第11章 平面直角坐标系（复习讲义）（学生版）

第11章平面直角坐标系（复习讲义）1.认识平面直角坐标系，了解平面直角坐标系中点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的位置.2.会在给定的平面直角坐标系中根据点的坐标描出点的位置，会根据点的位置写出点的坐标.3.通过具体事例，掌握建立适当的平面直角坐标系以及用方向和距离描述地理位置的方法.4.掌握坐标变化与图形平移的关系，能利用点的平移规律将平面图形进行平移，会根据图形上点的坐标的变化来判定图形的移动过程.●一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系的概念：：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．2、坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．3、平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．（3）与坐标轴平行（垂直）的直线上的点的坐标特征：①平行与x轴（垂直与y轴）的直线上的点：纵坐标相等；②平行与y轴（垂直与x轴）的直线上的点：横坐标相等；（4）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．4、点的坐标的几何意义：点P（a,b）到x轴的距离是b,到y轴的距离是a．●二、平面直角坐标系的应用1、用坐标表示地理位置：（2）利用平面直角坐标系表示地理位置的方法：①建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向.②根据实际问题确定适当的单位长度，并在坐标轴上标出单位长度.③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.（3）在航海和测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东（西）或南偏东（西）确定方向角.2、用坐标表示点的平移：（1）平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变.（2）图形的平移坐标变化规律：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）（3）作图-平移变换①确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．②作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．题型一题型一象限内点的坐标【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，手盖住的点的坐标可能为（

）A．-1,-4 B．1,-2 C．1,2 D．【变式1-1】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，顶点D的坐标是-1,5，AB∥x轴，则顶点BA．3,1 B．4,1 C．3,5 D．-【变式1-2】（2024春•临湘市期末）若点P（x，y）在第二象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝（）A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5题型题型二判断点所在的象限【例2】（24-25八年级下·广西来宾·期末）如果点Aa,b在第三象限，那么点BA．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上【变式2-1】（23-24七年级下·广东东莞·期中）已知x+1+y-3【变式2-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若点P-a,b在第二象限，则点题型题型三坐标轴上的坐标【例3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）点P(m+3,m+1)在直角坐标系的xA．(0,-2) B．(2,0) C．(4,0) D．(0,-4)【变式3-1】（24-25七年级下·广东汕头·期末）点Pm+3,m-1在直角坐标系的x轴上，则P【变式3-2】(1)点P的纵坐标为-2(2)点P的纵坐标比横坐标大3．题型题型四平行于坐标轴的直线上的点的坐标【例4】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知线段AB=3，AB∥y轴，若点A的坐标为2,1，则点BA．2,4 B．5,1C．5,1或-1,1 D．2,4或【变式4-1】（24-25七年级下·河南信阳·期末）在平面直角坐标系中，点Ax,y，点B2,3，AB=6，且ABA．-2,3 B．-4,3C．2,-3或2,9 D．3,-2【变式4-2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知点P(1)若点P在x轴上，求点P的坐标；(2)若点Q满足PQ∥y轴，点Q的横坐标是3，且PQ=10题型题型五角平分线上的点的坐标【例5】（2024•香洲区校级模拟）点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（）A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣3）【变式5-1】（2024秋•东平县期末）已知点P（5a+7，6a+2）在一、三象限的角平分线上，则a＝．【变式5-2】（2024秋•通州区月考）在平面直角坐标系中，点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线，点A的坐标为．题型题型六点的坐标与点到坐标轴的距离【例6】（24-25七年级下·四川德阳·期末）点Aa,b位于x轴上方，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点AA．2,-3 B．3,2，-3,2 C．2,3，-2,3 D【变式6-1】（24-25七年级下·广东云浮·期末）在平面直角坐标系xOy中，P为第二象限内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，则点P的坐标为．【变式6-2】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，已知点M1-2(1)若点M在y轴上，求点M的坐标；(2)若点M在第四象限，且点M到x轴的距离是1，求点M的坐标．题型题型七实际问题中的坐标表示【例7】（24-25七年级下·广东云浮·期末）在一次数学实践活动中，小明绘制了校园周边区域示意图．已知家所在位置的坐标为-2,1，体育馆所在位置的坐标为-1,-2，则学校所在位置的坐标为（A．2,-1 B．2,0 C．2,-2 D．1,2【变式7-1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）2025年是红军长征胜利90周年，伟大的长征精神，是中国革命史上不朽的丰碑，在历史长河中散发着永恒的光芒，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为1,3，瑞金的坐标为4,-3，则表示会宁会师的点的坐标为（

）A．0,2 B．2,1 C．0,-2 D．-【变式7-2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）慧慧和敏敏对着下列示意图，描述了超市的位置（图中小正方形的边长代表100m）．慧慧说：“超市的坐标是200,200．”敏敏说：“图书馆在超市的西南方向．(1)根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴；(2)写出学校、少年宫的坐标；(3)写出超市到少年宫的距离；(4)乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上．”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约为280m题型题型八用方向角和距离表示物体位置【例8】（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，小明从学校出发，步行去少年宫，下列描述行走路线正确的是（

）A．向南偏西50°行走600米 B．向南偏东50∘行走400C．向北偏东50°行走600米 D．向北偏西30°行走400米【变式8-1】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，小明家与学校的相对位置描述正确的是（

）A．学校在小明家南偏东45°的方向上，距学校500mB．学校在小明家北偏东45°的方向上，距学校500mC．小明家在学校南偏西45°的方向上，距学校500mD．小明家在学校北偏东45°的方向上，距学校500m【变式8-2】（24-25八年级下·河北保定·期末）佳琪参加市运会，小宇想去裕同体育中心观看佳琪比赛，如图是佳琪家、小宇家、裕同体育中心的大致位置，则下列说法正确的是（

）A．佳琪家在裕同体育中心北偏西45°方向，距离300米处B．裕同体育中心在小宇家北偏东20°方向，距离400米处C．小宇家在裕同体育中心南偏西20°方向，距离400米处D．裕同体育中心在佳琪家南偏东45°方向，距离400米处题型题型九根据方位描述确定物体的位置【例9】（2024秋•江北区期末）以下能够准确表示我校地理位置的是（）A．离宁波市主城区10千米 B．在江北区西北角 C．在海曙以北 D．东经120.5°，北纬29.8°【变式9-1】（2024秋•靖西市期末）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（3，﹣2），则位于原点位置的是（）A．兵 B．炮 C．相 D．車【变式9-2】如图是某地火车站及周围的简单平面图．图中每个小正方形的边长代表1千米，以火车站所在的位置为坐标原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系：（1）请写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标；（2）体育场与市场之间的距离为；（3）若学校E的位置是（﹣3，﹣3），请在图中标出学校E的位置．题型题型十已知点的象限求参数【例10】（24-25八年级下·福建泉州·期末）若点P2025,a在第四象限，则A．3 B．2 C．0 D．-【变式10-1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）在平面直角坐标系中，点P3a-8,4-【变式10-2】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，已知点P1-12（1）当a=6时，点P在第（2）当点P在第一象限时，则a的取值范围为．题型题型十一坐标系中描出点的位置【例11】（2024春•海港区期末）在平面直角坐标系下描出下列各点：M（﹣1，2）、N（3，﹣1）、P（0，4）、Q（﹣3，0），则描错的点的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式11-1】如图，用（0，0）表示点A的位置，用（2，1）表示点B的位置．（1）图中C，D，E三点位置分别如何表示？（2）在图中标出（3，2），（1，2），（3，4）的位置上的点，并分别标上字母F，G，H．【变式11-2】（2024春•环江县期中）在平面坐标系中描出下列各点且标该点字母：（1）点A（﹣3，﹣2），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，0），D（1，2）；（2）点E在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度；（3）点F在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度．题型题型十二求平移后点的坐标【例12】（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点M, N的坐标分别为0,3,2,0，将线段MN平移得到线段M'N'，若点A．4,-2 B．4, 2 C．0,-2 D【变式12-1】（24-25八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为-2,-3，点A先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到点B，则点B的坐标为（

A．-5,-4 B．1,-4 C．-1,0 D【变式12-2】（2024春•阳东区期中）已知点A（3﹣2a，6﹣a）在第二象限，且点A到两坐标轴的距离相等，将点A向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到的点B的坐标为．题型题型十三由平移前后点的坐标确定平移的方式【例13】（24-25八年级下·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，点P(1,-1)平移后的坐标为(0,-1)，则点P平移的方向是（

A．向左 B．向右 C．向上 D．向下【变式13-1】A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度【变式13-2】（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在建立平面直角坐标系后，线段AB的两个端点坐标分别为A1,3，B2,1．现将线段AB平移，使平移后线段AB的两个端点均在坐标轴上，则以下平移正确的是（①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度．①② B．①③ C．③ D．②题型题型十四图形在坐标系中的平移【例14】（24-25七年级下·山东济南·期末）△ABC的三个顶点坐标分别为A2,3，B3,1，C1,-2，将△ABC平移到△A'A．-3,-1 B．2,-6 C．-3,-4 D【变式14-1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段DC，点A和点B的对应点分别是点D和点C．若点A-2,0，B-1,-2，D2,1A．(3,-1) B．(4,-1) C．(3,-2) D．(4,-2)【变式14-2】（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格格点上，其中点C的坐标为4,2(1)点A的坐标是________，点B的坐标是________；(2)将△ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△A1B1题型题型十五巧用坐标求图形的面积【例15】已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，3）、C（﹣4，﹣2），求△ABC的面积．【变式15-1】如图，若△A1B1C1是由△ABC平移后得到的，且△ABC中任意一点P（x，y）经过平移后的对应点为P1（x﹣5，y+2）．（1）求点A1、B1、C1的坐标．（2）求△A1B1C1的面积．【变式15-2】在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）．（1）写出点A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．题型题型十六由图形的面积求点的坐标【例16】（2024秋•郁南县期中）在直角坐标系中，A（﹣4，0），B（2，0），C（0，6）．（1）求：S△ABC；（2）点P是位于x轴上的点，且S△APC=【变式16-1】（2024秋•汝州市期中）如图，已知点A和点B的坐标分别为（2，﹣4）和（﹣2，2）．（1）在图中建立适当的平面直角坐标系；（2）点C的坐标为，点C关于x轴的对称点C′的坐标为；（3）顺次连接A，B，C，得到△ABC，点D在y轴上且满足S△ABC＝S△DBC，请直接写出点D的坐标为．【变式16-2】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）（1）求S四边形ABCO；（2）求S△ABC；（3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB＝10？若存在，请求点P坐标．题型题型十七点的坐标规律探究【例17】（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，平面直角坐标系中有若干个横、纵坐标都是整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，即0,0→0,1→1,1→A．675,675 B．0,675 C．675,0 D．0,0【变式17-1】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，且斜边长分别为2，A．(2,1013) B．(1,-1013) C．(-1013,0) D．(1,-1011)【变式17-2】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，平面直角坐标系xOy中，P01,0向上运动1个单位至P11,1处，然后向左运动2个单位到P2处，再向下运动3个单位到P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至PA．1013,-1012B．1013,1012 C．1012,-1011 D．题型题型十八平面直角坐标系中新定义问题【例18】（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知a，b都是实数，设点Pa,b，若满足2a=b+5，则称点P为“友好点”．若点Mm-【变式18-1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，对于点Px, y，若x, y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当yx（其中x≠0, y≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点【变式18-2】（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点Px,y,若点Q的坐标为(ax+y,x+ay),其中a为常数,则称点Q是点P的“（1）点A3,4的“2级关联点”的坐标是（2）已知点B(2b-1,b+2)的“-2级关联点”C到x题型题型十九平面直角坐标系中的动点问题【例19】如图，已知A（1，0），点B在y轴上，将△OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为△DEC，且点C的坐标为（﹣2，3）（1）直接写出点E的坐标（2）点P是线段CE上一动点，写出∠CBP，∠PAD，∠APB之间的数量关系，并证明你的结论（提示；过点P作PN∥CB）【变式19-1】（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，点Aa,b满足a-3

(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______；(2)如图1，若点M在x轴上，连接MA，使S△ABM=2(3)如图2，P是线段AB所在直线上一动点，连接OP，N为y轴负半轴上一点，OE平分∠PON，交直线AB于点E，作OF⊥OE，当点P在直线AB上运动过程中，请探究∠【变式19-2】（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标为(-3,0)和(5,0)．将线段AB先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段DC，连接AD，BC．(1)点C的坐标为___________；点D的坐标为___________．(2)如果AD=5．且AD上有一动点E，OE的最小值为___________(3)点M，N分别是线段AB，CD的动点，点M从点A出发向点B运动，每秒2个单位，到点B即停；点N从点C基础巩固通关测基础巩固通关测1．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，能准确描述图书馆P相对于校门O的位置的是（

）A．南偏东65°，800米处 B．距离800米处C．北偏东65°，800米处 D．南偏东65°方向2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格图中，点A，B，C均在格点上．若点A-1,2，C2,1A．1,0 B．0,1 C．1,1 D．1,-13．（24-25七年级下·天津西青·期末）已知点Px,y在第三象限，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是6，则点PA．-6,-4 B．-4,-6 C．4,6 D4．（24-25七年级下·广西钦州·期末）方格纸上有A，B两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为2,-1．以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（

）A．-2,1 B．2,-1 C．-2,-1 D5．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：一个点到两坐标轴的距离相等，称该点为“完美点”．若C2a-3,3-a为“完美点”A．0 B．2 C．-1或2 D．0或6．（24-25七年级下·新疆和田·期末）已知点P3-m,m-A． B．C． D．7．（24-25七年级下·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，A2,1，B-2,1，C-2,-1，D2,-1，一个动点从点A出发沿A．0,1 B．-2,1 C．1,-1 D．8．（2024春•东城区期末）如图，雷达探测器探测到三艘船A，B，C，按照目标表示方法的规定，船A，B的位置分别表示为A（5，30°），B（6，300°），船C的位置应表示为．9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若第四象限内的点Px,y满足x-2=3，10．（24-25七年级下·全国·期中）若x+2与2025-3y互为相反数，则点A(-x11．（24-25七年级下·四川广安·期末）在平面直角坐标系中，已知点Ma+5，2-a，Nb，3，若直线12．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）在平面直角坐标系中，点A2m-1,m能力提升进阶练能力提升进阶练13．（24-25七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知点Pa(1)当点P在y轴上时，求点P的坐标；(2)若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，求点P的坐标．14．（24-25七年级下·全国·期中）如图