第3章一元一次不等式（知识清单）（学生版）数学浙教版2024八年级上册

第3章一元一次不等式一、不等式及其性质1.用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式。常见的不等号：.2.不等式的基本性质不等式的基本性质1a＜b，b＜c⇒（也叫不等式的传递性）不等式的基本性质2不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立字母表达式：a＞b⇒a+cb+c，acbc；a＜b⇒a+cb+c，acbc不等式的基本性质3不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须，所得的不等式成立。字母表达式：a＞b，且c＞0⇒acbc，acba＞b，且c＜0⇒acbc，ac二、一元一次不等式（组）1．定义：不等号的两边都是，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是，这样的不等式叫做一元一次不等式.2.不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解3.解一元一次不等式的一般步骤和根据：步骤根据1去分母不等式的2去括号单项式乘多项式法则3移项不等式的4合并同类项合并同类项法则5两边同除以未知数的系数不等式的注意：不等式的解法的第5步中，当除的数是一个负数时，不等式中的不等号必须改变方向，这是与解一元一次方程的不同之处。4.不等式的简单应用解题步骤：步骤要点1审审题目中的已知量、未知量、待求量2设一般是求谁设谁，或者谁小设谁3列根据题目中的不等量关系列对应不等式4解解出不等式的解集5答5.一元一次不等式组定义：一般地，由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组；6.不等式组的解：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解不等式组解集口诀：同大取；同小取；大小小大取；大大小小则；7.一元一次不等式组的应用：“审、设、列、解、答”。一、不等式及其性质1.根据题意或描述列不等式错误：表示不等式的语言有很多，不能根据描述的“至少”和“至多”，“不少于”和“不多于”，“不超过”和“不低于”等语言选择正确的不等式符号。注意：学会根据常见的语言描述，用正确的不等式符号列不等式。如：a大于ba＞bx不大于bx≤bx不超过bx≤ba小于ba＜bx不小于bx≥bx不低于bx≥bx不等于bx≠bx至/最少bx≥bx不足bx＜bx至/最多bx≤bx超过bx＞b例1根据下列数量关系或题意表述写出不等式．（1）x与5的和的28%不大于−6；（2）m除以4的商加上3至多为5；（3）a与b两数和的平方不小于3．（4）一罐饮料净重为300g，其中，蛋白质含量为mg，且不低于净重的（5）某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多．2.在数轴上表示不等式错误：不能根据未知数所满足的实数范围，在数轴上表示，①错误使用空心点“￮”和“•”；②错误使用向左包含与向右包含。注意：“￮”对应“＞”或“＜”符号，“•”则涵盖等于，因此对应“≥”或“≤”；在数轴上表示实数范围时，具体如下：例2将下列关于x的解集表示在数轴上（1）x≤3（2）x＞﹣2（3）0.5＜x≤23.不等式的基本性质3的运用错误：在两边都乘或都除以相同的一个负数时，符号没有变成相反。注意：不等式的性质与等式的性质比较类似，但是也有明显的区别，主要是两点：①性质3中，不等式两边同时乘以0时，不等式两边都为0，符号变为“＝”；②不等式两边都乘或都除以相同的一个负数时，不等式要变号。例3（2026九年级·广西·专题练习）若a>b，则下列不等式成立的是．（填序号）①ac>bc；②−2a>−2b；③a−2<b−2；④−a<−b；⑤a>b；⑥124.比较两个式子的大小错误：判断两个式子的大小，不能根据已知条件，结合不等式的性质进行变形。注意：在已知字母参数的不等关系前提下，要判断复杂式子的大小关系，需要通过不等式的性质，变形不等式两边的式子，必要时需要运用多个性质多次变形。尤其注意“两边都乘或除以一个负数时不等式要变号”这一特殊情况。例4已知a＞2b，则（1）比较大小：①a22b2②a2b0③8b4a④−a2（2）若商店中A物品2a元/个，B物品a+2b元/个；小林买了3个A和4个B，小姜买了1个A和6个B，请问谁付的钱多？并说明理由二、一元一次不等式（组）1.用不等式的性质解简易不等式错误：在学习解不等式时，不能很好的运用不等式的性质。注意：我们可以通过不等式的性质，解决一些简单的不等式，一般情况下解一元一次不等式时：①移项时注意每项移动后变号，移项使得左侧为未知数相关的一次式，右边为实数；②合并同类项；③系数化为1：尤其注意性质3使用时变号的情况。例5（2526八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．(1)4x−9<−5；(2)−2x≥x+6；(3)4x−3≥2；2.去分母时的注意事项错误：去分母时当两边同时乘或除以一个负数时，没有进行变号。注意：在去分母时，需要用到性质3，因此在去分母时要注意的是，首先判断是否使用了性质3，有的分数去分母时，使用的是分数的性质，比如对于不等式2−x−0.5＞2，左边变形为（例6（2526八年级上·江苏盐城·开学考试）（1）解不等式3x−52（2）解不等式5−2x<1−x（3）解不等式2−5x−23.根据性质判断字母参数的取值错误：带有字母参数的不等式的求解和分析，缺少方法技巧。注意：在进行不等式中字母参数的分析时，要学会根据不等号是否变号确定系数的正负（也就是同乘或除以的这个数的正负，是性质3的逆用）；同时注意不同情况的分类讨论；也同时要掌握“将字母参数看作实数先计算再根据解进行分析”的一般方法。例7（2526七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式3x+mx>−8的解集如图所示，则m的值为．4.解一元一次不等式组时求合集的原则错误：求解一元一次不等式组，不能根据口诀求不等式组的合集。注意：不等式组解集遵循“同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小则无解”，具体意思如下：口诀示例合集同大取大x＞a，x＞b；且a＞bx＞a同小取小X＜a，x＜b；且a＞bx＜b大小小大取中间x＜a，x＞b；且a＞bb＜x＜a大大小小则无解x＞a，x＜b；且a＞b无解例8（2425八年级下·辽宁丹东·阶段练习）解不等式组（通过数轴表示的方法得到解集）．(1)7x−6≥4x(2)5x−2<3(x+2)5.实际问题应注意正整数解错误：在实际问题中，只求出未知数满足的解集，但不结合实际情况给出最终结果。注意：解决实际问题时，求得的未知数的解集可能不是最终结果。根据实际情况还需注意：①是否要为正数，因为作为数量、测量量等数据都是正数；②是否为整数，因为数量是整数的。例9林老师要给实验室采购新的天平和试管，已知天平售价50元/套，试管售价12元/套。林老师一共带了2500元，购买的试管数量比天平多20套，且不大于天平套数的1.6倍。那么林老师有可能分别购买了多少套天平和试管？请列出来所有可能的情况6.根据不等式（组）的解判断字母参数的值错误：带字母参数的不等式或不等式组，不能根据已知条件判断不等式的性质，或不能通过字母参数表示实数来求解并表示出不等式（组）的解，进行深入讨论。注意：除了“一、3根据性质判断字母参数的取值”所描述的需要掌握的方法外；与方程类似的，我们需要学会通过用字母参数表示出解，然后根据题意讨论解的情况，求出字母参数。例10（2025·安徽·模拟预测）若关于x的不等式组3x−1≥5x+a≤2的整数解共有三个，则a的取值范围是例11（2425九年级下·广东中山·期中）某同学解一个关于x的一元一次不等式组x−m≤1①(1)求m的值；(2)解此不等式组，并在数轴上表示出解集．7.一元一次不等式组中方案问题中求所有方案错误：方案问题，要么出现所求未知数的列式不足，求得的解范围太广；要么在列出所有方案时不能完整讨论。注意：方案的实际问题需要我们通过列出所有符合要求的可能性，因此首先要根据题意求出未知数的取值范围，同时要注意要满足所有题干中提到的要求，然后根据未知数的每个符合要求的解，讨论方案结果，或进一步进行比较，最终得出结论。例12（2425七年级下·湖南怀化·阶段练习）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的GPU卡∶甲型(高性能)和乙型(节能型)．已知购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元．(1)甲型、乙型GPU单价各是多少万元？(2)若预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，有几种采购方案？(3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？1．（2425七年级下·全国·单元测试）下列式子：①−2<0，②2y−5>1，③m=1，④x2−x，⑤x≠−2，⑥x+1<2x−1中，是不等式的有（A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2024·湖南娄底·模拟预测）如果a>b，那么下列不等式中，一定不成立的是（

）A．a−3>b−3 B．a2>b2 C．3．（2324八年级下·广东清远·期中）不等式组x<2x≥−1的解集在数轴上表示正确的（

4．（2425八年级上·浙江金华·阶段练习）下列说法一定正确的是（

）A．若a<b，则m2−1a<m2C．若a<b，则3−2a<3−2b D．若ac25．（2425八年级下·辽宁丹东·阶段练习）若关于x的不等式2−ax>7的解集为x<72−a，则aA．a<2 B．a>2 C．a≠2 D．a<−26．（2526八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于x的不等式组x−2>2xx−1≤−m+3x无解，且关于x的分式方程4x−3−mx−13−xA．−2 B．3 C．0 D．17.（2425七年级下·北京通州·期中）一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式．9.（2526八年级上·全国·期中）如下，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为xg，则x的取值范围用法用量：口服每次：0.2~0.3每天：2~3次10.（2425八年级下·辽宁丹东·阶段练习）若关于x的不等式组x−m≤07−2x≤1的整数解共有4个，则m的取值范围是11.（2425七年级下·湖北咸宁·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是．12.（2425七年级下·全国·课后作业）已知m>3，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围：(1)m+5(2)m(3)−2m(4)3m−413.（2425七年级下·甘肃武威·期末）解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：(1)2x−8<0(2)2x−5314.（2425八年级下·辽宁丹东·阶段练习）定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程．例如：方程4x−16=0的解为x=4，不等式组x−2>0x<5的解集为2<x<5，因2<4<5，故方程4x−16=0是不等式组x−2>0(1)在方程①5x+2=0，②34x+1=0，③x−(3x+1)=−5中，不等式组8x+6<9x+52x−1<7(