交点的求法，结合函数新定义判断.【详解】对于A，f1对于B，由f12=则函数f(对于C，令x1>x由x1>x2，则所以fx在R对于D，令x+x=又x−1<x≤当x=2时，有当1<x<2时，x=1，则当x=1时，有当0<x<1时，x=0，则综上，两图象所有交点的横坐标之和为2+故选：ABD11．ACD【分析】对于A选项：将点A代入双曲线，结合离心率即可求出双曲线C的方程；对于B选项：利用双曲线的定义与勾股定理即可求出答案；对于CD选项：结合角平分线定理和焦半径公式即可求出答案.【详解】由题意知：e=ca=5在△PF1所以△PF1由角平分线定理有F1TTF2由焦半径公式可知PF代入角平分线定理：t+55所以点T的坐标为9x若x0=9故选：ACD.12．78【分析】根据回归直线恒过样本中心点x,y，求得y，即可求得【详解】由i=16因为y=2x+3过点x故答案为：78.13．92/41【分析】利用相关点法求得圆C的轨迹方程，进而得到两圆的公共弦所在直线的方程，对照已知条件中公共弦所在直线方程，分别求出λ,a，从而得到【详解】设Mx0,所以x-x0因为M是圆O:x2+所以轨迹C的方程为x-所以圆O与轨迹C的公共弦所在直线的方程为x-化简得2x由题意知2λ=1则a+故答案为:9214．e【分析】把函数fx=exax−x+lnx+ln【详解】fx令x−lnx−ln当t>0，g′t>0，gt则t=0时，gt取得最小值1，所以x记hx=x当x>1，h′x>当0<x<1，h′故hx≥h1=1，且当x→所以lna≥1，得a≥e故答案为：e15．(1)α=(2)kπ【详解】分析：(1)将fπ2=-3-1详解：（Ⅰ）由已知得，f=又0<α<π（Ⅱ）fx=函数x最小正周期T函数x单调递减区间为kπ点睛：考查三角函数的化简和基本性质，正确化简是解题关键，属于基础题.16．(1)1(2)X的分布列为X01234P81432864768256X的数学期望是EX【分析】（1）解法一，利用条件概率公式及全概率公式即可求解；（2）由题意可得，根据二项分布的特征即可求解分布列及数学期望.【详解】（1）记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B.PB所以PA故在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率为12（2）由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为47，摸到绿球的概率为3记四次摸球活动中，摸到红球的次数为Y，则Y~因为四次摸球总得分为X，所以Y=X.所以所以PXPXPXPXPX所以X的分布列为X01234P81432864768256所以X的数学期望是EX17．(1)证明见解析(2)（i）323177；（ii）【分析】（1）先证明BC⊥平面（2）（i）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法，即可求得答案；（ii）根据H，A，O，N四点共面，则存在实数a，b，使得AH【详解】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，B又BC⊥AC，AC⊂平面PA所以BC⊥平面又BC⊂平面PBC，所以平面（2）（i）解：在四边形ABCD中，因为BC⊥故AC又CD=3，AD=结合AB//D以A为原点，AB,AD,AP由（1）知BC⊥平面PAC，PC因为P，A，B，C在同一个球面上，且∠PAB,∠故PB为外接球直径，则球心O为PB则B4,0,0，C3,所以DO=2,−设平面PBC的一个法向量为n=则PB⋅n=0BC⋅n=0设DO与平面PBC则sinθ（ii）解：因为O,N分别为PB所以AO=2,0∵A∵H，A，O，N四点共面，∴存在实数a，b，使得AH即0,∴0=218．(1)单调递增区间为−∞,0(2)函数fx(3)证明见详解【分析】（1）确定函数gx（2）确定函数fx定义域求导，对函数hx求导，得到函数hx单调递增，再利用零点存在定理可确定hx存在唯一的零点（3）ux=fx−1gx=x−2ln【详解】（1）由题知函数gx的定义域为Rg′x=1−ex所以g′x=1−ex即gx的单调递增区间为−∞,（2）函数fx的定义域为0f'x=h'x=2+lnx当x∈e-2,所以h'x≥又h1=−1<0,即f′x在1,当0<x<x0时，f所以函数fx（3）令ux由（1）gx当x≥2时，x−2≥当0<x≤1时，x−当1<x<即证x−令vxv′又1<x<2时，xln所以vx在1<x即得证x−综上，fx19．(1)x(2)（i）证明见解析；（ii）i【分析】（1）可知得椭圆得焦点和短轴顶点共圆，可得b=c，由长轴长与焦距之差可得a−（2）（i）设出直线ln的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式可得Pn与Qn的坐标，再由ln与l′n互相垂直及Pn（ii）由（i）的结论以及an=12n，