第11章 平面直角坐标系（知识清单）（答案版）

第十一章平面直角坐标系1.有序数对的定义：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）.2.平面直角坐标系相关概念：1）平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系.2)x轴、y轴：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向.3）原点：两坐标轴交点为平面直角坐标系原点.4）坐标平面：坐标系所在的平面叫做坐标平面.5）象限：x轴和y轴把坐标平面分成四部分，每个部分称为象限.按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限.3.点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)4.点的坐标特征（热考内容）点M（x，y）所处的位置坐标特征象限内的点点M在第一象限M（正，正）点M在第二象限M（负，正）点M在第三象限M（负，负）点M在第四象限M（正，负）坐标轴上的点点M在x轴上在x轴正半轴上M（正，0）在x轴负半轴上M（负，0）点M在y轴上在y轴正半轴上M（0，正）在y轴负半轴上M（0，负）点M在原点M（0，0）象限角平分线上的点点M在第一、三象限角平分线上M（x，y）且x＝y点M在第二、四象限角平分线上M（x，y）且x＝-y两点连线与坐标轴平行MN∥x轴（或MN⊥y轴）M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等MN∥y轴（或MN⊥x轴）M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等5.点的坐标变化对于平面直角坐标系上任意一点P(x，y)变换方式具体变换过程变换后的坐标平移变换（a＞0，b＞0）向左平移a个单位（x-a，y）向右平移a个单位(x+a，y)向上平移a个单位(x，y+a)向下平移a个单位(x，y-a)口诀：点的平移左减右加，上加下减.序号易错点易错题注意事项1混淆有序数对的概念1．春节期间，嘉嘉和淇淇去电影院观看电影《哪吒之魔童闹海》，如果嘉嘉的座位10排7号可以用表示，则表示淇淇的座位为排号．2．气象台为了预报台风，首先要确定台风中心的位置，下列说法能确定台风中心位置的是（

C

）A．西太平洋B．距气象台500海里C．北纬，东经D．长江附近坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，有序数对（a，b）和（b，a）表示的是不同点的坐标.2混淆点的横、纵坐标1．已知点坐标为，点到轴距离为5．2．已知第二象限的点，那么点P到x轴的距离为1．在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)，则点P到x轴的距离为b；点P到y轴的距离为a；3未掌握坐标系上的点的坐标特征而出错1．若点在y轴上，则P点坐标为．2．若点在轴上，则点的坐标是．3．已知点在坐标轴上，则点的坐标是或/或．1）x轴上的点纵坐标为0，即点P(x，y)在x轴上y=02）y轴上的点横坐标为0，即点P(x，y)在y轴上x=0【易错点】已知点在坐标轴上，要分成在x轴，y轴上两种情况来讨论.4混淆点的坐标的平移规律1．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为．2．在平面直角坐标系中，已知点，长度为3的线段与x轴平行，则点Q的坐标是或．1）左右平移，横坐标改变(左减右加)，纵坐标不变.2）上下平移，纵坐标改变(上加下减)，横坐标不变.5将坐标系平移与点的平移混淆1．已知坐标平面内的点A(﹣1，5)，如果将平面直角坐标系向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，那么平移后点A的坐标是（B）A．(2，9) B．(﹣4，1) C．(2，1) D．(1，2)坐标系向左平移相当于点向右平移，坐标系向上平移相当于点向下平移，认真读题，分清坐标系的平移与点的平移，掌握二者之间的区别与联系.点到坐标轴的距离1．平面直角坐标系内某点到轴的距离为3，到轴的距离为4，且横坐标与纵坐标异号，则该点的坐标为或．2．在平面直角坐标系中，点到两条坐标轴的距离相等，则a的值是或3．已知距离求坐标需要考虑到点的象限，如未告知点的限，则点的坐标有两种可能.重难点01有序数对表示位置/路线1．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，是某文化广场的平面示意图，其中行政办公楼的坐标是，南城百货的坐标是．(1)请根据上述信息，画出这个平面直角坐标系；(2)写出体育馆、升旗台、盘龙苑小区的坐标；(3)小李现在的位置是，请在图中用字母标出小李现在的位置．【答案】(1)见解析(2)体育馆、升旗台、盘龙苑小区(3)见解析【分析】本题主要考查了坐标位置的确定，利用平面直角坐标系的特点，根据点的坐标准确确定出坐标原点的位置是解题的关键．（1）根据行政办公楼的坐标是，南城百货的坐标是，确定国际大酒店为坐标原点，建立平面直角坐标系；（2）根据平面直角坐标系写出体育馆、升旗台、盘龙苑小区；（3）根据平面直角坐标系可知小李的位置．【详解】（1）解：行政办公楼的坐标是，南城百货的坐标是，国际大酒店为坐标原点，如图，建立平面直角坐标系；（2）解：根据平面直角坐标系得体育馆、升旗台、盘龙苑小区（3）解：小李现在的位置是，如图，点即为所求.2．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息．(1)图中（，），（，）；(2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程．(3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置．【答案】(1)，，B，(2)10(3)见解析【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键.（1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向左走2个格，向上走1个格；（2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可；（3）根据题意，画出路线图即可.【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为，C到B的路线，故答案为：，，B，；（2）解：由A到B路线为，由B到C路线为，由C到D路线为，∴路程为；（3）解：如图：3．（22-23八年级上·宁夏中卫·期中）在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人在如图所示的25个方格的汉字中寻找“宝藏”，如Ⅱ⑤表示“月”，Ⅴ①表示“光”．若“寻宝”人沿着“Ⅳ③→Ⅱ④→Ⅱ②→Ⅳ⑤→Ⅴ④”的路径去寻找“宝藏”，则他找到的“宝藏”是什么？【答案】即他找到的“宝藏”是金笔．【分析】本题考查了利用有序数对表示位置，根据题意正确找出对应汉字是解题关键．【详解】解：由题意可知，Ⅳ③表示“宝”，Ⅱ④表示“藏”，Ⅱ②表示“是”，Ⅳ⑤表示“金”，Ⅴ④表示“笔”，若“寻宝”人沿着“Ⅳ③→Ⅱ④→Ⅱ②→Ⅳ⑤→Ⅴ④”的路径去寻找“宝藏”可得“宝→藏→是→金→笔”即他找到的“宝藏”是金笔．4．（23-24七年级下·吉林·期末）下图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示100m．(1)如果用有序数对表示跳跳床的位置，填写下列游乐设施的位置：跷跷板______，摩天轮____，碰碰车_____；(2)秋千的位置是，请在图中标出来；(3)旋转木马在大门以东，再往北处，请在图中标出来．【答案】(1)，，(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了用有序数对表示位置；（1）根据题意找到跷跷板、摩天轮、碰碰车的位置即可；（2）根据位置标出坐标即可；（3）根据位置标出坐标即可求解．【详解】（1）解：根据题意，得跷跷板，摩天轮，碰碰车，故答案为：，，；（2）解：如图所示，秋千的位置是，（3）解：如图所示，旋转木马的位置是，重难点02利用点的坐标特征求解5．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）点为平面直角坐标系内一点．(1)若点在轴上，则的值为_____；(2)若点在第二象限，且点到两坐标轴的距离之和为9，求点的坐标．【答案】(1)0(2)【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，熟练掌握以上知识点是关键．（1）在x轴上的点纵坐标为0，据此列出方程求解即可；（2）第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此求出点P到两坐标轴的距离，再根据点P到两坐标轴的距离之和为9建立方程求出x的值即可得到答案．【详解】（1）解：点P在x轴上，，．故答案为：0；（2）解：在第二象限，点到x轴的距离为，到轴的距离为，点到两坐标轴的距离之和为9，，，代入得点的坐标为．6．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在平面直角坐标系中，已知点．(1)当点在轴上时，求点的坐标；(2)已知直线平行于轴，且，求的长．(3)试判断点是否可能在第二象限，并说明理由．【答案】(1)点的坐标为(2)18(3)不可能，理由见解析【分析】本题考查坐标与图形，解一元一次不等式组，掌握坐标平面内点的坐标特征是解题的关键．（1）根据题意得出，求出，即可得出答案；（2）根据题意得出，求出，即可得出答案；（3）根据题意列出不等式组，再求解即可．【详解】（1）解：点在轴上，，解得，，点的坐标为；（2）直线平行于轴，，解得，，；（3）不可能；理由：若点在第二象限，则，不等式组无解，点不可能在第二象限．7．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知点是平面直角坐标系中的点．(1)若点A在x轴上，求a的值；(2)若点A在第一象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标．【答案】(1)(2)点A的坐标为【分析】本题考查了点的坐标特点，点到坐标轴的距离．（1）由题意列方程，解之可得答案；（2）根据点A到两坐标轴的距离和为9，列方程解得即可．【详解】（1）解：∵点A在x轴上，∴，∴；（2）解：∵点A在第一象限，且到两坐标轴的距离和为9，∴，∴，∴点A的坐标为．8．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知点．(1)当点在轴上时，求点的坐标；(2)已知直线平行于轴，且的坐标可以表示成，求的长；(3)试判断点是否可能在第二象限，并说明理由．【答案】(1)点P的坐标为(2)(3)可能，理由见解析【分析】本题考查坐标与图形，解一元一次不等式组，掌握性质是解题的关键：（1）根据题意得出，求出，即可得出答案；（2）根据题意得出，求出，据此计算即可得出答案；（3）根据题意列出不等式组，再求解即可．【详解】（1）解：∵点在y轴上，∴，解得，∴，∴点P的坐标为；（2）解：∵直线平行于轴，∴，解得，∴，∴点P的坐标为，，∴；（3）解：可能；理由：若点P在第二象限，则，解得，不等式组的解集为，∴点P可能在第二象限．9．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）已知点，根据下列条件，求出点的坐标．(1)点在轴上；(2)点的坐标为，直线轴．【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查了点的坐标；（1）利用轴上点的坐标性质，其横坐标为，进而得出的值，即可得出答案；（2）利用平行于轴直线的性质，总坐标相等，进而得出的值，进而得出答案．【详解】（1）解：点在轴上，，解得：，，则；（2）点的坐标为，直线轴，，解得：，，则．10．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知点．(1)点的坐标为，直线轴，求出点的坐标；(2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值．【答案】(1)点的坐标为(2)【分析】本题主要考查坐标与图形性质，（1）根据与轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可；（2）根据在第二象限的点的坐标特征和点到轴、轴的距离相等列出方程，解出的值，再代入所求式子计算即可．【详解】（1）解：∵点坐标为，且轴，∴，解得，∴，∴点的坐标为；（2）解：∵点在第二象限，∴，，又∵点到轴和轴的距离相等，∴，解得，∴．重难点03坐标系中描点11．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图是北京市三所大学位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形.若清华大学的坐标为，北京大学的坐标为．

(1)请在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出北京语言大学的坐标；(2)若中国人民大学的坐标为，请在坐标系中标出中国人民大学的位置．【答案】(1)图见解析，；(2)见解析．【分析】（）利用清华大学的坐标为，北京大学的坐标为画出直角坐标系，进而即可得结果；（）根据点的坐标的意义即可描出表示中国人民大学的坐标即可得．本题考查了建立平面直角坐标系，点与有序实数对一一对应，解题的关键是正确理解如何建立平面直角坐标系及特殊位置的点的坐标特征．【详解】（1）建立的平面直角坐标系如图所示，北京语言大学的坐标为；

（2）中国人民大学的位置如图所示，12．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是．

(1)画出，将向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到，画出；(2)直接写出的面积为________．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查平移变换，坐标与图形；（1）先画出，分别找出三角形的三个顶点平移后的对应点，再顺次连接即可；（2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）解：如图所示，，即为所求，

（2）解：为，故答案为：2．13．（24-25八年级下·河南新乡·期中）已知点A，B，C，D的坐标分别为．(1)请你在平面直角坐标系中分别描出点A，B，C，D，并顺次连接．(2)在（1）的作图下，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)16【分析】（1）根据点坐标描点确定位置，连接解答即可．（2）利用分割法求面积解答即可．本题考查了坐标与位置，图形的面积，熟练掌握坐标与位置，分割法求面积是解题的关键．【详解】（1）解：根据点A，B，C，D的坐标分别为，画图如下：．（2）解：根据题意，得．14．（24-25七年级下·河北唐山·期中）“二十四节气”，被誉为“中国的第五大发明”是上古农耕文明的产物．2022年北京冬奥会开幕式上以“二十四节气”为主题的倒计时短片用“中国式浪漫”美学惊艳了世界，也让全世界领略了中国古老历法的独特文化魅力．如图，我们用坐标来表示某些节气．例：2025年立春用表示（注：2025年2月3日立春）．(1)用坐标表示以下节气．2025年惊蛰用B（___________，___________）表示，（注：2025年3月5日惊蛰）2025年清明用C（___________，___________）表示．（注：2025年4月4日清明）(2)在给出的坐标系中标出点和点，并画出三角形．(3)求三角形的面积．【答案】(1)3，5；4，4(2)见详解(3)【分析】本题考查了坐标与图形，坐标系中描点，数形结合是解题的关键．（1）根据题意写出点的坐标即可求解；（2）根据（1）中的坐标，描出点，顺次连接，即可求解；（3）根据三角形的面积等于边长为2的正方形减去3个三角形的面积即可求解；(1)小问详(2)小问详(3)小问详【详解】（1）解：根据题意：，，故答案为：3，5；4，4；（2）解：如图，描出点，顺次连接，∴三角形即为所求；（3）解：如图，∴三角形的面积为：．重难点04坐标系中的平移问题15．（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上（每个小网格都是1个单位长度），其中，A点坐标为．(1)在平面直角坐标系内，将向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，作出；(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形平移以及三角形面积的割补法计算，熟练掌握平移规律和割补法求面积的思路是解题的关键．（1）要作出平移后的，需先确定三个顶点坐标，再根据平移规律（向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减）得到对应顶点、、的坐标，最后顺次连接这三个点．（2）利用割补法，用包含的矩形面积减去周围多余三角形的面积来计算．【详解】（1）解：先确定、坐标，由图可知，．向右平移个单位，横坐标加；向下平移个单位，纵坐标减．平移后：平移后：平移后：顺次连接、、，得到（作图略，按坐标找点连线即可）（2）解：16．（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图所示，左、右两幅图案关于轴对称，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和．(1)试确定左边图案中的左、右两朵花花心的坐标；(2)如果将右边图案沿轴向右平移个单位长度，那么它的左、右两朵花花心的坐标将发生什么变化？【答案】(1)左边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和；(2)它的左右两朵花花心的横坐标加2，纵坐标不变，左、右两朵花花心的坐标将变为和．【分析】本题考查坐标系中的对称和平移，解题的关键是熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征，以及点的坐标平移规律．（1）根据关于轴对称的点的坐标特征即可得出左边图案中的左、右两朵花花心的坐标；（2）根据平移规律，即可得出花心坐标发生的变化，以及变化后的坐标．【详解】（1）解：∵左、右两幅图案关于轴对称，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和，∴左边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和，答：左边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和．（2）解：如果将右边图案沿轴向右平移2个单位长度，那么它的左右两朵花花心的横坐标加2，纵坐标不变，∵右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和，∴沿轴向右平移2个单位长度后，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标将变为和，答：它的左右两朵花花心的横坐标加2，纵坐标不变，左、右两朵花花心的坐标将变为和．17．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．(1)在图中画出三角形；(2)将图中的三角形平移后，点A，B，C的对应点分别是，，．已知点的坐标是．①点的坐标是_____，点的坐标是_____；②写出一种将三角形平移到三角形的方法：______．【答案】(1)见解析(2)①；；②先向右平移4个单位，再向下平移2个单位（答案不唯一）【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移．解题的关键是熟练掌握平移规律．（1）根据点A、B、C的坐标进行描点，然后连线即可得出三角形，即可；（2）①根据点A的坐标和平移后点的坐标是得出平移方式，然后求出点和点的坐标即可；②根据点A平移得出点，得出将三角形平移到三角形的方法即可．【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形；（2）①∵点平移后点的坐标是，∴点A向右平移4个单位，向下平移2个单位到，∴点B、C分别向右平移4个单位，向下平移2个单位到，，∴点的坐标是，点的坐标是；②∵点A向右平移4个单位，向下平移2个单位到，∴将三角形先向右平移4个单位，再向下平移2个单位到三角形．18．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图为的方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度．有线段（端点、均在小正方形的顶点上），将线段平移得到线段，规定点移至点的位置，点移至点的位置（、均在小正方形的顶点上），设平移过程中线段扫过的面积为．(1)在图1方形网格建立并画出恰当的平面直角坐标系，使得点坐标为，点坐标为，并写出点的坐标（_____，_____）；(2)在图1中画出线段，并直接写出相对应的的值；(3)若，请在图2中画出线段．（注：只需画出符合要求的一种情况即可）【答案】(1)见解析，1,3(2)图见解析，(3)图见解析【分析】（1）把点坐标为，向下平移2个单位即可得到原点，建立坐标系解答即可；（2）根据平移规律作图即可，利用分割法计算面积即可．（3）根据题意，作图解．【详解】（1）解：把点坐标为，向下平移2个单位即可得到原点，建立坐标系如下：故点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点M，由把点坐标为，向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点N，故，故答案为：1,3；（2）解：根据平移，画图如下：则即为所求；且；（3）解：，故将点A向右平移4个单位即可，画图如下：【点睛】本题考查了平移作图，平移计算，平行四边形的判定和性质，分割法求面积，熟练掌握作图是解题的关键．19．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）学习了平面直角坐标系后，李华制作了一件数学实践作品，请按要求完成下列各题：(1)如图平面直角坐标系中，已知点，若点向左平移3个单位得到点，点先向上平移1个单位，再向左平移3个单位得到点，请写出点，点的坐标，并在平面直角坐标系中标注出来；(2)请你在平面直角坐标系中按照顺序依次连接，此时呈现出来的图案即为李华的数学实践作品，这是一个_______．（填写图案形状的名称）【答案】(1)图见解析，(2)图见解析，五角星【分析】本题主要考查了在网格图与坐标以及平移的知识，明确题意是解答本题的关键．（1）依据给出的平移方法描点，再根据点的位置即可求解；（2）依据给出的连线方法连线即可．【详解】（1）解：作图如下：由图可知：坐标．（2）解：按照顺序依次连接，图案如图所示：五角星．重难点05求坐标系中的图形面积20．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）平面直角坐标系中，，，，求四边形的面积.【答案】【分析】本题考查了图形与坐标，画出图形，利用割补法，计算四边形的面积即可，正确画出图形是解题的关键.【详解】解：如图，由图可得.21．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段平移得到线段，点A与点C是对应点．(1)点D的坐标是______；(2)若点P为y轴上一点，且三角形的面积与三角形的面积相等，求点P的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移：（1）根据点A与点C是对应点，可得线段先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到线段，即可求解；（2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积与三角形的面积相等，得到关于m的方程，即可求解．【详解】（1）解：∵点，，点A与点C是对应点．∴线段先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到线段，∵，∴点D的坐标是，即；故答案为：（2）解：设点P的坐标为，则，∵，，∴，∴，∵三角形的面积与三角形的面积相等，∴，即，解得：或，∴点P的坐标为或．22．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．(1)填空：_________，__________；(2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示的面积；(3)在（2）条件下，线段与轴相交于，当时，点是轴上的一动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标．【答案】(1)，2(2)(3)或【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，坐标与图形，解题的关键是：（1）由非负数性质求解即可；（2）根据三角形面积公式求解即可；（3）设，分两种情况讨论：D在上方；D在C下方，然后根据割补法构建关于m的方程求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，，∴，，故答案为：，2；（2）解：由（1）知，，∴，∵在第四象限，∴；（3）解：当时，，∵的面积是的面积的2倍，∴，设，当D在上方时，如图，过D作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行线，与过D的平行线相交与M、N，则，解得，∴；当D在C下方时，如图，过D作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行线，与过D的平行线相交与M、N，则，解得，∴，综上，点D的坐标为或．23．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，的三个顶点坐标分别为，，，，其中m，n满足．(1)求点A，C的坐标；(2)点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒，连接、，用含有t的式子表示的面积为S（直接写出t的取值范围）；(3)在（2）的条件下，当点P在线段上时，过点A作，且．连接、，，当时，求的面积．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据算式平方根和绝对值的非负性得到，，求出，，进而求解即可；（2）首先求出，然后分两种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，根据求解即可；（3）根据题意得到当时，，求出，，过点C作交于点F，然后求出，，然后根据的面积代数求解即可．【详解】（1）解：∵∴，解得，，∴，；（2）∵∴，∴，如图1中，当时，；如图2中，当时，；综上所述，；（3）∵点P在线段上，∴∴当时，解得∴∴如图所示，过点C作交于点F∵∴∵∴∴的面积．【点睛】本题属于三角形综合题，算术平方根的非负性，等腰三角形的性质和判定，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．重难点06点的坐标的规律探索24．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…．(1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________；(2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示）(3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标．【答案】(1)(2)；(3)见解析，【分析】此题考查了点的坐标规律，根据题意找到坐标变化规律是关键．（1）根据题意写出答案即可；（2）根据（1）中的规律写出答案即可；（3）分两种情况进行解答分析即可．【详解】（1）解：第1次移动到点，即第2次移动到点，，第3次移动到点，即第4次移动到点，即第5次移动到点的坐标为，即；则第12次移动到点的坐标为即，即，故答案为：；（2）解：由（1）可知，第次移动到点的坐标为，第次移动到点的坐标为；（用含自然数的代数式表示）故答案为：；；（3）解：由（2）知，当时，解得（不是自然数，舍去），当时，解得，符合题意，此时下标为，所以该点及坐标可记作．25．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）．(1)写出点的坐标：______；(2)根据点，，，，…，求出点的坐标；(3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，理由见解析【分析】本题考查点的坐标变化规律，得出坐标的变化规律是解题的关键．（1）观察坐标系中第四象限中的点的坐标特征，即可求解；（2）根据已知点的坐标特征得出，，进而即可求解；（3）根据（1）得出，进而代入，即可求解．【详解】（1）解：根据题意可得，的坐标，，故答案为：．（2）根据点，，，，…，由此可得∵，∴点的坐标为（3）解：由，，，，…，∴当解得：26．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：

(1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______；(2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______．【答案】(1)

(2)

【分析】本题主要考查了点坐标的规律，分别归纳出点的横、纵坐标的变化规律成为解题的关键．（1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可；（2）根据（1）中的规律求解即可．【详解】（1）解：∵，∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，∵，，，，∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．故答案为：

．（2）解：∵∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，∴；，∴

．故答案为：

．27．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______．(2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______；(3)的面积为______【答案】(1)，，48(2)，(3)【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律．（1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可；（2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可；（3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可．【详解】（1）解：、、．的横坐标为：，纵坐标为：3．故点的坐标为：．又、、．的横坐标为：，纵坐标为：0．故点的坐标为：．的面积为故答案为：，，48；（2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3．故的坐标为：，由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0．故的坐标为：；故答案为：，；（3）解：的坐标为：，的坐标为：，的面积为．故答案为：．重难点07坐标方法的简单应用28．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上点A的坐标为，点B的坐标为．(1)画出相应的平面直角坐标系；(2)分别写出点C，D的坐标；(3)若将点B先向右平移2格，再向下平移3格得到点E，请在图中画出点E．【答案】(1)见解析(2)，(3)见解析【分析】此题主要考查了坐标与图形，正确得出原点位置是解题关键．（1）直接利用，得出原点的位置进而得出答案；（2）利用所建立的平面直角坐标系即可得出答案；（3）根据点E的坐标为，再根据坐标确定具体位置即可．【详解】（1）解：平面直角坐标系如图：

；（2）解：由平面直角坐标系可得，；（3）解∵将点先向右平移2格，再向下平移3格得到点E，∴E的坐标为，∴在坐标系的位置如图所示．29．（22-23七年级下·辽宁营口·期中）为让每个农村孩子都能上学，国家实施了“农村中小学寄宿制学校建设工程”，如图是某寄宿制学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．

(1)请你画出该学校平面示意图所在的坐标系；(2)办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置；(3)写出食堂、图书馆的坐标．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)食堂，图书馆【分析】（1）根据已知点的坐标找到坐标原点，建立直角坐标系即可；（2）在建立的直角坐标系中标出办公楼和教学楼的位置即可；（3）在建立的直角坐标系中找到食堂、图书馆的位置，写出坐标即可．【详解】（1）该学校平面示意图所在的坐标系如图所示，

（2）办公楼和教学楼的位置如图所示，（3）食堂、图书馆的坐标分别为、．【点睛】此题考查了平面直角坐标系和点的坐标等知识，正确建立直角坐标系是解题的关键．30．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，是一个简单的平面示意图，已知，，，是中点．(1)由图可知，商场在嘉琪家北偏东方向处．请写出学校和影院相对于嘉琪家的位置；(2)图中距离嘉琪家距离相同的地方有哪些？(3)小慧家在嘉琪家东南方向处，请在图中标出小慧家的位置．【答案】(1)学校在嘉琪家西北方向处；影院在嘉琪家南偏西方向处(2)学校，公园(3)见解析【分析】（1）确定方向角和距离即可描述学校和影院相对于嘉琪家的位置；（2）根据，是中点，得，结合，解答即可．（3）根据小慧家在嘉琪家东南方向，只需延长，再在上面截取即可确定小慧家的位置．本题考查了方向角和距离确定位置，线段的中点，熟练掌握方向角确定位置是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意，得学校在嘉琪家西北方向处；影院在嘉琪家南偏西方向处．（2）解：根据，是中点，得，由，故，故距离嘉琪家距离相同的地方有学校，公园．（3）解：根据小慧家在嘉琪家东南方向，只需延长，再在上面截取即可确定小慧家的位置，画图如下：31．（24-25七年级下·河北唐山·期中）【问题提出】小明想准确描述学校各建筑物的位置，应该怎样操作呢？【动手操作】如图是小明把学校以的比例尺绘制而成的平面示意图，每个小方格的单位长度是，小明以正东为轴的正方向，正北为轴的正方向建立平面直角坐标系后，得到实验室的坐标是，高中楼的坐标是．【问题解决】（1）平面直角坐标系的原点应为___________的位置（填写建筑名称）；（2）在图中画出此平面直角坐标系并标出初中楼的坐标是___________；（3）用方向与距离表示校门相对于操场的位置是___________．（小方格的相对两顶点的距离取140米）【拓广延伸】（4）下午放学后，在初中楼下的小明同学以4米/秒的平均速度向操场跑去，参加体育锻炼，问：小明需要多少秒到达操场？【答案】（1）图书馆；（2）见解析；；（3）校门在操场的南偏东，距离米；（4）小明需要100秒到达操场【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键．（1）即可得到平面直角坐标系的原点的位置；（2）根据高中楼和实验楼的坐标，建立坐标系即可得到答案；（3）根据方向角的表示方法，进行解答即可；（4）根据题意列式计算即可．【详解】解：（1）∵实验室的坐标是，高中楼的坐标是，∴平面直角坐标系的原点应为图书馆的位置；（2）由题意得，可以建立如下坐标系；初中楼的坐标是；（3）根据图可知：校门在操场的南偏东，距离（米）；（4），（秒），答：小明需要100秒到达操场．重难点08坐标与图形综合32．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且．(1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______．(2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)点P的运动时间为3秒(3)存在，或【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．（1）由，可得，解得，则，；（2）设，则，由题意知，，则，解得，（秒）；（3）由（2）可知设，得，由列方程，求出n的值即可．【详解】（1）解：，，，解得，，，．故答案为：；；（2）解：设，则，由题意知，，，解得，（秒），点P的运动时间为3秒；（3）解：由（2）可知设，则，，，解得或，或33．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点，在坐标轴上，点，轴，垂足为点．(1)求证：，并写出点的坐标；(2)与轴交于点，求证：；(3)与轴交于点，连接，试说明．【答案】(1)证明见解析，点的坐标为(2)证明见解析(3)见解析【分析】（1）先证明，结合与全等三角形的性质可得答案；（2）如图1，过点作轴于点，则，证明，，证明，从而可得结论；

（3）如图2，在上截取，使得，连接．证明，可得，，再证明，进一步可得结论．【详解】（1）证明：轴，，，，，，，，又，，，，，点的坐标为；（2）证明：如图1，过点作轴于点，则，，，，，在和中，，，；（3）证明：如图2，在上截取，使得，连接．∵，，∴，在和中，，，，，，则．由（2）可知，，，．【点睛】本题考查的是坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．34．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，顶点在轴上．(1)如图，若于垂直轴，垂足为点．点坐标，点的坐标，求点坐标；(2)如图，直角边在两坐标轴上滑动，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，猜想：与数量关系，并证明你的猜想；(3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作轴于，在滑动的过程中，两个结论：为定值；为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论并直接写出这个定值．（不需要证明）【答案】(1)；(2)，见解析；(3)结论成立，见解析．【分析】根据同角的余角相等，可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，求出的长度，即可得到点的坐标；如下图所示，延长、交于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证；过点作，可证，根据全等三角形的性质可证，从而可得为定值；【详解】（1）解：点坐标，点的坐标，，，，，又，，，又垂直于轴，，在和中，，，，，，点的坐标为；（2）解：．证明：如下图所示，延长、交于点，轴恰平分，，又轴，，在和中，，，，，，，，又，，在和中，，，，；（3）解：为定值．证明：如下图所示，过点作于E，，，又，，在和中，，，，，，．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，坐标与图形，解本题的关键是根据全等三角形的性质找到边之间的关系．35．（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶坐标分别为，，，，若且满足．(1)求点B的坐标；(2)P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，连接，，当时，求出点P的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查了坐标与图形，非负性的性质，正确理解题意是解题的关键．（1）根据非负性的性质求出a、c的值，可得点A和点C的坐标，再根据可求出b的值，即可求出点B的坐标；（2）分点P在上，点Q在上和点P在x轴正半轴，点Q在点C下方，两种情况，先设出运动时间，然后分别表示出两个三角形的面积，根据两个三角形的面积关系建立方程求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∴，∵，即平行轴，∴，∴；（2）解；如图所示，当点P在上，点Q在上时，，设运动时间为t，则，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，解得，∴，∴，∴点P的坐标为；如图所示，当点P在x轴正半轴，点Q在点C下方时，则，，∴，，∵，∴，解得；∴，∴，∴点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或．重难点09中点坐标36．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图1，在直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．以为对角线的作矩形，点坐标．(1)点的坐标为______；(2)若点在第二象限内，求的面积关于的函数表达式；(3)如图2，若点在坐标平面内．过点作，过点作，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或【分析】（1）根据题意求出，即可求解；（2）连接，根据，即可求解；（3）由直线的解析式，设点；根据，求出；分类讨论当为对角线时，当为对角线时，两种情况即可求解；【详解】（1）解：在中，令，则；令，则；∴；∵四边形是矩形，∴点的坐标为，故答案为：；（2）解：连接，如图所示：则，∵点在第二象限内，∴；（3）解：直线的解析式为；设点；∵，，由题意得：，∴，解得：；∴，；当为对角线时，，消去求得；当为对角线时，，消去求得；综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了平行四边形的存在性问题、勾股定理、一次函数的求解等知识点，综合性较强，计算量较大，需要学生具备扎实的几何和函数基础．37．（24-25七年级下·广东潮州·期中）综合与实践（）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标；（）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确；（）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题：若点，，则线段的中点的坐标为__________；已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标.【答案】（），，，，；（），，验证见解析；（）；．【分析】本题考查了坐标与图形，探索规律，解决本题的关键是通过观察得到线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，再根据中点坐标与线段两端点坐标的对应关系解决问题．（1）根据图形读出平面直角坐标系中点，，，，的坐标即可；（2）根据（1）线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，可得线段的中点是的横坐标、纵坐标分别是，；因为点，分别为，的中点，根据（1）中的规律验证即可；（3）根据点，，点是线段的中点，利用中的规律求出点的坐标即可；设点的坐标为，根据规律可得：，，解方程即可求出点的坐标即可．【详解】