江西省小学五年级上学期数学期末总复习-图形与几何

江西省小学五年级上学期数学期末总复习-图形与几何一、平面图形的认识与测量（一）直线、射线与线段直线是几何图形的基本构成元素，它没有端点，可以向两端无限延伸，无法测量长度。射线则是由线段的一端无限延长所形成的图形，只有一个端点，同样具有无限延伸性。线段是直线上两点间的有限部分，有两个明确的端点，可以测量长度。在实际解题中，需要注意区分这三种线的特征：例如，经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线；从一点出发可以引出无数条射线。（二）角的概念与分类角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。角的度量单位是度，用符号“°”表示，量角器是测量角的工具。用量角器量角时，需将量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。角可以根据度数大小进行分类：小于90°的角叫做锐角；等于90°的角叫做直角；大于90°而小于180°的角叫做钝角；等于180°的角叫做平角；等于360°的角叫做周角。此外，还需掌握角的度量和画法：画指定度数的角时，先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，在量角器相应度数刻度线的地方点一个点，以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，即可得到所需度数的角。（三）三角形的特性与分类三角形是由三条线段首尾相连围成的封闭图形，具有稳定性，生活中许多物体利用了三角形的这一特性，如自行车车架、屋顶桁架等。三角形有三个顶点、三条边和三个角，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，这是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。三角形按角分类可分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）和钝角三角形（有一个角是钝角）。按边分类可分为不等边三角形（三条边都不相等）、等腰三角形（有两条边相等）和等边三角形（三条边都相等），等边三角形是特殊的等腰三角形。等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等；等边三角形的三个角都相等，每个角都是60°。三角形的内角和是180°，这是一个重要的性质，在求三角形中未知角的度数时经常用到。例如，在一个直角三角形中，已知一个锐角是35°，则另一个锐角的度数为180°-90°-35°=55°。（四）平行四边形和梯形平行四边形是两组对边分别平行的四边形，它的对边平行且相等，对角相等，相邻的两个角互补（和是180°）。平行四边形具有不稳定性，容易变形，生活中的伸缩门、升降机等就是利用了这一特性。长方形和正方形是特殊的平行四边形，长方形的四个角都是直角，对边相等且邻边互相垂直；正方形的四条边都相等，四个角都是直角，它既是特殊的长方形，也是特殊的菱形。梯形是只有一组对边平行的四边形，平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底），不平行的两边叫做梯形的腰。两腰相等的梯形叫做等腰梯形，等腰梯形的两腰相等，同一底上的两个角相等。有一个角是直角的梯形叫做直角梯形，直角梯形有两个直角。二、平面图形的周长与面积（一）周长的概念与计算周长是指封闭图形一周的长度。长方形的周长=（长+宽）×2，用字母表示为C=2(a+b)；正方形的周长=边长×4，字母公式为C=4a。例如，一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，其周长为（8+5）×2=26厘米；一个正方形的边长是6分米，它的周长是6×4=24分米。对于不规则图形的周长，可以采用“平移法”将其转化为规则图形的周长来计算。例如，求一个由多个正方形组成的“凹”字形图形的周长，可以通过平移某些线段，使其成为一个大的长方形，再加上多余的线段长度。（二）面积的概念与计算面积是指物体的表面或围成的平面图形的大小。常用的面积单位有平方厘米、平方分米、平方米，较大的面积单位有公顷和平方千米，1公顷=10000平方米，1平方千米=100公顷=1000000平方米。长方形的面积=长×宽，字母公式S=ab；正方形的面积=边长×边长，即S=a²。例如，一个长方形操场的长是100米，宽是50米，其面积为100×50=5000平方米，合0.5公顷。平行四边形的面积=底×高，用字母表示为S=ah，这里的高是指从平行四边形一条边上的一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。需要注意的是，计算面积时底和高必须相对应，不能随意搭配。三角形的面积=底×高÷2，字母公式S=ah÷2。这是因为两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底和高分别与三角形的底和高相等，所以三角形的面积是平行四边形面积的一半。例如，一个三角形的底是12厘米，高是8厘米，它的面积是12×8÷2=48平方厘米。梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，用字母表示为S=(a+b)h÷2。同样，两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，高等于梯形的高，所以梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。例如，一个梯形的上底是5米，下底是9米，高是4米，其面积为（5+9）×4÷2=28平方米。（三）组合图形的面积计算组合图形是由两个或两个以上的基本图形组合而成的。计算组合图形的面积，通常采用“分割法”或“添补法”。分割法是将组合图形分割成几个已学过的基本图形，分别计算它们的面积，再相加；添补法是通过添补一个或几个基本图形，使组合图形变成一个大的基本图形，用大图形的面积减去添补图形的面积。例如，一个组合图形由一个长方形和一个三角形组成，长方形的长是10厘米，宽是6厘米，三角形的底是10厘米，高是3厘米，采用分割法计算其面积，长方形的面积为10×6=60平方厘米，三角形的面积为10×3÷2=15平方厘米，组合图形的面积为60+15=75平方厘米。三、位置与方向（一）用数对确定位置在平面内，我们可以用数对来确定物体的位置。数对是一个表示位置的概念，相当于坐标，前一个数字表示列，后一个数字表示行，通常把竖排叫做列，横排叫做行。例如，在教室里，小明坐在第3列第4行，用数对表示为（3，4）；小红的位置用数对表示是（5，2），则说明她坐在第5列第2行。在方格纸上用数对确定位置时，先看物体在第几列，这个数就是数对中的第一个数；再看物体在第几行，这个数就是数对中的第二个数。需要注意的是，数对的第一个数和第二个数不能调换位置，否则表示的位置就不同了。（二）根据方向和距离确定位置确定物体的位置需要方向和距离两个要素。通常以“上北下南，左西右东”为基本方向，在此基础上还有东北、东南、西北、西南四个方向。描述方向时，一般先说夹角较小的方向，例如，北偏东30°，表示从正北方向向东偏30°；如果夹角较大，则可以说南偏东60°，而不是东偏南30°。距离是指物体与观测点之间的长度。在描述位置时，需要明确观测点，不同的观测点，物体的位置描述也不同。例如，以学校为观测点，图书馆在学校的北偏东40°方向，距离学校200米；那么以图书馆为观测点，学校就在图书馆的南偏西40°方向，距离图书馆200米。四、图形的运动（一）平移与旋转平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。判断一个图形是否平移，关键看图形上的每个点是否都向同一个方向移动了相同的距离。例如，电梯的上下运动、火车在铁轨上的行驶都是平移现象。旋转是指物体围绕一个点或一个轴做圆周运动。旋转也不改变图形的形状和大小，只改变图形的方向和位置。旋转的三要素是旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）和旋转角度。例如，钟面上指针的转动、风车的转动都是旋转现象。在方格纸上画平移后的图形时，先确定平移的方向和距离，然后找出原图形的关键点，将这些关键点按照指定的方向和距离进行平移，最后连接平移后的关键点，即可得到平移后的图形。画旋转后的图形时，同样先确定旋转中心、旋转方向和旋转角度，再找出原图形的关键点，将关键点绕旋转中心按指定方向旋转指定角度，最后连接各点。（二）轴对称图形如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。例如，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，圆有无数条对称轴。判断一个图形是否是轴对称图形，关键是看能否找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边完全重合。在画轴对称图形的另一半时，先找出已知图形的关键点，然后根据对称轴确定这些关键点的对称点（对称点到对称轴的距离相等），最后连接对称点即可。五、立体图形的初步认识（一）长方体和正方体的特征长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，它有8个顶点，12条棱（相对的棱长度相等），6个面（相对的面完全相同）。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。正方体是长、宽、高都相等的长方体，它也有8个顶点，12条棱（所有棱的长度都相等），6个面（所有面都是完全相同的正方形）。正方体是特殊的长方体，它具有长方体的所有特征。（二）立体图形的展开图长方体和正方体都有各自的展开图。长方体的展开图由6个长方形组成（可能有两个相对的面是正方形），相对的面在展开图中不相邻。正方体的展开图有11种基本形式，分为“1-4-1型”“2-3-1型”“2-2-2型”“3-3型”四种类型，判断一个图形是否是正方体的展开图，需要看它能否折叠成一个正方体，且没有重叠的面。例如，“1-4-1型”展开图是指中间有4个正方形，上下各有1个正方形；“2-3-1型”是指中间有3个正方形，上面有2个正方形，下面有1个正方形（或上面有1个，下面有2个）。六、图形与几何的实际应用（一）解决生活中的面积问题在实际生活中，经常会遇到计算面积的问题。例如，给教室的地面铺地砖，需要先计算教室地面的面积和每块地砖的面积，然后用教室地面的面积除以每块地砖的面积，得到所需地砖的块数（注意：计算时单位要统一）。如果地砖的边长是50厘米，教室地面的长是9米，宽是6米，先将50厘米换算成0.5米，每块地砖的面积是0.5×0.5=0.25平方米，教室地面的面积是9×6=54平方米，所需地砖的块数为54÷0.25=216块。又如，一块三角形的菜地，底是25米，高是16米，每平方米收白菜8千克，这块地一共可以收白菜多少千克？先计算三角形菜地的面积：25×16÷2=200平方米，再计算总产量：200×8=1600千克。（二）利用图形的运动设计图案图形的平移、旋转和轴对称在图案设计中有着广泛的应用。许多美丽的图案都是通过这些图形运动方式组合而成的。例如，利用平移可以设计出整齐的花边；利用旋转可以设计出具有动感的图案；利用轴对称可以设计出对称美的图案。在设计图案时，可以先确定基本图形，然后通过平移、旋转或轴对称的方式进行变换，重复多次后就能得到一幅完整的图案。（三）位置与方向在实际中的运用位置与方向在导航、测绘等领域有着重要的应用。例如，航海中，船只需要根据灯塔的方向和距离来确定自己的位置和航行路线；在军事上，需要根据敌方目标的方向和距离来制定作战计划。在日常生活中，我们也会用到位置与方向的知识，如描述建筑物的位置、寻找目的地等。七、易错点与解题技巧（一）易错点分析概念混淆：例如，混淆直线、射线和线段的特征，误认为射线和直线可以测量长度；混淆周长和面积的概念，将面积单位用于表示周长，或将周长单位用于表示面积。公式运用错误：在计算三角形和梯形的面积时，忘记除以2；计算平行四边形面积时，用底边乘以邻边而不是高。单位换算错误：面积单位之间的换算进率容易记错，如将1公顷换算成100平方米，或将1平方千米换算成1000平方米。方向描述不准确：在描述方向时，没有明确观测点，或混淆了方向的夹角描述，如将北偏东30°说成东偏北30°。数对表示错误：将数对中的列和行颠倒，如将（3，5）表示为（5，3）。（二）解题技巧总结画图辅助法：对于图形与几何的问题，画图是一种直观有效的方法。例如，在解决组合图形的面积问题时，画出图形并进行分割或添补，能帮助理清思路；在根据方向和距离确定位置时，画出示意图可以使问题更清晰。公式推导法：理解公式的推导过程，而不是死记硬背。例如，通过将两个完全一样的三角形拼成平行四边形，推导出三角形的面积公式，这样在运用时就不容易忘记除以2。单位换算技巧：牢记常用的单位换算进率，进行单位换算时，先明确是高级单位换算成低级单位还是低级单位换算成高级单位，然后乘以或除以相应的进率。例如，将平方米换算成公顷，是低级单位换算成高级单位，除以进率10000。多角度思考