高考数学一轮复习讲义-空间点线面的位置关系-答案

空间点、线、面的位置关系课前必备知识课标要求1.在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解“四个基本事实和一个定理”，并能运用其解决空间位置关系的简单问题．知识梳理1．平面的基本性质基本事实1：过__不在一条直线上__的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的__两个点__在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．用符号语言表示为__A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α__．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们__有且只有一条__过该点的公共直线．用符号语言表示为__P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l__．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线__平行__．2．空间两条直线的位置关系(1)空间两条直线的位置关系包括__平行、相交、异面__，其中异面直线是指不同在__任何__一个平面内的直线．(2)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__相等或互补__．3．空间中直线与平面的位置关系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直线在平面内——有无数个公共点,\b\lc\(\a\vs4\al\co1(直线在,平面外))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直线与平面相交——有且只有,一个公共点,直线与平面平行——没有公,共点))))4．平面与平面的位置关系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(两个平面平行——没有公共点,两个平面相交——有一条公共直线))常用结论1．三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．异面直线的判定定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．课前训练1．若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则a，c的位置关系是()A．异面 B．相交C．平行 D．以上都有可能解析：D可画图帮助判断，得到a与c异面、相交、平行都有可能．2．(2025·黑龙江齐齐哈尔期中)已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α＝20°，则β＝()A．20° B．160°C．20°或160° D．不能确定解析：C因为角α的两边和角β的两边分别平行，所以α，β相等或者互补，所以β＝20°或160°，故选C.3．(2024·北京海淀阶段练习)给出的下面四个命题中正确的是()A．三个不同的点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．空间两两相交的三条直线确定一个平面D．两条平行直线确定一个平面解析：D对于A，三个不共线的点确定一个平面，A错误；对于B，一条直线和直线外一个点确定一个平面，B错误；对于C，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，C错误；对于D，两条平行直线确定一个平面，D正确．故选D.4．(教材母题必修8.6.1练习T3)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：C连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以△B1D1C为等边三角形，所以∠D1B1C＝60°.故选C.5．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC解析：C由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面ABC与平面β的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.故选C.

课堂核心考点考点1平面基本事实的应用【例1】(1)(多选)下列说法中正确的是()A．经过两条平行直线，有且只有一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(2)如图，四棱锥P­ABCD，AC∩BD＝O，M是PC的中点，直线AM交平面PBD于点N，则下列结论正确的是()A．O，N，P，M四点不共面B．O，N，M，D四点共面C．O，N，M三点共线D．P，N，O三点共线解析：(1)ABD对于A，由推论3知A正确；对于B，由两条相交直线确定唯一平面，由题意，第三条直线与相交的两条直线分别相交于两个不同的点，根据直线上两个不同点在一个平面内，该直线也在平面内，B正确；对于C，由平面α与平面β相交，则两平面一定相交于一条直线，在该直线上存在无数个点，C错误；对于D，由基本事实3，可得D正确．故选ABD.(2)D直线AC与直线PO交于点O，所以平面PCA与平面PBD交于点O，所以必相交于直线PO，直线AM在平面PAC内，点N∈AM，故N∈平面PAC，故O，N，P，M四点共面，A错误；若点D与O，M，N共面，则直线BD在平面PAC内，与题目矛盾，B错误；因为O，M分别为AC，PC的中点，所以OM∥PA，又易知ON∩PA＝P，故ON∩OM＝O，C错误．故选D.(1)理解平面的基本性质，掌握其基本应用是解决“点、线共面，多点共线，多线共点”的关键．(2)基本事实1是确定一个平面的依据；基本事实2是判断直线是否在平面内的依据；基本事实3是判定两个平面相交的依据和判定点在直线上的依据；基本事实4是判定空间两条直线平行的依据.变式探究1．(多选)如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，则下列说法正确的是()A．E，F，G，H四点共面B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上解析：AD依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故FG∥EH，所以E，F，G，H四点共面，A正确，B错误．因为EH＝eq\f(1,2)BD，FG＝eq\f(2,3)BD，所以四边形EFGH是梯形，则EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点．又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上，D正确，C错误．故选AD.考点2空间位置关系的判断【例2】(1)下列说法正确的是()A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交(2)(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点M在线段B1D1(不包含端点)上运动时，下列直线中一定与直线OM异面的是()A．CC1 B．A1BC．AB1 D．DB1(3)已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆O2、圆O1上的点，若异面直线O1B，O2A所成的角为60°，则AB＝()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C．2或eq\r(2) D．2或2eq\r(2)解析：(1)C两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，但DD1与B1C1也是异面直线，B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，C正确；如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，D错误．故选C.(2)BC对于A，当M为B1D1的中点时，CC1∥OM，A错误；对于B，因为OM⊂平面BDD1B1，B∈平面BDD1B1，B∉OM，A1∉平面BDD1B1，所以直线A1B与直线OM一定为异面直线，B正确；对于C，因为OM⊂平面BDD1B1，B1∈平面BDD1B1，B1∉OM，A∉平面BDD1B1，所以直线AB1与直线OM一定为异面直线，C正确；对于D，又OM⊂平面BDD1B1，DB1⊂平面BDD1B1，D错误．故选BC.(3)C如图，过点B作母线BD，交下底面于点D，连接AD，O1O2，O2D，则O1O2∥BD，O1O2＝BD，所以四边形O1O2DB为平行四边形，所以O1B∥O2D，所以∠AO2D是异面直线O1B，O2A所成的角或其补角，所以∠AO2D＝60°或∠AO2D＝120°.当∠AO2D＝60°时，AD＝1，此时AB＝eq\r(2)；当∠AO2D＝120°时，由余弦定理得AD＝eq\r(1＋1－2×1×1×（－\f(1,2)）)＝eq\r(3)，此时AB＝2，所以AB＝eq\r(2)或2.故选C.(1)空间两条直线位置关系的判定，主要是异面、共面的判定．对于异面直线的判定可直接证明也可采用反证法，通过图形分析、运用反证法的思想是判断线面位置关系的常用方法．判定两直线异面，常利用结论：平面内一点和平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)共面的情况主要是对平行与垂直这两种特殊位置关系的判定．对于平行关系的判定，常利用三角形(梯形)的中位线的性质、平行四边形的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；对垂直关系的判定，常利用平面几何中特殊图形的特点及线面垂直的性质来解决.变式探究2．已知m，n为异面直线，m∥平面α，n∥平面β，α∩β＝l，则l()A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．与m，n中一条相交解析：C假设l与m相交，交点为P，由于P∈l，l⊂α，所以P∈α，又P∈m，则m与α有公共点P，与m∥α矛盾，故l与m不相交，同理可得l与n不相交．故选C.3．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是()A．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN与EF平行B．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN与EF平行C．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN与EF异面D．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN与EF异面解析：D设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2a，则MN＝eq\r(MCeq\o\al(2,1)＋C1N2)＝eq\r(（\f(2a,2)）2＋（\f(2a,2)）2)＝eq\r(2)a.如图，作点E在平面ABCD内的射影点G，连接EG，GF.所以EF＝eq\r(EG2＋GF2)＝eq\r(（\f(2a,2)）2＋（\r(2)a）2)＝eq\r(3)a，所以MN≠eq\f(1,2)EF.连接A1D，因为E为平面ADD1A1的中心，所以DE＝eq\f(1,2)A1D.连接B1C，因为M，N分别为B1C1，CC1的中点，所以MN∥B1C.又因为B1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，所以MN与EF异面，故选D.4．平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)解析：A如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.因为α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，则m1∥m.又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，所以B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．又因为B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，所以∠CD1B1＝eq\f(π,3)，得sin∠CD1B1＝eq\f(\r(3),2).故选A.考点3空间几何体的侧面展开与截面问题【例3】(1)(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是()A．直线GH与EF平行B．直线BD与MN为异面直线C．直线GH与MN所成的角为60°D．直线DE与MN垂直(2)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，当E，F，G分别是B1C1，C1D1，B1B的中点时，平面EFG截正方体所得截面的周长为________．(3)(2025·四川自贡质检)已知球O的半径为4，圆O1与圆O2为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4，若|OO1|＝3，|OO2|＝eq\r(3)，则两截面圆的圆心距|O1O2|＝__________．解析：(1)BCD如图，还原成正四面体A­DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合，连接GM.易知GH与EF异面，BD与MN异面，故A错误，B正确；又△GMH为等边三角形，所以GH与MN成60°角，C正确；易证DE⊥AF，MN∥AF，所以MN⊥DE，所以D正确．故选BCD.(2)3eq\r(2)延长EG交CB的延长线于点Q，则BQ＝eq\f(1,2)CB.连接BD，AC，AD1，过Q作QH∥BD，交AB于H，交AD于K，如图所示，则BH＝HA，AK＝KD，过K作KT∥AD1，交DD1于T，连接FT，则六边形FEGHKT即为平面EFG截正方体所得截面．又F，E，G，H，K，T均为棱的中点，则截面的周长为3eq\r(2).(3)2eq\r(3)如图，设圆O1与圆O2公共弦为AB，其中点为E，则|O1A|＝eq\r(|OA|2－|OO1|2)＝eq\r(42－32)＝eq\r(7)，|O2A|＝eq\r(|OA|2－|OO2|2)＝eq\r(42－（\r(3)）2)＝eq\r(13)，所以|O1E|＝eq\r(|O1A|2－|AE|2)＝eq\r(7－4)＝eq\r(3)，|O2E|＝eq\r(|O2A|2－|AE|2)＝eq\r(13－4)＝3，所以在Rt△OO1E中，tan∠OEO1＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，所以∠OEO1＝60°，在Rt△OO2E中，tan∠OEO2＝eq\f(\r(3),3)，所以∠OEO2＝30°，所以在△O1EO2中，∠O1EO2＝90°，所以|O1O2|＝eq\r(|O2E|2＋|O1E|2)＝eq\r(9＋3)＝2eq\r(3).1．作截面的三个原则：(1)在同一平面上的两点可引直线；(2)凡是相交的直线都可以画出其交点；(3)凡是相交的平面都可以画出其交线．2．几何体的侧面展开应选择一个面为“基本面”，然后借助几何体的直观图，依次将其他面展开在“基本面”内.变式探究5．已知三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，BC＝4，则：(1)球O的表面积为________；(2)若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是__________．解析：(1)52π由题意，根据勾股定理可得AC⊥AB，则可将三棱锥P­ABC放入以AB，AC，AP分别为长、宽、高的长方体中，则体对角线为外接球直径，即2r＝eq\r(22＋62＋（2\r(3)）2)＝2eq\r(13)，则r＝eq\r(13)，所以球的表面积为4πr2＝4π×(eq\r(13))2＝52π.(2)4π因为△ABC为直角三角形，所以D为△ABC的外接圆圆心，当DO⊥截面时，截面面积最小，即截面为平面ABC，则外接圆半径为2，故截面面积为π×22＝4π.6．在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝6，AA1＝4，点P为棱BB1上的动点(含端点)，则AP＋PC的最小值是()A．6B．6eq\r(3)C．8D．8eq\r(3)解析：B把四边形A1ABB1，BB1C1C展开至同一个平面，连接AC，如图所示，过点B1作B1E⊥AB，则BE＝2，又BB1＝AA1＝4，则∠ABB1＝60°.在△ABC中，AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，则AC＝2×6×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3)，此时线段AC中点P到点B的距离ABcos60°＝3<4＝BB1，即线段AC与BB1相交，因此AP＋PC的最小值就是展开图中AC的长，点P为AC与BB1的交点，所以AP＋PC的最小值为6eq\r(3).故选B.7．(2025·广西模拟预测)在三棱锥V­ABC中，BV⊥平面VAC，VA＝1，AB＝AC＝eq\r(2)，∠VAC＝eq\f(π,4)，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥V­ABC的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，CF＝__________．解析：eq\f(\r(5),2)根据题意，在平面VAC内，过点F作EF∥AC，