2025-2026学年河北省石家庄四十三中八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年河北省石家庄四十三中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列四个实数中，是无理数的是（）A．1 B．0 C． D．2．（3分）化简＝（）A． B．2x C． D．3．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，若PC＝3，则PD＝（）A．3 B．4 C．5 D．65．（3分）下列式子从左到右的变形，正确的是（）A． B． C． D．6．（3分）如图，已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（）A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠AOC＝∠A'OC' C．AB＝A'B' D．OA＝OB'7．（3分）用四舍五入法取近似值，数8.3862精确到0.01的结果约是（）A．8.4 B．8.395 C．8.39 D．8.408．（3分）如图，正方形ABCD面积为10，其顶点A在数轴原点处，AB为半径画弧交数轴于点M，N，则点M（）A．100的平方根 B．10的平方根 C．﹣100的平方根 D．﹣10的平方根9．（3分）下面是某同学“化简”的过程，共四步．解：原式＝…第一步＝…第二步＝…第三步＝2…第四步请判断：该同学的化简过程中开始出现错误的是（）A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步10．（3分）估算的值在（）A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间11．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣212．（3分）某社区准备在街道（直线l）旁修建一个奶站，向居民区A，已知点A关于直线l的对称点为A'，AA'与直线l相交于点C1，A′B与直线l相交于点C2，BC3⊥l于点C3，C4是C1C3的中点，为了能使居民区A，B到奶站的距离之和最短（）A．点C1处 B．点C2处 C．点C3处 D．点C4处二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）使有意义的x的取值范围是．14．（3分）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，则这个正方形应该添加在区域．（填序号）15．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°．16．（3分）将边长分别为3和6的长方形按如图1的方式剪开，拼成与该长方形面积相等的正方形（如图2）．（1）图2中正方形的边长为；（2）与图2中正方形边长的整数部分是．三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：（1）；（2）．18．（8分）解方程：（1）x3﹣27＝0；（2）．19．（8分）（1）比较大小：和；（2）已知，，求a+b．20．（12分）（1）城镇M，N与公路OA，OB位置如图8所示，要使点P到城镇M，N的距离相等，OB的距离相等．嘉琪用尺规作图找到了符合条件的点P，但擦除了一些作图痕迹；（2）如图9，△ABC中，D，E分别是边AB、AC延长线上的点，CP平分∠BCE，求证：BP平分∠CBD．证明：过点P分别作PF⊥AD，PG⊥AE，PH⊥BC．∵AP平分∠BAC（已知），且PF⊥AD，PG⊥AE，∴＝．∵CP平分∠BCE（已知），且PH⊥BC，PG⊥AE，∴＝∴＝（等量代换）．又∵PF⊥，PH⊥，∴BP平分∠CBD．21．（8分）先化简，再求值，，其中．22．（8分）如图，点O，F在△ABC内部，OE垂直平分AC，FB＝FC（1）连接OB，OC，求证：OB＝OC；（2）求证：OF垂直平分BC．23．（10分）“互联网十”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息：信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍；信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍；（1）若设甲商品销售单价为x元/千克，请依据上述信息填表；销售单价（元/千克）质量（千克）销售总价（元）乙60元丙270元（2）求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？（3）“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了m元（m为整数且1≤m≤10），再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品1，设琪琪购买商品的质量为S2，直接写出的最大值．24．（10分）如图1至图3，在△ABC中，∠BAC与∠ACB均为锐角，边AB绕点A顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到AD（180﹣α）°得到CE，作线段DE并取其中点F．连接AF并延长至点G，连接GE．（1）如图1，当α＝90且AB＝BC时，直接写出AC与DE的位置关系是；（2）如图2，当点B在四边形ADEC内部时，①求证：AB＝GE；②求证：点C在AG的垂直平分线上；（3）若∠ABC＝132°，∠ACB＝32°，当点F落在△ABC边所在直线上时；（4）设由AB，BC，CE，DA围成的阴影图形周长为L，如图3，AB＝BC＝2，在α变化过程中

2025-2026学年河北省石家庄四十三中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案DABACDCBADA题号12答案B一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列四个实数中，是无理数的是（）A．1 B．0 C． D．【解答】解：1，0是整数，，它们不是无理数，是无限不循环小数，它是无理数，故选：D．2．（3分）化简＝（）A． B．2x C． D．【解答】解：原式＝＝，故选：A．3．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A.，故选项A不符合题意，B.是最简二次根式；C.，故选项C不符合题意；D.，故选项D不符合题意．故选：B．4．（3分）如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，若PC＝3，则PD＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，∴PD＝PC＝3．故选：A．5．（3分）下列式子从左到右的变形，正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、≠，故不符合题意；B、≠，故不符合题意；C、＝，故符合题意；D、≠，故不符合题意；故选：C．6．（3分）如图，已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（）A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠AOC＝∠A'OC' C．AB＝A'B' D．OA＝OB'【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠ABC＝∠A′B′C′，∠AOC＝∠A'OC'，故选项A、B、C不符合题意；OA与OB'不一定相等，故选项D符合题意．故选：D．7．（3分）用四舍五入法取近似值，数8.3862精确到0.01的结果约是（）A．8.4 B．8.395 C．8.39 D．8.40【解答】解：8.3862≈8.39（精确到3.01），故选：C．8．（3分）如图，正方形ABCD面积为10，其顶点A在数轴原点处，AB为半径画弧交数轴于点M，N，则点M（）A．100的平方根 B．10的平方根 C．﹣100的平方根 D．﹣10的平方根【解答】解：∵正方形ABCD面积＝AB2＝10，∴AB＝，由题意知AN＝AM＝，∴点M，N所表示的数分别是、﹣，∴点M，N所表示的数是10的平方根．故选：B．9．（3分）下面是某同学“化简”的过程，共四步．解：原式＝…第一步＝…第二步＝…第三步＝2…第四步请判断：该同学的化简过程中开始出现错误的是（）A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步【解答】解：原式＝＝＝＝7，∴该同学的化简过程中开始出现错误的是第一步，故选：A．10．（3分）估算的值在（）A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间【解答】解：∵5＜6，∴6＜+1＜7，故选：D．11．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：已知关于x的方程，去分母得m﹣2＝x﹣4，∵原分式方程的增根为x＝1，∴m﹣2＝7，解得：m＝2，故选：A．12．（3分）某社区准备在街道（直线l）旁修建一个奶站，向居民区A，已知点A关于直线l的对称点为A'，AA'与直线l相交于点C1，A′B与直线l相交于点C2，BC3⊥l于点C3，C4是C1C3的中点，为了能使居民区A，B到奶站的距离之和最短（）A．点C1处 B．点C2处 C．点C3处 D．点C4处【解答】解：因为点A和点A′关于直线l对称，所以直线l上的任意一点到点A和点A′的距离相等，所以对于直线l上的任意一点C，总有CA＝CA′．根据两点之间线段最短可知，当奶站建在点C2处时，A′C2+BC3取得最小值，即为A′B的长，所以奶站建在点C2处时，居民区A．故选：B．二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）使有意义的x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据二次根式的意义，得x﹣2≥0，解得x≥6．14．（3分）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，则这个正方形应该添加在区域④．（填序号）【解答】解：要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域④．故答案为：④．15．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°30°．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝50°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCA＝100°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝30°，故答案为：30°．16．（3分）将边长分别为3和6的长方形按如图1的方式剪开，拼成与该长方形面积相等的正方形（如图2）．（1）图2中正方形的边长为3；（2）与图2中正方形边长的整数部分是4．【解答】解：（1）图1长方形的面积为3×6＝18，因此拼成图2正方形的边长为，故答案为：7；（2）∵46＝16，52＝25，而16＜18＜25，∴3＜＜5，即正方形边长的整数部分是4，故答案为：4．三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝•＝；（2）原式＝＝＝a﹣b．18．（8分）解方程：（1）x3﹣27＝0；（2）．【解答】解：（1）x3﹣27＝0，则x5＝27，∴x＝3；（2），方程两边都乘以x﹣8得：x+2（x﹣3）＝﹣5，解这个方程得：x＝1，检验：当x＝1时x﹣7≠0，即x＝1是原方程的解．19．（8分）（1）比较大小：和；（2）已知，，求a+b．【解答】解：（1）＝，＝7，∵＞7，∴＞，∴﹣2＜﹣；（2）∵＝﹣3，，∴a+b＝﹣1+2＝．20．（12分）（1）城镇M，N与公路OA，OB位置如图8所示，要使点P到城镇M，N的距离相等，OB的距离相等．嘉琪用尺规作图找到了符合条件的点P，但擦除了一些作图痕迹；（2）如图9，△ABC中，D，E分别是边AB、AC延长线上的点，CP平分∠BCE，求证：BP平分∠CBD．证明：过点P分别作PF⊥AD，PG⊥AE，PH⊥BC．∵AP平分∠BAC（已知），且PF⊥AD，PG⊥AE，∴PG＝PF．∵CP平分∠BCE（已知），且PH⊥BC，PG⊥AE，∴PG＝PH∴PH＝PF（等量代换）．又∵PF⊥AD，PH⊥BC，∴BP平分∠CBD．【解答】解：（1）根据题意作MN的垂直平分线，∠AOB的角平分线交于点P，（2）证明：过点P分别作PF⊥AD，PG⊥AE．∵AP平分∠BAC（已知），且PF⊥AD，∴PG＝PF．∵CP平分∠BCE（已知），且PH⊥BC，∴PG＝PH．∴PH＝PF（等量代换）．又∵PF⊥AD，PH⊥BC，∴BP平分∠CBD．故答案为：PG；PF；PH；PF；BC．21．（8分）先化简，再求值，，其中．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当x＝+2时，原式＝＝＝．22．（8分）如图，点O，F在△ABC内部，OE垂直平分AC，FB＝FC（1）连接OB，OC，求证：OB＝OC；（2）求证：OF垂直平分BC．【解答】证明：（1）如图，连接OA，∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC，∴OB＝OA，OC＝OA，∴OB＝OC；（2）∵OB＝OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上，∵FB＝FC，∴点F在线段BC的垂直平分线上，∴OF是线段BC的垂直平分线，∴OF垂直平分BC．23．（10分）“互联网十”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息：信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍；信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍；（1）若设甲商品销售单价为x元/千克，请依据上述信息填表；销售单价（元/千克）质量（千克）销售总价（元）乙60元丙270元（2）求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？（3）“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了m元（m为整数且1≤m≤10），再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品1，设琪琪购买商品的质量为S2，直接写出的最大值．【解答】解：（1）设甲商品销售单价为x元/千克，则乙商品销售单价为（x+5）元/千克，∴乙商品质量为千克（千克）；（2）依题意得：，解得：x＝2，经检验，∴乙商品单价为：5+5＝10（元/千克），丙商品单价为：8×5＝15（元/千克），答：11月11日当天甲商品销售单价为5元/千克，乙商品销售单价为10元/千克；（3）的最大值为提价后，甲商品单价为（5+m）元/千克，乙商品单价为（10+m）元/千克，依题意得：，则＝，令t＝m2+20m（6≤m≤10），则t随m增大而增大．∴，当t最大时，，当m＝10时，t＝108+20×10＝300，．24．（10分）如图1至图3，在△ABC中，∠BAC与∠ACB均为锐角，边AB绕点A顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到AD（180﹣α）°得到CE，作线段DE并取其中点F．连接AF并延长至点G，连接GE．（1）如图1，当α＝90且AB＝BC时，直接写出AC与DE的位置关系是AC∥DE；（2）如图2，当点B在四边形ADEC内部时，①求证：AB＝GE；②求证：点C在AG的垂直平分线上；（3）若∠ABC＝132°，∠ACB＝32°，当点F落在△ABC边所在直线上时；（4）设由AB，BC，CE，DA围成的阴影图形周长为L，如图3，AB＝BC＝2，在α变化过程中【解答】（1）解：如图，连接BD，BF，依题意，AD＝AB，∠BAD＝∠BCE＝90°，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴BD＝BE，∠ABD＝∠CBE，又∵F是DE的中点，∴FD＝FE，∴BF垂直平分DE，即FG⊥DE，∴∠DBF＝∠EBF，∴180°﹣∠ABD﹣∠DBF＝180°﹣∠CBE﹣∠EBF，即∠ABG＝∠CBG，又∵AB＝BC，∴BG⊥AC，∴FG⊥AC，∴AC∥DE，（2）证明：①F是DE的中点，∴FD＝FE，又∵∠AFD＝∠GFE，FG＝AF，∴△AFD≌△GFE（SAS），∴AD＝GE，由旋转可知AB＝AD，∴AB＝GE，②如图，连接CG，由旋转可知CB＝CE，∵△AFD≌△GFE（SAS），∴∠DAF＝∠EGF，∴AD∥GE，∴∠DA