2025年高一数学试卷复数题及答案

2025年高一数学试卷复数题及答案题目1.已知复数\(z=(m^2m6)+(m^22m15)i\)，\(m\inR\)，当\(m\)为何值时：\(z\)是实数；\(z\)是纯虚数；\(z\)对应的点在复平面内的第二象限。2.计算\(\frac{(1+i)^2}{1i}\)。3.已知复数\(z_1=2+i\)，\(z_2=12i\)，若\(z=\frac{z_1}{z_2}\)，求\(z\)的共轭复数\(\overline{z}\)。4.已知\(z\)是复数，且\(z+2i\)，\(\frac{z}{2i}\)均为实数（\(i\)为虚数单位），求复数\(z\)。答案1.若\(z\)是实数，则虚部为\(0\)，即\(m^22m15=0\)。因式分解得\((m5)(m+3)=0\)，解得\(m=5\)或\(m=3\)。若\(z\)是纯虚数，则实部为\(0\)且虚部不为\(0\)。由\(m^2m6=0\)，因式分解得\((m3)(m+2)=0\)，解得\(m=3\)或\(m=2\)。又因为\(m^22m15\neq0\)，即\((m5)(m+3)\neq0\)，解得\(m\neq5\)且\(m\neq3\)。所以\(m=3\)或\(m=2\)时，\(z\)是纯虚数。若\(z\)对应的点在复平面内的第二象限，则实部小于\(0\)且虚部大于\(0\)。\(\begin{cases}m^2m6\lt0\\m^22m15\gt0\end{cases}\)解\(m^2m6\lt0\)，因式分解得\((m3)(m+2)\lt0\)，解得\(2\ltm\lt3\)。解\(m^22m15\gt0\)，因式分解得\((m5)(m+3)\gt0\)，解得\(m\gt5\)或\(m\lt3\)。两个不等式没有公共解，所以不存在这样的\(m\)值使\(z\)对应的点在复平面内的第二象限。2.先化简\((1+i)^2\)，根据完全平方公式\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，这里\(a=1\)，\(b=i\)，则\((1+i)^2=1+2i+i^2\)。因为\(i^2=1\)，所以\((1+i)^2=1+2i1=2i\)。则\(\frac{(1+i)^2}{1i}=\frac{2i}{1i}\)，为了将分母实数化，给分子分母同时乘以\(1+i\)，得到\(\frac{2i(1+i)}{(1i)(1+i)}\)。根据平方差公式\((ab)(a+b)=a^2b^2\)，\((1i)(1+i)=1i^2=1(1)=2\)。\(2i(1+i)=2i+2i^2=2i2=2+2i\)。所以\(\frac{(1+i)^2}{1i}=\frac{2+2i}{2}=1+i\)。3.已知\(z_1=2+i\)，\(z_2=12i\)，则\(z=\frac{z_1}{z_2}=\frac{2+i}{12i}\)。给分子分母同时乘以\(1+2i\)进行分母实数化，\(z=\frac{(2+i)(1+2i)}{(12i)(1+2i)}\)。\((2+i)(1+2i)=2+4i+i+2i^2=2+5i2=5i\)，\((12i)(1+2i)=1(2i)^2=1(4)=5\)。所以\(z=i\)，根据共轭复数的定义，实部相同，虚部互为相反数，\(\overline{z}=i\)。4.设\(z=a+bi\)，\(a,b\inR\)。则\(z+2i=a+(b+2)i\)，因为\(z+2i\)是实数，所以其虚部为\(0\)，即\(b+2=0\)，解得\(b=2\)。\(\frac{z}{2i}=\frac{a+bi}{2i}=\frac{(a+bi)(2+i)}{(2i)(2+i)}\)。\((a+bi)(2+i)=2a+ai+2bi+bi^2=(2ab)+(a+2b)i\)，\((2i)(2+i)=4i^2=5\)。所以\(\frac{z}{2i}=\frac{(2ab)+(a+2b)i}{5}=\frac{2ab}{5}+\frac{a+2b}{5}i\)。因为\(\frac{z}{2