第11讲 等边三角形的性质与判定定理（原卷版）

第11讲等边三角形的性质与判定定理1．掌握等边三角形的判定方法；2．掌握等边三角形的性质；3、掌握等边三角形与等腰三角形的区别与联系；知识点：等边三角形的性质与判定等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。总结：图形等腰三角形等边三角形性

质两条边都相等三条边都相等两个角都相等三个角都相等，且都是60º底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合

每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合对称轴（1条）对称轴（3条）等腰三角形和等边三角形对比②等腰三角形和等边三角形的判定图形等腰三角形等边三角形判定从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形考点一：等边三角形的判定定理1例1．（2023春·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）下列说法不正确的是（

）A．有一个角为的三角形是等边三角形； B．三边相等的三角形是等边三角形C．三个角相等的三角形是等边三角形 D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形【变式训练】1．（2023秋·广东河源·八年级校考期末）适合条件的三角形是（

）A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形2．（2022秋·青海西宁·八年级校考期末）在中，，若使为正三角形，请你再添一个条件：___________．3．（2022春·七年级单元测试）已知，如图，，，，求证：为等边三角形．

考点二：等边三角形的判定定理2例2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知是的三边，且满足，则此三角形的形状一定是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．以上都不对【变式训练】1．（2022秋·山东泰安·八年级校考期中）a、b、c是的三边，且，那么的形状是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形2．（2022春·广东梅州·八年级统考期末）已知a，b，c是的三边的长，且满足，则的形状为______三角形．3．（2023春·广西贵港·七年级统考期中）若分别为三边的长．(1)若满足，试判断的形状，并说明理由；(2)若满足，试判断的形状，并说明理由．考点三：等边三角形的判定定理3例3．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）在下列条件中：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③【变式训练】1．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（

）A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④2．（2020秋·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考期中）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有______________（填序号）．3．（2023·广西·模拟预测）如图，在中，．(1)请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）；(2)连接，若，证明为等边三角形．考点四：等边三角形的性质例4．（2023·湖南永州·校考三模）如图，，为等边三角形，，则等于（

）

A．. B． C． D．【变式训练】1．（2023·河北·统考中考真题）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（

）

A． B． C． D．2．（2023春·全国·七年级期末）如图，为等边三角形，点D为边上一点，先将三角板角的顶点与D点重合，平放三角板，再绕点D转动三角板，三角板角的两边分别与边、交于点E、点F，当时，如图（2）所示．求证：．3．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，C为线段上一动点（点C不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O．(1)求证：；(2)求．考点五：等边三角形的判定和性质综合例5．（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（

）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）已知是等边三角形，点P在上，过点P作，垂足为D，延长至点Q，使，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边的边长为4，那么线段的长为（）A．1 B．2 C． D．2．（2023秋·陕西延安·八年级统考期末）如图，，，，，若，，且长为奇数，则的长为____________．3．（2022春·七年级单元测试）已知：如图，点D在等边三角形的边上，延长至点E使，连接交A与点F．

(1)求证：；(2)过点D作于G，若等边三角形的边长为6，求的长．1．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（

）A．5 B． C． D．2．（2020·四川巴中·统考中考真题）如图，在中，，AD平分，，，，则AC的长为（）A．9 B．8 C．6 D．73．（2020·四川宜宾·统考中考真题）如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（

）

A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．不等边三角形4．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，将两个相同的含角的直角三角形摆放在一起，借助这个图形，探究的直角边与斜边之间的数量关系，给出下列两种解法：嘉嘉：解：∵两个含角的直角三角尺相同，∴，，∴是等腰三角形，∵，，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴琪琪：解：∵通过测量可得，∴，∴.下列说法正确的是（

）

A．嘉嘉的解法对，琪琪的解法不对 B．嘉嘉的解法不对，琪琪的解法对 C．嘉嘉、琪琪的解法都对 D．嘉嘉、琪琪的解法都不对5．（2023·吉林长春·一模）如图，已知线段，分别以点A、B为圆心，长为半径作圆弧，两弧相交于点C、D，连接，交线段于点E，以点E为圆心，长为半径作圆弧，交线段于点F，连接、，则的度数为（

）A． B． C． D．6．（2023·河南驻马店·统考一模）如图，点为线段上一点，以和为边在线段同侧作等边和等边，连接与交于点，连接与相交于点、与相交于点，连接，（1）绕点顺时针旋转与重合

（2）绕点逆时针旋转与重合

（3）

（4）

（5）平分．以上结论错误的个数为(

)个．A．3 B．2 C．1 D．07．（2023·江西·统考中考真题）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm．

8．（2020·湖北宜昌·中考真题）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则________米．9．（2020·浙江台州·统考中考真题）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_____．10．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，已知是等边三角形，是中线，延长到，使，求证：．11．（2023·北京·校联考一模）同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．已知在中，，，求证：．法一：如图1，在上取一点D，使得，连接．法二：如图2，延长到D，使得，连接．你选择方法．证明：12．（2023·黑龙江·统考三模）已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接．(1)当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________；(2)点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明．1．（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）下列命题是假命题的是(

)A．对顶角相等B．三角形内角和为C．有一个角是的三角形是等边三角形D．等腰三角形的两个底角相等．2．（2022秋·八年级课时练习）下列条件中，不能判断是等边三角形的是（

）．A．， B．，C． D．3．（2023春·全国·八年级专题练习）已知a、b、c是三条边的长，且满足条件，则的形状是（

）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，过边长为的等边三角形的边上的一点作于点，为的延长线上一点．当时，连接交边于点，则的长为（

）A． B． C． D．不能确定5．（2022秋·海南海口·九年级海南华侨中学校考期末）如图，在中，，D是边BC上的中点，若，，则的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．126．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，，M，N分别是射线上的动点，平分，，则的周长的最小值为（）A．9 B． C．6 D．277．（2022秋·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于则下列结论：①；②；③为等边三角形；④其中正确的是（）A．②④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④8．（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校考开学考试）如图，已知，平分，，若，，则的长是(

)A．4.5 B．5 C．5.5 D．69．（2023春·广东河源·八年级校考期中）在中，，，，则的周长是___________．10．（2023秋·八年级单元测试）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图，衣架杆，若衣架收拢时，，则此时两点之间的距离为______．11．（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）在中，，，则___________．12．（2023春·全国·八年级专题练习）将两个直角三角形如图放置，其中，，，，与交于点，则_____．13．（2022秋·广东江门·八年级校考期中）如图，为等边三角形，为边上的高，为边上的一点，且．则______．14．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，是边的中点，，，，若，则线段长度的最大值是_____．15．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，AC＝BC，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．（1）求证：CD＝CE；（2）若点A为CD的中点，求∠C的度数．16．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，．(1)求证：．(2)若，猜想的形状并证明．17．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，作，截取，连接、．求证：(1)求证：；(2)试判断的形状，并说明理由．18．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，在中，，D是的中点，，