第一章特殊平行四边形单元检测试卷2025-2026学年北师大版九年级上册数学 含答案

/第一章特殊平行四边形单元检测试卷(时间120分钟，满分120分)一、选择题（共12小题；共36分）1.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2 A.①② B.②③ C.①③ D.①④2.如图，从边长为a+3的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是   A.a+3 B.a+6 C.2a3.下列命题，其中是真命题的为   A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.一组邻边相等的矩形是正方形4.给出四个特征：（1）两条对角线相等；（2）任一组对角互补；（3）任一组邻角互补；（4）是轴对称图形但不是中心对称图形，其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有   A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG A.3−1 B.3−5 C.5+16.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是   A.当AB=BC时，它是菱形 B.当 C.当∠ABC=90∘时，它是矩形7.如图，在△ABC中，AC=BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180∘得 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形8.如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周长是 A.14 B.16 C.17 D.189.如图，矩形ABCD和矩形CEFG中，AD=2，AB=1，CE=3，EF=6，连接AF，H是AF的中点，那么 A.52 B.5 C.52210.用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是   A.2n+1 B.n2−1 C.11.如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点Aʹ处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BAʹ交直线CD于点O，BC=5，EN=1，则 A.123 B.133 C.12.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接 ①DN= ②EM∥ ③AE= ④当AO=AD时，四边形 其中，正确结论的个数是   A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（共6小题；共24分）13.正方形的判定： （1）有一组邻边

的矩形是正方形； （2）对角线互相

的矩形是正方形； （3）有一个角是

的菱形是正方形； （4）对角线

的菱形是正方形．14.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 15.如图，在四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件

，使四边形 16.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为 17.如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为3,0，−2,0，点D在y轴上，则点C的坐标是

． 18.在长为a m，宽为b m的一块草坪上修了一条1 m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为

m2；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为 三、解答题（共7小题；共60分）19.（8分）在梯形ABCD中，∠A=90∘，AD∥BC，20.（8分）在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连接DE，BH，两线交于点M．求证： （1）BH=（2）BH⊥21.（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB， （1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形22.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD=AF，求证：四边形 23.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC边上的点，且AE= （1）求证：△ADE（2）若∠DEB=9024.（10分）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60∘，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为 （1）求证：AF=（2）求MN+（3）当点E在AB上运动时，∠CEF25.（10分）问题情境： 我们知道若一个矩形的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，面积是最大的，反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢?（1）探究方法： 用两条直角边分别为a，b的四个全等的直角三角形，可以拼成一个正方形， 若a≠ 从而得到a2+b 若a= 从而得到a2+b 于是我们可以得到结论：a，b为正数，总有a2+b2≥2ab，且当 另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论． ∵a− ∴对于任意实数a，b，总有a2+b2≥2ab，且当 仿照上面的方法，对于正数a，b试比较a+b和（2）类比应用： 利用上面所得到的结论，完成填空： （1）x2+1x2≥

，代数式 （2）当x>0时，x+9x≥

，代数式x （3）当x>2时，x+5x−2≥

，代数式（3）问题解决： 若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢?若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由，由此你能得到怎样的结论?答案第一部分1.D 2.B 【解析】长方形的另一边长是：a+33.D 4.B 【解析】根据矩形和等腰梯形的性质可知：（1）两条对角线相等；（2）任一组对角互补；是矩形和等腰梯形共同具有的特征．5.D 【解析】由题意知ME=MC=6.D7.A 【解析】由于将△ADE绕点E旋转180∘得到△CFE因为AC=BC，D为AB的中点，所以∠ADC8.D 9.C 【解析】本题考查矩形的性质、梯形的中位线定理、勾股定理．如图，过点H作HM⊥BE，交BE于点∴AB∥∵H是AF的中点，∴M是BE的中点，∴HM=又BC=AD=2∴BE=5∴BM=∴CM=在Rt△CHM中，由勾股定理可得10.C 【解析】第1个图形中，小正方形的个数是：22第2个图形中，小正方形的个数是：32第3个图形中，小正方形的个数是：42∴第n个图形中，小正方形的个数是：n+111.B 【解析】∵EN∴由中位线定理得AM=2，由折叠的性质可得A∵AD∴∠AMB∵∠AMB∴∠A∴A∴AʹE过M点作MG⊥EF于∴NG∴A由勾股定理得MG=∴BE∴OF:BE∴OD12.D 第二部分13.（1）相等，（2）垂直，（3）直角，（4）相等14.2【解析】连接O1B，∵∠BO1∴∠B∵四边形ABCD是正方形，∴∠O1BF在△O1BF∠F∴△O∴O1，O2两个正方形组成的阴影部分的面积是同理另外两个正方形组成的阴影部分的面积也是14∴S阴影部分15.∠EDB16.3.5【解析】在Rt△∵F为斜边DE的中点，∴CF=又∵△CEF的周长为18，CE∴CF=EF=6.5，DE∴OF=17.−5,418.ab−1【解析】把第一个图形中的两块草坪上下平移，则为一个长方形；同理可将曲路两旁的部分进行整合，也可整合为一个长方形．第三部分19.4+220.（1）∵四边形ABCD与CEFH均是正方形，∴BC=DC，CH∴∠BCH在△BCH和△BC=∴△BCH∴BH

（2）设CD与BH相交于点G，则∠MBC又由（1）知∠CDE=∠MBC∴∠CDE∴∠GMD∴BH21.（1）在△ABC中，E，F分别是AB，BC故可得：EF=同理FG=12BD，在梯形ABCD中，AB=故AC=∴EF=∴四边形EFGH是菱形．在△ABD中，E，H分别是AB，AD则EH∥同理GH∥又∵AC⊥∴BD⊥∴EH⊥∴四边形EFGH是正方形．

（2）连接EG．在梯形ABCD中，∵E，G分别是AB，DC的中点，∴EG是梯形的中位线，∴EG=在Rt△∵EH2+∴EH2=9222.在平行四边形ABCD中，AB∥∴∠ABE∵E为BC∴BE又∠AEB∴△ABE∴AE又BE=∴四边形ABFC是平行四边形，在平行四边形ABCD中，AD=又∵AD∴BC∴平行四边形ABFC是矩形．23.（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB在△ADE和△AD=∴△ADE≌△CBF

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD∵AE∴BE∴四边形DEBF是平行四边形，∵∠DEB∴四边形DEBF是矩形．24.（1）连接CF．∵FG垂直平分CE∴CF∵四边形ABCD为菱形，∴A和C关于对角线BD∴CF∴AF

（2）连接AC．∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE∴MN=12AF当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，即此时∵菱形ABCD边长为1，∠ABC∴△ABC为等边三角形，AC=AB=1，即

（3）不变，理由是：延长EF，交DC于H，∵∠CFH=∠FCE∴∠AFC∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：∠AFD∵AF∴∠AEF=∠EAF∴∠AFD∴∠ABF∵∠ABC