2025年高一数学上册秋季期中模拟测试题及答案

2025年高一数学上册秋季期中模拟测试题及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合\(A=\{x|x^22x3=0\}\)，\(B=\{x|ax1=0\}\)，若\(B\subseteqA\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(1\)或\(\frac{1}{3}\)B.\(1\)或\(\frac{1}{3}\)C.\(1\)或\(\frac{1}{3}\)或\(0\)D.\(1\)或\(\frac{1}{3}\)或\(1\)答案：C解析：由\(x^22x3=0\)，得\((x3)(x+1)=0\)，解得\(x=3\)或\(x=1\)，所以\(A=\{1,3\}\)。当\(a=0\)时，\(B=\varnothing\)，满足\(B\subseteqA\)；当\(a\neq0\)时，\(B=\{x|ax1=0\}=\{\frac{1}{a}\}\)，因为\(B\subseteqA\)，所以\(\frac{1}{a}=3\)或\(\frac{1}{a}=1\)，解得\(a=\frac{1}{3}\)或\(a=1\)。综上，实数\(a\)的值为\(1\)或\(\frac{1}{3}\)或\(0\)。2.函数\(y=\sqrt{1x}+\frac{1}{x+1}\)的定义域是（）A.\((\infty,1)\cup(1,1]\)B.\((\infty,1]\)C.\((\infty,1)\)D.\((\infty,1)\cup(1,1)\)答案：A解析：要使函数\(y=\sqrt{1x}+\frac{1}{x+1}\)有意义，则\(\begin{cases}1x\geq0\\x+1\neq0\end{cases}\)，由\(1x\geq0\)得\(x\leq1\)，由\(x+1\neq0\)得\(x\neq1\)，所以函数的定义域为\((\infty,1)\cup(1,1]\)。3.下列函数中，在区间\((0,+\infty)\)上单调递减的是（）A.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)B.\(y=2^x\)C.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：C解析：对于选项A，\(y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\)，根据幂函数性质，其在\((0,+\infty)\)上单调递增；对于选项B，\(y=2^x\)是指数函数，底数\(2>1\)，在\((0,+\infty)\)上单调递增；对于选项C，\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)是对数函数，底数\(0<\frac{1}{2}<1\)，在\((0,+\infty)\)上单调递减；对于选项D，\(y=\frac{1}{x}\)，对其求导得\(y^\prime=\frac{1}{x^2}>0\)在\((0,+\infty)\)上恒成立，所以在\((0,+\infty)\)上单调递增。4.已知\(f(x)\)是一次函数，且\(f(f(x))=4x1\)，则\(f(x)\)的解析式为（）A.\(f(x)=2x\frac{1}{3}\)B.\(f(x)=2x+1\)C.\(f(x)=2x\frac{1}{3}\)或\(f(x)=2x+1\)D.\(f(x)=2x+\frac{1}{3}\)或\(f(x)=2x1\)答案：C解析：设\(f(x)=ax+b(a\neq0)\)，则\(f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b\)。因为\(f(f(x))=4x1\)，所以\(\begin{cases}a^2=4\\ab+b=1\end{cases}\)。由\(a^2=4\)得\(a=2\)或\(a=2\)。当\(a=2\)时，代入\(ab+b=1\)得\(2b+b=1\)，\(3b=1\)，\(b=\frac{1}{3}\)，此时\(f(x)=2x\frac{1}{3}\)；当\(a=2\)时，代入\(ab+b=1\)得\(2b+b=1\)，\(b=1\)，\(b=1\)，此时\(f(x)=2x+1\)。5.若\(a=0.5^2\)，\(b=\log_2{0.5}\)，\(c=2^{0.5}\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是（）A.\(a<b<c\)B.\(b<a<c\)C.\(c<a<b\)D.\(b<c<a\)答案：B解析：\(a=0.5^2=0.25\)，\(b=\log_2{0.5}=\log_2{\frac{1}{2}}=1\)，\(c=2^{0.5}=\sqrt{2}\approx1.414\)。因为\(1<0.25<1.414\)，所以\(b<a<c\)。6.函数\(f(x)=x^24x+5\)在区间\([0,m]\)上的最大值为\(5\)，最小值为\(1\)，则\(m\)的取值范围是（）A.\([2,+\infty)\)B.\([2,4]\)C.\((\infty,2]\)D.\([0,2]\)答案：B解析：\(f(x)=x^24x+5=(x2)^2+1\)，函数图象开口向上，对称轴为\(x=2\)，\(f(2)=1\)，\(f(0)=5\)，\(f(4)=4^24\times4+5=5\)。因为函数在区间\([0,m]\)上的最大值为\(5\)，最小值为\(1\)，所以\(2\leqm\leq4\)。7.已知函数\(f(x)=\begin{cases}x+1(x\leq0)\\\log_2x(x>0)\end{cases}\)，则函数\(y=f(f(x))+1\)的零点个数是（）A.\(4\)B.\(3\)C.\(2\)D.\(1\)答案：A解析：令\(y=f(f(x))+1=0\)，则\(f(f(x))=1\)。设\(t=f(x)\)，则\(f(t)=1\)。当\(t\leq0\)时，\(t+1=1\)，解得\(t=2\)；当\(t>0\)时，\(\log_2t=1\)，解得\(t=\frac{1}{2}\)。当\(f(x)=2\)时，若\(x\leq0\)，则\(x+1=2\)，解得\(x=3\)；若\(x>0\)，则\(\log_2x=2\)，解得\(x=\frac{1}{4}\)。当\(f(x)=\frac{1}{2}\)时，若\(x\leq0\)，则\(x+1=\frac{1}{2}\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)；若\(x>0\)，则\(\log_2x=\frac{1}{2}\)，解得\(x=\sqrt{2}\)。所以函数\(y=f(f(x))+1\)的零点个数是\(4\)。8.已知函数\(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)，则\(f(\frac{1}{2025})+f(\frac{1}{2024})+\cdots+f(\frac{1}{2})+f(1)+f(2)+\cdots+f(2024)+f(2025)\)的值为（）A.\(2024\)B.\(2024.5\)C.\(2025\)D.\(2025.5\)答案：B解析：因为\(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)，所以\(f(\frac{1}{x})=\frac{1}{(\frac{1}{x})^2+1}=\frac{x^2}{1+x^2}\)，则\(f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^2+1}+\frac{x^2}{1+x^2}=1\)。又\(f(1)=\frac{1}{1^2+1}=\frac{1}{2}\)，所以\(f(\frac{1}{2025})+f(\frac{1}{2024})+\cdots+f(\frac{1}{2})+f(1)+f(2)+\cdots+f(2024)+f(2025)=2024\times1+\frac{1}{2}=2024.5\)。9.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x>0\)时，\(f(x)=x^22x\)，则\(f(1)=\)（）A.\(3\)B.\(1\)C.\(1\)D.\(3\)答案：B解析：因为\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，所以\(f(x)=f(x)\)，则\(f(1)=f(1)\)。当\(x=1\)且\(x>0\)时，\(f(1)=1^22\times1=1\)，所以\(f(1)=(1)=1\)。10.若函数\(y=\log_a(x+1)(a>0,a\neq1)\)的图象过定点\(P\)，则点\(P\)的坐标是（）A.\((1,0)\)B.\((0,0)\)C.\((0,1)\)D.\((1,1)\)答案：B解析：对于对数函数\(y=\log_au\)，当\(u=1\)时，\(y=0\)。在函数\(y=\log_a(x+1)\)中，令\(x+1=1\)，即\(x=0\)，此时\(y=0\)，所以函数图象过定点\(P(0,0)\)。11.已知函数\(f(x)\)是定义在\([2,2]\)上的偶函数，当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)\)是减函数，如果不等式\(f(1m)<f(m)\)成立，则实数\(m\)的取值范围是（）A.\([1,\frac{1}{2})\)B.\((\frac{1}{2},2]\)C.\((1,\frac{1}{2})\)D.\((\frac{1}{2},+\infty)\)答案：A解析：因为\(f(x)\)是定义在\([2,2]\)上的偶函数，则\(f(x)=f(|x|)\)，所以\(f(1m)<f(m)\)等价于\(f(|1m|)<f(|m|)\)。又当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)\)是减函数，所以\(\begin{cases}|1m|>|m|\\2\leq1m\leq2\\2\leqm\leq2\end{cases}\)。由\(|1m|>|m|\)得\((1m)^2>m^2\)，即\(12m+m^2>m^2\)，解得\(m<\frac{1}{2}\)；由\(2\leq1m\leq2\)得\(1\leqm\leq3\)；由\(2\leqm\leq2\)。综上，\(1\leqm<\frac{1}{2}\)。12.已知函数\(f(x)=\frac{x^2+2x+a}{x}\)，\(x\in[1,+\infty)\)，若对任意\(x\in[1,+\infty)\)，\(f(x)>0\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围是（）A.\((3,+\infty)\)B.\((\infty,3)\)C.\([3,+\infty)\)D.\((\infty,3]\)答案：A解析：因为\(f(x)=\frac{x^2+2x+a}{x}>0\)，\(x\in[1,+\infty)\)，所以\(x^2+2x+a>0\)在\(x\in[1,+\infty)\)上恒成立，即\(a>(x^2+2x)\)在\(x\in[1,+\infty)\)上恒成立。令\(g(x)=(x^2+2x)=(x+1)^2+1\)，函数\(g(x)\)图象开口向下，对称轴为\(x=1\)，所以\(g(x)\)在\([1,+\infty)\)上单调递减，则\(g(x)_{max}=g(1)=(1+1)^2+1=3\)，所以\(a>3\)。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=\)______。答案：\(\{2,3\}\)解析：根据交集的定义，\(A\capB\)是由既属于集合\(A\)又属于集合\(B\)的所有元素组成的集合，所以\(A\capB=\{2,3\}\)。14.函数\(y=2x^24x+3\)的对称轴方程是______。答案：\(x=1\)解析：对于二次函数\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\)，其对称轴方程为\(x=\frac{b}{2a}\)。在函数\(y=2x^24x+3\)中，\(a=2\)，\(b=4\)，则对称轴方程为\(x=\frac{4}{2\times2}=1\)。15.若\(\log_3x=2\)，则\(x=\)______。答案：\(9\)解析：根据对数的定义，若\(\log_aN=b(a>0,a\neq1,N>0)\)，则\(a^b=N\)。因为\(\log_3x=2\)，所以\(x=3^2=9\)。16.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x(1+x)\)，则当\(x<0\)时，\(f(x)=\)______。答案：\(x(1x)\)解析：设\(x<0\)，则\(x>0\)。因为当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x(1+x)\)，所以\(f(x)=x(1x)\)。又因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(x)=f(x)\)，则\(f(x)=x(1x)\)，所以\(f(x)=x(1x)\)。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2ax+a1=0\}\)，\(C=\{x|x^2mx+2=0\}\)，且\(A\cupB=A\)，\(A\capC=C\)，求实数\(a\)，\(m\)的值。解：先求解集合\(A\)：由\(x^23x+2=0\)，即\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。再求解集合\(B\)：由\(x^2ax+a1=0\)，可得\((x1)[x(a1)]=0\)，解得\(x=1\)或\(x=a1\)，所以\(B=\{1,a1\}\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)，则\(a1=1\)或\(a1=2\)，当\(a1=1\)时，\(a=2\)；当\(a1=2\)时，\(a=3\)。因为\(A\capC=C\)，所以\(C\subseteqA\)。①当\(C=\varnothing\)时，方程\(x^2mx+2=0\)无实数根，即\(\Delta=m^28<0\)，解得\(2\sqrt{2}<m<2\sqrt{2}\)。②当\(C\)是单元素集时，\(\Delta=m^28=0\)，解得\(m=\pm2\sqrt{2}\)。若\(m=2\sqrt{2}\)，方程\(x^22\sqrt{2}x+2=0\)，即\((x\sqrt{2})^2=0\)，\(x=\sqrt{2}\notinA\)；若\(m=2\sqrt{2}\)，方程\(x^2+2\sqrt{2}x+2=0\)，即\((x+\sqrt{2})^2=0\)，\(x=\sqrt{2}\notinA\)。③当\(C=\{1,2\}\)时，\(1\)，\(2\)是方程\(x^2mx+2=0\)的两根，由韦达定理得\(m=1+2=3\)。综上，\(a=2\)或\(a=3\)；\(m=3\)或\(2\sqrt{2}<m<2\sqrt{2}\)。18.（12分）已知函数\(f(x)=\frac{x+1}{x1}\)。（1）判断函数\(f(x)\)在区间\((1,+\infty)\)上的单调性，并用定义证明；（2）求函数\(f(x)\)在区间\([2,5]\)上的最值。解：（1）函数\(f(x)=\frac{x+1}{x1}=\frac{x1+2}{x1}=1+\frac{2}{x1}\)在区间\((1,+\infty)\)上单调递减。证明：设\(1<x_1<x_2\)，则\(f(x_1)f(x_2)=(1+\frac{2}{x_11})(1+\frac{2}{x_21})\)\(=\frac{2}{x_11}\frac{2}{x_21}=\frac{2(x_21)2(x_11)}{(x_11)(x_21)}=\frac{2(x_2x_1)}{(x_11)(x_21)}\)。因为\(1<x_1<x_2\)，所以\(x_2x_1>0\)，\(x_11>0\)，\(x_21>0\)，则\(f(x_1)f(x_2)>0\)，即\(f(x_1)>f(x_2)\)。所以函数\(f(x)\)在区间\((1,+\infty)\)上单调递减。（2）由（1）知函数\(f(x)\)在区间\([2,5]\)上单调递减。所以\(f(x)_{max}=f(2)=\frac{2+1}{21}=3\)，\(f(x)_{min}=f(5)=\frac{5+1}{51}=\frac{3}{2}\)。19.（12分）已知函数\(f(x)=\log_2(4^x+1)kx\)是偶函数。（1）求\(k\)的值；（2）若不等式\(f(x)m\geq0\)对\(x\inR\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围。解：（1）因为\(f(x)\)是偶函数，所以\(f(x)=f(x)\)。\(f(x)=\log_2(4^{x}+1)+kx=\log_2(\frac{1+4^x}{4^x})+kx=\log_2(4^x+1)\log_2{4^x}+kx=\log_2(4^x+1)2x+kx\)。又\(f(x)=\log_2(4^x+1)kx\)，所以\(\log_2(4^x+1)2x+kx=\log_2(4^x+1)kx\)，即\(2x+kx=kx\)，\(2kx=2x\)对任意\(x\inR\)恒成立，所以\(k=1\)。（2）由（1）知\(f(x)=\log_2(4^x+1)x=\log_2(4^x+1)\log_2{2^x}=\log_2\frac{4^x+1}{2^x}=\log_2(2^x+\frac{1}{2^x})\)。根据基本不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}(a>0,b>0)\)，当且仅当\(a=b\)时等号成立，对于\(2^x+\frac{1}{2^x}\)，\(a=2^x\)，\(b=\frac{1}{2^x}\)，则\(2^x+\frac{1}{2^x}\geq2\sqrt{2^x\times\frac{1}{2^x}}=2\)，当且仅当\(2^x=\frac{1}{2^x}\)，即\(x=0\)时等号成立。因为\(y=\log_2u\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，所以\(f(x)=\log_2(2^x+\frac{1}{2^x})\geq\log_22=1\)。因为不等式\(f(x)m\geq0\)对\(x\inR\)恒成立，即\(m\leqf(x)\)恒成立，所以\(m\leqf(x)_{min}\)，所以\(m\leq1\)，即实数\(m\)的取值范围是\((\infty,1]\)。20.（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日