2026年【中考数学】一轮复习强基训练：解直角三角形的应用 含答案

/2026年中考数学强基训练：解直角三角形的应用一、单选题1．如图是简化后的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，段为助滑道，段为着陆坡，着陆坡的坡角为，点与点的高度差为米，点与点的高度差为米，则着陆坡的长度为（

）A．米 B．米C．米 D．米2．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距50海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠BAP=（）A． B． C． D．3．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A． B． C． D．4．如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜面坡度是指与的比．根据图中数据，求出斜坡的长为（

）A．13 B． C． D．115．如图是跳台滑雪比赛的某段赛道的示意图，某运动员从离水平地面高的A点出发（），沿俯角为的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为的方向滑行到地面的C处．若，则该运动员滑行的水平距离为（

）米？A．120 B． C．140 D．6．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（）A．60nmile B．60nmile C．30nmile D．30nmile7．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测量得知有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是()A．250m B．250m C．m D．250m8．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）A． B． C． D．二、填空题9．如图，BC是一条河的直线河岸，点A是河岸BC对岸上的一点，AB⊥BC于B，站在河岸BC的C处测得∠BCA=50°，BC=10m，则桥长AB=m（用计算器计算，结果精确到0.1米）10．如图，某数学小组要测量校园内旗杆AB的高度，其中一名同学站在距离旗杆12米的点C处，测得旗杆顶端A的仰角是30°，此时该同学的眼睛到地面的高CD为1.5米，则旗杆的高度为米（结果精确到0.1米，≈1.73）．11．如图，为测量旗杆的高度，在水平地面的处用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，在三楼窗台处测得旗杆顶端的仰角为，已知，则旗杆的高度为．12．如图，修建的二滩水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1：3，斜坡CD的坡度i＝1：2.5，则坝底宽AD＝m．13．如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是米（精确到0.1米）．（参考数据：，）14．如图，一根竹竿垂直插在水中，露出水面部分长0.5米，若竹竿顶部偏离原地2米，此时竹竿顶恰好与水面齐平，那么水深米，竹竿偏离角α≈（精确到1度）．三、解答题15．如图，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）16．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C处的距离．17．如图，河流的两岸、互相平行，河岸上有一排间隔为50米的电线杆C、D、E…某人在河岸的A处测得，然后沿河岸走了110米到达B处，测得，求河流的宽度（结果精确到0.1，参考值：）18．如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为i=1：的斜坡CD前进2米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．（1）求点D的铅垂高度（结果保留根号）；（2）求旗杆AB的高度（精确到0.1）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）参考答案题号12345678答案DAABBBAB1．D【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，可得四边形矩形，从而得，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【详解】解：过点作于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则四边形矩形，，米，米，米，在中，米，故选：D．2．A【详解】试题分析：∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距50海里，∴PA＝50，∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，∴∠APB＝90°BP＝60×＝40，∴tan∠BAP=，故选A．3．A【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF∥BC知∠ADE=90°，由∠AEF=143°知∠AED=37°，根据sin∠AED，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．【详解】如图，延长BA、FE，交于点D．∵AB⊥BC，EF∥BC，∴BD⊥DF，即∠ADE=90°．∵∠AEF=143°，∴∠AED=37°．在Rt△ADE中，∵sin∠AED，AE=1.2米，∴AD=AE•sin∠AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．4．B【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理．根据题意求出，利用勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意得，∵，∴，∵，∴，故选：B．5．B【分析】过点D作于点E，于点F，证明四边形是矩形，再计算，，结合，结合，解答即可．本题考查了俯角的计算，构造辅助线，选择适当的三角函数是解题的关键．【详解】过点D作于点E，于点F，∵，∴四边形是矩形，∴，∵，，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，故选B．6．B【详解】如图，作PE⊥AB于E．在Rt△PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60nmile，∴PE=AE=×60=nmile，在Rt△PBE中，∵∠B=30°，∴PB=2PE=nmile．故选B．7．A【详解】解：由已知得：∠AOB=30°，OA=500m．则AB=OA=250m．故选A．8．B【详解】解：∵AC与BC互相垂直，∴∠ACB=90°，∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中cos∠BCD=，BC=.故选B．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．9．11.9【详解】解：在Rt△ABC中，，即AB=tan∠ACB·BC=tan50°×10m≈11.9m．【点睛】本题考查解直角三角形的知识，熟知三角函数的定义是解决本题的关键．10．8.4．【分析】根据题意可得Rt△ADE，利用锐角三角函数可得AE的大小，进而根据AB＝BE+AE计算可得旗杆AB的高．【详解】解：根据题意可知：DE＝BC＝12米，则AE＝DE•tan30°＝12×＝4（米），故旗杆的高度为：AB＝AE+BE＝4+1.5≈8.4（米）．故答案为：8.4.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是借助仰角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．11．【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．作于，则，四边形是矩形，得出，，求出，证出，得出，在中，由直角三角形的性质得出，即可得出答案．【详解】解：作于E，如图所示：则，四边形是矩形，，，，，，，，在中，，，；故答案为14.4．12．132.5．【分析】根据斜坡AB的坡度求出AE，再根据CD的坡度求出DF，最后根据根据AD=AE+EF+DF，即可求出坝底宽AD.【详解】解：∵AB的坡度i=1：3，∴tanA=，∴，∵BE=23，∴AE=69，∵BC=6，∴EF=6，∵CD的坡度i′=1：2.5，∴tanD=，∴，∴DF=57.5，∴AD=AE+EF+DF=69+6+57.5=132.5（m）．答：坝底宽AD的长是132.5m．故答案为132.5．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．13．【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．过点作于点，则米，在中和中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决．【详解】解：过点作于点，由题意可得，米，，在中，，∴(米)，在中，，(米)，即这栋楼的高度是米.故答案为：．14．28°【分析】利用勾股定理求竹竿的高度,从而求出水得深度,再根据三角函数的定义求出α的正切函数值,继而求出这个角的度数.【详解】对图中各点进行标注,如图所示设竹竿的长度为xm,则BC=x,AB=x-0.5∵AB⊥AC∴AB2+AC2=BC2(直角三角形勾股定理)∵AB2+AC2=BC22BC=x

AB=x-0.5

AC=2∴(x-0.5)2+22=x2解得x=4.25故水的深度AB=x-0.5=3.75m∵AB⊥AC∴tan∠ABC=tanα=(三角函数定义)∵tanα=

AC=2AB=3.75∴tanα≈0.533∴α≈28°.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练使用三角函数.15．(1)1.55米;(2)1.96米.【分析】（1）要求台阶加长的部分，需求台阶改善后的新长度，改后的台阶组成的直角三角形中，有坡角的度数，只要知道台阶的垂直距离便可，因为台阶修改前后高没变，因此可根据原台阶构成的直角三角形来求出台阶的垂直高度．这样，就能求出改后的台阶的长，也就能求出增加了多少．（2）修改前后的台阶构成的两个直角三角形中，已知了坡角，又求得了台阶的垂直高度，那么他们的水平距离就都能求出了，多占的地面的长度其实就是这两个水平距离的差．【详解】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AC=AB·sin44°=5sin44°≈3.473.在Rt△ACD中，AD=≈6.554.∴AD－AB=6.554－5≈1.55.即改善后的台阶会加长1.55米,（2）如图，在Rt△ABC中，BC=ABcos44°=5cos44°≈3.597.在Rt△ACD中，CD=≈5.558，∴BD=CD－BC=5.558－3.597≈1.96,即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面.故答案为(1)1.55米;(2)1.96米.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的相关知识.16．5()海里【详解】本题考查的解直角三角形．对于60°和45°一般是放在直角三角形中所以需要做辅助线构造直角三角形．解：如图，过B点作BD⊥AC于D,设BD=x

(1分)∴∠DAB＝90°-60°=30°,∠DCB＝90°-45°=45°(2分)在Rt△ABD中，AD=xtan30°=x（4分）在Rt△BDC中BD=DC=xBC=x(6分）又AD＝5×2＝10∴x+x=10（7分）得x=5()（8分）∴BC=·5()=5()（海里）（9分）答：灯塔B距C处5()海里17．河流的宽度约为82.0米【分析】本题考查解直角三角形，平行四边形的判定及性质．过点C作于点F，过点D作于点G，可得到四边形是平行四边形，从而，，根据解直角三角形得到在中，，在中，，根据即可求解．【详解】解：过点C作于点F，过点D作于点G，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴在中，，在中，，∵，∴∴，即河流的宽度约为82.0米．18．（1）点D