广东省广州市天河区2026届高三上学期综合测试（一）数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省广州市天河区2026届高三上学期综合测试（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z满足i⋅z=3−A．3 B．4 C．5 D．72．已知集合A=1,3,A．0或3 B．0或3 C．1或3 D．1或33．把函数y=tan12x的图象向左平移π3后得到函数A．−4π3C．−5π34．已知函数f(x)=2x−A．(−∞,−4) B．(5．已知cos(α+β)A．35 B．−35 C．46．若直线y=x+a与曲线A．a+b=−1 B．a+7．在三棱锥P−ABC中，若PA⊥PB，A．12 B．22 C．338．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．23 B．33 C．23二、多选题9．下列命题中，正确的是（

）A．方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度B．数据3，4，5C．若一组样本数据的样本点都在直线y=0.98x+D．若随机变量X~N(510．已知圆C:(x−4)2+(y−5)A．直线l过定点B．|MC．CM⋅D．当圆C上恰有三个点到直线l的距离等于3时，m11．已知函数f(x)定义域为R，当x<0时，0<f(xA．f(0)=1 C．12<f(三、填空题12．已知a=log2x,1，b=log13．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，若圆台上、下底面面积之比为1：4，则圆台的体积与球体积之比为.14．如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为.

四、解答题15．在△ABC中，A,B,C(1)求角C的大小；(2)若c=7，且△ABC16．已知数列an的首项a1=2，且满足(1)证明：数列an(2)若bn=nan+n−117．在三棱锥A−BCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点(1)求证：AD(2)若△BCD是边长为2的等边三角形，且三棱锥A−BCM18．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行7轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品2幅和创意作品1幅，若有不少于2幅作品入选，将获得“巧手奖”.7轮比赛中，至少获得6次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准.(1)从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品2幅和创意作品1幅，记抽出的3幅作品中符合入选标准的幅数为X，求X的分布列和数学期望；(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率，经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率不减小且共增加了11219．已知常数a>0，函数(1)讨论f(x)(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2(3)设n∈N*答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广东省广州市天河区2026届高三上学期综合测试（一）数学试题》参考答案题号12345678910答案CBACDDBDADACD题号11答案BCD1．C【分析】先利用i2=−1对已知条件化简求出【详解】∵i⋅z=3∴−1⋅∴|故选：C．2．B【分析】利用集合的包含关系可得m=3或m=【详解】因为集合A=1,3,m，B=若m=3，则A=若m=m，则m=当m=0时，A=当m=故选：B.3．A【分析】根据平移的性质可得fx【详解】由题意可得fx令−π2+故单调递增区间为−4故选：A4．C【分析】根据指数函数和二次函数值域的求法可求得f(x)【详解】当x<2时，当x≥2时，所以如果f(则−a≥4所以实数a的取值范围是(−故选：C.5．D【分析】通过两角和的余弦公式证明sinα【详解】sin==cos所以sinα故选；D6．D【分析】根据导数的几何意义（切线斜率）和切点同时在直线与曲线上列方程求解即可．【详解】设切点为x,y，曲线y=ex所以ex+b=1又因为切点同时在直线与曲线上，纵坐标相等，所以e−b+故选：D．7．B【分析】设PA=PB=1，建立空间直角坐标系，设点【详解】设PA=PB=1，以P为原点，PA则P0,0∴P∵∠∴PA⋅同理PB⋅设PC=t∵P∴t=t∴直线PC与平面PAB夹角的正弦值等于点C到平面PAB的距离z故选：B．8．D【分析】根据题意在Rt△MNF2中，NF2【详解】连接NF2，设MF1=因为MF1+在Rt△MNF2化简得n=2m，则M在Rt△MF所以(2c)2=故选：D9．AD【分析】利用方差、极差的意义判断A；计算百分位数判断B；利用相关系数判断C；利用正态分布的概率计算判断D.【详解】对于A，方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度，A正确；对于B，计算第75百分位数：数据个数为8，8×0.75=6，为整数，则第75百分位数是第6个数与第对于C，样本点都在直线y=0.98x对于D，由X~N(5,σ2代入得P(又P(X≤则P(由对称性P(故选：AD.10．ACD【分析】对于选项A，将直线l:mx−y−2m+3=0整理成m(x−2)+(−y+3)=0，得到x−2=0−y+3=0，此方程组的解构成的点就是直线l恒过的定点；对于选项B，先求出C:(x−4)2+(y−5)2=【详解】对于选项A，∵直线l:mx∴x−2=0−y+3=0对于选项B，∵C:(x−∵直线l过定点(2,3)，∴过定点(2,3∵定点(2,3)到圆心∴|MN|的最小值为2对于选项C，∵4≤|∵cos∵16≤|MNCM∵−1≤cos∠MC对于选项D，∵圆C上恰有三个点到直线l的距离等于3，∴圆心C到直线l的距离等于3，∵l:m∴圆心C到直线l的距离d=∴m=4±故选：ACD.11．BCD【分析】A选项，令m=n=0得到f(0)=1或f(0)=12，若f(0)=1，推出矛盾，从而得到f(0)=1【详解】A选项，令m=n=整理得2[f(0)再取m<0，n=若f(0)=1则f(m)=1与条件中“当x所以f(B选项，令n=−m代入f(0)所以f(x)C选项，由（*）式可知，f(1)+fD选项，下面证明f(条件1f(m令g(x)因为当x<0时，0<f(f(x)的图象关于点0,1故g(∀x1，x2∈=g故1f(x又f(x)恒正，所以f故选：BCD.12．15/【分析】利用向量共线的坐标运算，结合对数的运算性质可得结果.【详解】由已知，可得log2则log2则log2所以x=故答案为：1513．7【分析】由题意设圆台上底面圆O1的半径为r，则圆台下底面圆O的半径为2【详解】作出示意图如图所示：因为圆台上、下底面面积之比为1：4，所以圆台上、下底面圆的半径之比为1：2，设圆台上底面圆O1的半径为r，则圆台下底面圆O的半径为2由题意可得圆台的高为2r则圆台的体积为V1因为下底面过球心，所以球的半径为2r，所以球的体积为V所以V1故答案为：7314．15/【分析】首先根据分类和分步计数原理，计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况，再结合古典概型概率公式，即可求解.【详解】先计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数.第一步：停红色汽车，第一辆红色汽车在第一行选一个位置有四个位置可选，第二辆红色汽车在第二行有三个位置可选，由于两辆红色汽车可以互换，故有4×第二步：停黑色汽车，分成两种情况：若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车同列，则另一辆黑色汽车有3种停法，若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车不同列有2种停法，此时另一辆黑色汽车有2种停法，由于两辆黑色汽车可以互换，故有3+因此，相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数共有24×14种，8个车位停入4辆车的试验共有8×所以相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为24×故答案为：115．(1)C(2)15【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得sinC，结合已知可求得C（2）由三角形的面积公式可求得ab，结合余弦定理可求得a【详解】（1）由3a=2因为0<A<π，则因为a2+b2<（2）依题意，得：S△AB由余弦定理a2即a2所以a+b=8，所以16．(1)证明见解析(2)S【分析】（1）将递推公式配凑成an（2）由（1）求得bn【详解】（1）证明：由an得an+1+(所以数列an（2）由（1）知数列an所以an故bn所以S=1设Tn所以3T①－②得：−2Tn所以Tn=3所以Sn17．(1)证明见解析；(2)2114【分析】（1）根据中位线以及相似比可证明EF（2）建立空间直角坐标系，求解法向量，即可利用向量的夹角求解.【详解】（1）如图，分别在线段BD,CD上取点E,F，使因为P,E分别是BM,B在△CAD中，AQ=所以PE//QF,因为AD⊥平面BCD，EF⊂平面（2）设AD=a(a>0)，因为三棱锥所以VA−BCD取CD的中点O，连接BO，则BO过点O作OZ//AD，则以O为原点，分别以OB,O则B(3,0,0)，C设平面BCM的法向量为m=所以平面BCM的一个法向量可取为m=(3设平面BCM与平面ACD的夹角为所以平面BCM与平面AC18．(1)分布列见解析，2(2)预测该同学不能进入决赛.【分析】（1）确定X的所有可能取值，结合计数原理求得概率，即可求解；（2）设强化训练后，规定作品入选的概率为p1，创意作品入选的概率为p2，由获得“巧手奖”的概率P=C2【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为：1，2，3所以P(X=1)故X的分布列为X123P111所以数学期望E(（2）设强化训练后，规定作品入选的概率为p1，创意作品入选的概率为p2，则由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：P==2∵p1+p2=43，且设f(∴f所以f(x)∴f所以P≤∵该同学在7轮比赛中获得“巧手奖”的次数X~∴E19．(1)答案见解析(2)1(3)证明见解析【分析】（1）对函数f(x)（2）根据函数f(x)存在两个极值点x1，x2可得0<a<1（3）化简2(n+1+n)2=【详解】（1）f′因为(1+ax)(x则函数f(x)当a<1时，由