高中数学新课程必修第一册《4.3对数》基础测试及答案解析

高中数学新课程必修第一册《4.3对数》基础测试注意事项本试卷共4大题，20小题，满分100分，考试时间60分钟。答题前，考生需将姓名、班级填写在答题纸指定位置。所有答案均需写在答题纸对应区域，写在试卷上无效。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）若2^x=5，则x可表示为（）A.\log_52B.\log_25C.\lg5-\lg2D.\frac{\lg2}{\lg5}下列各式中，正确的是（）A.\log_31=1B.\log_{0.5}2=-1C.\log_55=5D.\log_2(-3)=-1已知\log_a2=m，\log_a3=n，则a^{2m+n}的值为（）A.7B.8C.12D.18计算\lg2+\lg5-\log_28的结果为（）A.-2B.-1C.0D.1若\log_{(x-1)}(x^2-3x+2)有意义，则x的取值范围是（）A.x>1且x\neq2B.x>2C.x<1D.x\neq1且x\neq2已知函数f(x)=\log_2x，若f(a)=3，则a的值为（）A.6B.8C.9D.16设a=\log_32，b=\log_53，c=\log_25，则a,b,c的大小关系为（）A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b已知\log_2[\log_3(\log_4x)]=0，则x的值为（）A.4B.16C.64D.256二、多项选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，选错得0分）下列关于对数的运算性质，正确的有（）A.\log_a(M\cdotN)=\log_aM+\log_aN（a>0且a\neq1，M>0，N>0）B.\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN（a>0且a\neq1，M>0，N>0）C.\log_aM^n=n\log_aM（a>0且a\neq1，M>0，n\in\mathbb{R}）D.\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}（a>0且a\neq1，b>0，c>0且c\neq1）已知2^a=3^b=6，则下列结论正确的有（）A.a+b=abB.\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1C.a=\log_26D.b=\log_63对于函数f(x)=\log_2x，下列说法正确的有（）A.函数图象过点(1,0)B.函数在(0,+\infty)上单调递增C.若f(x_1)=f(x_2)，则x_1=x_2D.函数的值域为\mathbb{R}三、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）计算\log_416+\log_3\frac{1}{3}的结果为________。若\log_x9=2，则x=________。已知\lg2\approx0.3010，\lg3\approx0.4771，则\lg12\approx________（结果保留四位小数）。函数f(x)=\log_{(x+1)}(2-x)的定义域为________。已知\log_a4=2，则\log_a2=________（a>0且a\neq1）。若3^{\log_3(2x-1)}=5，则x=________。四、解答题（本大题共3小题，共32分。解答应写出文字说明、演算步骤）（10分）计算下列各式的值：（1）\log_28+\log_51-\log_3\frac{1}{27}；（2）\lg25+2\lg2+\log_23\cdot\log_34。（10分）已知\log_23=a，\log_37=b，用a,b表示下列各式：（1）\log_27；（2）\log_{14}56。（12分）某城市2024年的人口为100万人，若人口年增长率为r，且人口数量y（单位：万人）与年份t（单位：年，t=0对应2024年）的关系为y=100(1+r)^t。（1）若2026年该城市人口为104.04万人，求年增长率r；（2）若年增长率保持不变，预计哪一年该城市人口将达到121万人？（参考数据：\log_{1.02}1.21\approx10）参考答案及解析一、单项选择题B解析：根据对数的定义，若a^x=N（a>0且a\neq1，N>0），则x=\log_aN。由2^x=5，得x=\log_25，故选B。B解析：A选项，\log_31=0（任何非零数的0次幂为1），错误；B选项，\log_{0.5}2=\log_{\frac{1}{2}}2=-1（(\frac{1}{2})^{-1}=2），正确；C选项，\log_55=1（底数与真数相等时，对数值为1），错误；D选项，对数的真数需大于0，-3<0，无意义，错误。C解析：由\log_a2=m得a^m=2，由\log_a3=n得a^n=3。则a^{2m+n}=a^{2m}\cdota^n=(a^m)^2\cdota^n=2^2\times3=12，故选C。A解析：根据对数运算性质，\lg2+\lg5=\lg(2\times5)=\lg10=1；\log_28=\log_22^3=3。因此原式=1-3=-2，故选A。B解析：对数有意义需满足：①底数x-1>0且x-1\neq1（底数大于0且不为1）；②真数x^2-3x+2>0（真数大于0）。解①得x>1且x\neq2；解②得x<1或x>2。取交集得x>2，故选B。B解析：由f(a)=\log_2a=3，得a=2^3=8，故选B。A解析：a=\log_32，因为3^1=3>2，所以0<a<1；b=\log_53，因为5^1=5>3，所以0<b<1。利用换底公式，\frac{a}{b}=\frac{\log_32}{\log_53}=\log_52<1（因为5^1=5>2），故a<b；c=\log_25，因为2^2=4<5，所以c>2。因此a<b<c，故选A。C解析：由\log_2[\log_3(\log_4x)]=0，得\log_3(\log_4x)=2^0=1；再由\log_3(\log_4x)=1，得\log_4x=3^1=3；最后由\log_4x=3，得x=4^3=64，故选C。二、多项选择题ABCD解析：A、B、C分别为对数的乘法、除法、幂运算性质，D为换底公式，均满足对数运算的前提条件（底数大于0且不为1，真数大于0），故全正确。ABC解析：由2^a=6得a=\log_26（C正确），由3^b=6得b=\log_36（D错误）。\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\log_62+\log_63=\log_6(2\times3)=\log_66=1（B正确），两边同乘ab得a+b=ab（A正确），故选ABC。ABCD解析：A选项，f(1)=\log_21=0，图象过(1,0)，正确；B选项，对数函数\log_ax（a>1）在(0,+\infty)上单调递增，2>1，正确；C选项，函数单调递增，故若f(x_1)=f(x_2)，则x_1=x_2，正确；D选项，对数函数的值域为\mathbb{R}，正确，故选ABCD。三、填空题1解析：\log_416=\log_44^2=2，\log_3\frac{1}{3}=\log_33^{-1}=-1，故原式=2+(-1)=1。3解析：由\log_x9=2，得x^2=9，又x>0且x\neq1，故x=3。1.0791解析：\lg12=\lg(4\times3)=\lg4+\lg3=2\lg2+\lg3\approx2\times0.3010+0.4771=0.6020+0.4771=1.0791。(-1,1)∪(1,2)解析：定义域需满足：①底数x+1>0且x+1\neq1，即x>-1且x\neq0；②真数2-x>0，即x<2。取交集得-1<x<0或0<x<2，即(-1,0)∪(0,2)（修正：原解析底数条件计算错误，底数x+1\neq1得x\neq0，故正确定义域为(-1,0)∪(0,2)）。1解析：由\log_a4=2，得a^2=4，又a>0且a\neq1，故a=2，则\log_a2=\log_22=1。3解析：根据对数恒等式a^{\log_aN}=N，得3^{\log_3(2x-1)}=2x-1=5，解得x=3。四、解答题解：（1）原式=\log_22^3+0-\log_33^{-1}（\log_51=0，\frac{1}{27}=3^{-1}）=3-(-1)=4（2）原式=\lg25+\lg2^2+\log_23\cdot\frac{\log_24}{\log_23}（2\lg2=\lg2^2，换底公式\log_34=\frac{\log_24}{\log_23}）=\lg(25\times4)+\log_24（\lgM+\lgN=\lg(M\timesN)）=\lg100+2=2+2=4解：（1）由换底公式，\log_27=\frac{\log_37}{\log_32}，又\log_32=\frac{1}{\log_23}=\frac{1}{a}，故\log_27=\frac{b}{\frac{1}{a}}=ab。（2）\log_{14}56=\frac{\log_256}{\log_214}（换底公式）=\frac{\log_2(7\times8)}{\log_2(2\times7)}=\frac{\log_27+\log_28}{\log_22+\log_27}（对数乘法性质）由（1）知\log_27=ab，\log_28=3，\log_22=1，代入得：=\frac{ab+3}{1+ab}解：（1）当t=2（2026年）时，y=104.04，代入y=100(1+r)^t得：100(1+